Corpos Finitos Parte I

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1 Corpos Finitos Parte I IC-UNICAMP/2006-1s 1

2 Roteiro Introdução Aritmética em corpos primos Aritmética em corpos binários Aritmética em corpos de extensão IC-UNICAMP/2006-1s 2

3 Introdução aos corpos finitos Definição Operações Existência e unicidade de corpos finitos Corpos primos, binários e de extensão Subcorpos Bases O grupo multiplicativo de um corpo finito IC-UNICAMP/2006-1s 3

4 Definição Informalmente, um corpo é composto de um conjunto F, e duas operações, adição (+) e multiplicação (.), satisfazendo propriedades bem conhecidas, que resumiremos da seguinte forma: (F, +) é um grupo abeliano com identidade (aditiva) 0; (F \ {0},.) é um grupo abeliano com identidade (multiplicativa) 1. Números racionais, reais e complexos são exemplos de corpos infinitos. Quando F é finito dizemos que o corpo é finito. IC-UNICAMP/2006-1s 4

5 Operações Sejam a, b dois elementos de um corpo, finito ou não. a b é equivalente a a + ( b), onde b é o (único) inverso aditivo de b. a/b é equivalente a a.(b 1 ), onde b 1 é o (único) inverso multiplicativo de b. Escrevemos ka significando a adição de k parcelas iguais a a. Escrevemos a k significando a multiplicação de k parcelas iguais a a, com a 0 = 1. IC-UNICAMP/2006-1s 5

6 Existência e unicidade de corpos finitos A ordem de um corpo finito é o número de elementos em F. Existe um corpo finito de ordem q se e somente se q é uma potência de um número primo. Isto é, sse q = p m para algum primo p e inteiro m > 0. O primo p é a característica de F. Quando q é primo, i.e. m = 1, chamamos o corpo finito de corpo primo. Quando m > 1, o corpo é chamado de corpo de extensão. Para cada valor de q potência de primo, existe rigorosamente apenas um corpo finito de ordem q, a menos de isomorfismo, isto é, uma re-rotulação dos elementos preservando os resultados das operações. Denotaremos o corpo finito de ordem q por F q. IC-UNICAMP/2006-1s 6

7 Corpos primos Os inteiros {0, 1, 2,..., p 1}, p primo, com as operações de soma e multiplicação módulo p são um corpo primo. p é o módulo de F p. Para todo inteiro a, a redução de a módulo p, denotada a mod p, é o único inteiro r obtido calculando-se o resto da divisão de a por p. IC-UNICAMP/2006-1s 7

8 Corpos primos Exemplo 1 (Corpo F 29 ) Os elementos de F 29 são {0, 1, 2,..., 28}. Adição: = 8, já que 37 mod 29 = 8. Subtração: = 26, já que 3 mod 29 = 26. Multiplicação: = 21, já que 340 mod 29 = 21. Inversão: 17 1 = 12, já que mod 29 = 1. IC-UNICAMP/2006-1s 8

9 Corpos binários Pode-se representá-los usando bases polinomiais: Elementos de F 2 m são polinômios binários (coeficientes em {0, 1}) na variável z de grau máximo m 1: F 2 m = {a m 1 z m 1 +a m 2 z m 2... a 2 z 2 +a 1 z +a 0 : a i {0, 1}}. Operações de soma e multiplicação dos polinômios são feitas como usualmente mas: reduções são feitas módulo um polinômio irredutível f(z) de grau m. Isto é, f(z) não é o produto de dois polinômios binários de grau menor que m; coeficientes do polinômio resultante são reduzidos módulo 2. IC-UNICAMP/2006-1s 9

10 Corpos binários Exemplo 2 (Corpo F 2 4) Os elementos de F 2 4 são os 16 polinômios binários de grau máximo 3: 0 z 2 z 3 z 3 + z 2 1 z z z 3 + z z z 2 + z z 3 + z z 3 + z 2 + z z + 1 z 2 + z + 1 z 3 + z + 1 z 3 + z 2 + z + 1 IC-UNICAMP/2006-1s 10

11 Corpos binários Exemplo F 2 4 (cont.) Seja f(z) = z 4 + z + 1, um polinômio binário irredutível. Então temos: Adição: (z 3 + z 2 + 1) + (z 2 + z + 1) = z 3 + z. Subtração: (z 3 + z 2 + 1) (z 2 + z + 1) = z 3 + z. (Note que a = a, a F 2 m.) Multiplicação: (z 3 + z 2 + 1).(z 2 + z + 1) = z 2 + 1, já que (z 3 + z 2 + 1).(z 2 + z + 1) = z 5 + z + 1, e (z 5 + z + 1) mod (z 4 + z + 1) = z Inversão: (z 3 + z 2 + 1) 1 = z 2, já que (z 3 + z 2 + 1).z 2 mod (z 4 + z + 1) = 1. IC-UNICAMP/2006-1s 11

12 Corpos de extensão Pode-se representá-los também usando bases polinomiais: Elementos de F p m, m 2, são polinômios com coeficientes em F p na variável z de grau máximo m 1: F p m = {a m 1 z m 1 + a m 2 z m 2... a 2 z 2 + a 1 z + a 0 : a i F p }. Operações de soma e multiplicação dos polinômios são feitas como usualmente mas: reduções são feitas módulo um polinômio irredutível f(z) de grau m. Isto é, f(z) não é o produto de dois polinômios com coeficientes em F p de grau menor que m; coeficientes do polinômio resultante são reduzidos módulo p. IC-UNICAMP/2006-1s 12

13 Corpos de extensão Exemplo 3 (Corpo F 251 5) Os elementos de F são os polinômios com coeficientes em F 251 de grau máximo 4. Seja f(z) = z 5 + z z 3 + 9z 2 + 7, um polinômio irredutível de grau 5, com coeficientes em F 251. Sejam a = 123z z 2 + 7z + 4, e b = 196z z z Adição: a + b = 68z z z 2 + 7z Subtração: a b = 178z z z 2 + 7z Multiplicação: a.b = 117z z z z Inversão: a 1 = 109z z z z IC-UNICAMP/2006-1s 13

14 Subcorpos de um corpo finito Subcorpos são subconjuntos de um corpo que são por si só corpos, relativos às mesmas operações que definem o corpo original; este é chamado de extensão de seus subcorpos. Dado F p m, existe precisamente um subcorpo de ordem p l para cada l que divide m. Os elementos de tais subcorpos são aqueles elementos a de F p m satisfazendo a pl = a. IC-UNICAMP/2006-1s 14

15 Bases de um corpo finito Um corpo de extensão F p m sobre F p, onde pode ser visto como um espaço vetorial vetores são elementos de F p m e escalares são elementos de F p ; adição é a adição em F p m; multiplicação por escalar é a multiplicação em F p m elementos de F p por elementos de F p m. de O espaço vetorial tem dimensão n e portanto tem pelo menos uma base de dimensão n. Já vimos bases polinomiais. Veremos mais tarde bases normais. IC-UNICAMP/2006-1s 15

16 O grupo multiplicativo Os elementos não nulos de um corpo finito F q formam um grupo cíclico sob a multiplicação do corpo, denotado F q. Portanto, existe para esse grupo pelo menos um elemento especial b, chamado gerador, que tem a propriedade de que o conjunto de todas as suas potências compõem exatamente o conjunto F q. Isto é, F q = {b i : 0 i q 2}. A ordem de um elemento a F q é o menor inteiro positivo t tal que a t = 1. Como a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, temos que t é divisor de q 1. IC-UNICAMP/2006-1s 16