Lista de Exercícios 4

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1 Lista de Exercícios 4 Leis da Indução Exercícios Sugeridos A numeração corresponde ao Livros Textos A e B. A23.1 Uma espira plana com 8,00 cm 2 de área consistindo de uma única volta de fio é perpendicular a um campo magnético que aumenta uniformemente em módulo de 0,500 T para 2,50 T em 1,00 s. Qual é a corrente induzida na espira se ela tiver uma resistência de 2,00 Ω? A23.4 Um anel de alumínio de raio r 1 e resistência R é colocado ao redor do topo de um solenóide longo de raio r 2 < r 1 com núcleo de ar e n espiras por metro como na Figura P23.4. Suponha que o campo magnético do solenóide só seja significativo no seu interior. Próximo às bordas a componente axial do campo é aproximadamente a metade da do campo no centro do solenóide. A corrente no solenóide está variando a uma taxa I/ t. (a) Qual é a corrente induzida no anel? (b) Quais são o módulo e direção do campo magnético devido à corrente induzida no centro do anel? Figura P23.4 A23.6 Uma espira retangular de largura w = 10,0 cm e comprimento L = 100 cm e um fio longo e reto repousam sobre uma mesa como mostra a Figura P23.6. A distância entre o fio e o lado mais próximo da espira é h = 1,00 cm. Pelo fio passa uma corrente que varia no tempo na forma I(t) = bt, onde b = 10,0 A/s. (a) Determine o fluxo do campo magnético do fio através da espira. (b) Determine a fem induzida na espira. Qual é o sentido da corrente induzida? Figura P23.6 A23.55 Considere um enrolamento retangular de N = 100 espiras compactas e um fio longo e reto dispostos como na Figura P23.6 do problema anterior. As dimensões envolvidas são h = w = 5,00 cm e L = 20,0 cm. No fio passa uma corrente alternada na forma I(t) = I 0 sen(ωt), com I 0 = 50,0 A e ω = 200π rad/s. Determine a fem induzida no enrolamento pelo campo magnético do fio. 1

2 A23.8 Um transformador é usado para transferir potência entre circuitos elétricos isolados entre si. A Figura P23.8 esquematiza um transformador particular que consiste de uma bobina com 15 voltas de raio R = 10,0 cm em torno de um solenóide com 2,00 cm de raio e 1000 espiras/m. (a) Qual é a indutância mútua entre os dois enrolamentos? (b) A corrente alternada pelo solenóide varia no tempo como I(t) = I 0 sen(ωt), com I 0 = 5,00 A e ω = 120π rad/s. Encontre a fem induzida na bobina como função do tempo, E(t). Figura P23.8 A23.10 Considere a montagem esboçada na Figura P Suponha R = 6,00 Ω, l = 1,20 m e que na região há um campo magnético uniforme e constante de 2,50 T apontando para dentro da página. a) Com que velocidade a barra deve ser deslocada para produzir uma corrente de 0,500 A no resistor? b) Qual é a potência dissipada no resistor? c) Determine a força que deve ser aplicada à barra para mantê-la se movendo com esta velocidade constante. d) Compare a potência mecânica fornecida ao sistema com o resultado do ítem (b). Figura P23.10 A23.14 As hélices de um helicóptero têm lâminas de 3,00 m de comprimento e giram a 120 rpm. A componente vertical do campo magnético terrestre no local é de 50 µt. Qual é a fem induzida entre a ponta de uma lâmina e o centro da hélice? A23.20 Um solenóide longo com o eixo paralelo à direção ˆx, com 200 espiras/m, conduz uma corrente constante de 15,0 A. Uma segunda bobina consiste de 30 espiras enroladas ao redor de uma armação circular com 8,00 cm de raio. A bobina é montada no interior do solenóide presa a um eixo paralelo à direção ŷ que a permite girar em torno de seu diâmetro. No instante t = 0 a bobina se encontra no plano yz e gira com velocidade angular constante de 4,00π rad/s. Determine a fem induzida na bobina como função do tempo. 2

3 A23.17 Uma espira retangular de lados w = 1,00 m e l = 1,50 m, massa M = 0,15 kg e resistência R = 0,75 Ω cai, a partir do repouso numa região de campo magnético B como esboçado na Figura P Enquanto apenas o lado inferior da espira está imerso no campo, a espira atinge uma velocidade terminal v T. a) Demonstre que v T = MgR B 2 w 2. b) Por que v T é proporcional a R? c) Por que é inversamente proporcional a B 2? d) Determine B se a velocidade terminal é v T = 2,00 m/s. Figura P23.17 A23.18 O gerador unipolar, também chamado disco de Faraday, é um gerador elétrico de baixa voltagem e alta corrente. Ele consiste num disco condutor giratório com uma escova (contato elétrico deslizante) no seu eixo e outra na borda, como indicado na Figura P Um campo magnético é aplicado perpendicularmente ao plano do disco. Determine a fem gerada entre as escovas supondo um campo de 0,900 T, um raio do disco de 0,400 m e que o disco gire a 3200 rmp. Se uma voltagem for aplicada às escovas o sistema funciona como um motor unipolar. Figura P23.18 A23.49 A barra da Figura P23.49 tem massa M e resistência R e pode deslizar sem atrito sobre os trilhos horizontais numa região em que há um campo magnético uniforme de módulo B. Uma bateria de fem constante E é conectada entre os trilhos. Se a barra parte do repouso no instante t = 0 mostre que sua velocidade num instante posterior qualquer é v(t) = E Bd ( 1 e B2 d 2 t/mr ). Figura P

4 A23.21 A Figura P23.21 mostra uma região cilíndrica de raio R = 2,50 cm em que está confinado um campo magnético uniforme orientado perpendicularmente ao plano da figura apontando para dentro da página. O campo magnético varia no tempo na forma B(t) = B 0 + bt 2, com B 0 = 1,40 T e b = 0,030 T/s 2. a) Quais são a magnitude e a direção do campo elétrico no ponto P 1 (r 1 = 2,00 cm) no instante t = 3,00 s? b) No mesmo instante um elétron se encontra no ponto P 2 (r 2 = 2R = 5,00 cm). Quais são a magnitude e a direção da força sobre ele? Figura P23.21 A23.29 A bobina toroidal esquematizada na Figura P23.29 é constituída de N espiras muito próximas entre si. Considerando que o raio da seção circular r é muito menor que o raio do círculo central R, o módulo do campo magnético pode ser considerado uniforme ao longo da seção circular. Usando esta aproximação, mostre que a auto-indutância é onde A = πr 2 é a área da seção circular. L µ 0N 2 A 2πR, Figura P23.29 A23.29 A bobina toroidal de seção retangular esquematizada na Figura P23.56 é constituída de N espiras muito próximas entre si. (a) Mostre que a sua auto-indutância é L = µ 0N 2 h 2π ln(b/a), onde a e b são os raios dos círculos internos e externos, respectivamente. (b) Compute o valor de L tomando N = 500, a = 10,0 cm, b = 12,0 cm e h = 1,00 cm. (c) A expressão derivada no problema anterior (A23.29) vale para qualquer formato da seção do toróide, contanto que suas dimensões sejam muito menores que o raio médio do toro. Para testar a sua exatidão, use aquela expressão para computar L para esta bobina de seção retangular e compare com o resultado exato. Figura P

5 B32.15 Um solenóide tem 120 espiras, uniformemente enroladas em um núcleo de madeira com diâmetro de 10,0 mm e comprimento de 9,00 cm. (a) Qual é a indutância de solenóide. (b) O núcleo de madeira é substituído por um núcleo de ferro doce de permeabilidade relativa κ m = 800. Qual a nova indutância? B32.81 Num cabo paralelo cada fio têm raio a e seus eixos são separados pela distância d. Os dois fios carregam correntes opostas e iguais em sentidos opostos. Despreze o fluxo magnético no interior dos fios para computar a indutância por unidade de comprimento deste cabo. B32.86 Um transformador consiste de dois enrolamentos enrolados sobre o mesmo núcleo toroidal que tem área de seção reta A e circunferência média l. O número de espiras nos enrolamentos são N 1 e N 2. Mostre que M 2 = L 1 L 2 onde M é a indutância mútua e L 1 e L 2 as auto-indutâncias de cada enrolamento. A23.E11 A Figura E23.32 mostra uma seção de um cabo coaxial muito longo. Os condutores interno (raio a) e externo (raio b) são cascas cilíndricas de espessuras desprezíveis. O espaço entre eles é preenchido com um material de permeabilidade magnética µ. Encontre a indutância por unidade de comprimento deste cabo coaxial: (a) computando o fluxo magnético através do circuito indicado na figura, e (b) através da energia armazenada no campo magnético e a relação U B = 1 2 LI2. Figura E