Transmissão de Calor I - Prof. Eduardo Loureiro. Distribuição de temperatura na camada limite para um fluido escoando sobre uma placa aquecida.

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1 O número de Nusselt: Distribuição de temperatura na camada limite para um luido escoando sobre uma placa aquecida Para y 0 o calor lui somente por condução: q T A ha TS T y sup luido y 0 ( ) onde h coeiciente médio de transmissão de calor por convecção h T y T S T y 0 Para transormar a equação para a orma adimensional, insere-se a dimensão L, que especiica a geometria do objeto do qual o calor lui: hl T y T S T L y 0 A razão adimensional acima é denominada NÚMERO DE NUSSELT ( Nu )

2 O número de Nusselt pode ser interpretado como a relação entre o gradiente de temperatura do luido imediatamente em contato com a superície e o gradiente de temperatura de reerência (T S -T )/L. Uma vez conhecido o seu valor, o coeiciente h pode ser calculado: h Nu L AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CALOR POR CONVECÇÃO: O coeiciente h pode ser avaliado de diversas ormas: 1) Análise dimensional combinada com experimentos; ) Soluções matemáticas exatas das equações da camada limite; ) Análise aproximada da camada limite por métodos integrais; 4) Analogia entre transerência de calor, massa e quantidade de movimento. ANÁLISE DIMENSIONAL EXEMPLO: Correlacionamento dos dados experimentais de transmissão de calor por convecção no caso de um luido em escoamento transversal relativamente a um tubo. Alguém imaginou que os seguintes parâmetros inluenciariam no coeiciente de transerência de calor por convecção h : Parâmetros envolvidos Símbolo Dimensões Diâmetro do tubo D L Condutividade térmica do luido ML/θ T Velocidade do luido V L/θ Densidade do luido ρ M/L Viscosidade do luido M/Lθ Calor especíico à pressão constante c P L /θ T Ou h (D,, V, ρ,, c P )

3 A unção h (D,, V, ρ,, c P ) pode ser reescrita da seguinte orma: F ( h,d,, V, ρ,, c P ) 0 n 7 parâmetros 4 dimensões E portanto obteremos (n - ) parâmetros adimensionais, neste caso, 7-4 parâmetros adimensionais. Para este im, escolhemos quatro parâmetros que se repetem (o número de dimensões utilizadas para descrever os parâmetros envolvidos):, D, e V E calculamos as razões adimensionais da seguinte orma: O primeiro, que envolve o coeiciente de convecção h : Π a c d a b c d ML b M L M 0 0 T D V h L M L θ resolvendo para: M a + c L a + b - c + d 0 T -a θ -a - c - d - 0 θ T resolvendo o sistema de equações: Lθ θ θ T a -1 b 1 c 0 d 0, e voltando à equação acima: Dh Π D h que é o número de Nusselt!!!

4 Do mesmo modo podemos calcular as outras duas razões adimensionais: VDρ Π que é o número de Reynolds e c P Π que é o número de Prandtl. Então: ( Nu, Re,Pr) 0 F ou N u ( Re,Pr) Embora h sora inluência de seis variáveis, com a ajuda da análise dimensional as sete variáveis oram combinadas em três grupos adimensionais. Portanto, os dados experimentais podem ser correlacionados em termos de três variáveis em vez das sete originais. CORRELAÇÃO DOS DADOS EXPERIMENTAIS Experimento: Ar escoando sobre um tubo de 5,4mm de diâmetro externo. Mediu-se h para velocidades variando de 0,0 a 0,48m/s. (Re variou de 50 a ) A curva permite a determinação de h para qualquer velocidade no caso acima. Porém, não vale para cilindros maiores ou menores, ou se o ar estiver sob pressão, sua densidade or dierente, etc...

5 Se os dados orem reapresentados em termos de grupos adimensionais pertinentes os resultados dos testes podem ser aplicados a vários outros problemas. Esta correlação permite a avaliação de h para o ar escoando sobre um tubo ou io de qualquer diâmetro. Em um gráico log x log (Kreith (1977), pág 61) pode-se mostrar resultados para ar, água e óleos em escoamento sobre tubos e ios para um grande intervalo de temperaturas, diâmetros e velocidades. A inclinação da linha reta é aproximadamente igual a 0,4 e o valor para Re 1 é 0,8. A equação de correlação empírica seria portanto: Nu Pr 0,4 0,8Re 0, E, para escoamentos de luido cruzado sobre tubos seria razoável avaliarmos o coeiciente de transerência de calor por: 0,4 0, N u 0,8 Re Pr hd

6 PRINCÍPIO DA SEMELHANÇA O comportamento de dois sistemas será semelhante se as relações de suas orças e velocidades orem as mesmas. Sob condições de convecção orçada em sistemas geometricamente semelhantes, os campos de velocidades serão semelhantes desde que a relação entre as orças viscosas e de inércia seja a mesma em ambos os escoamentos. Re expressa a relação entre estas orças. Então se em dois escoamentos geometricamente semelhantes os números de Re orem iguais, os campos de velocidades serão semelhantes. O número de Prantl (Pr) relaciona a diusividade viscosa que aeta a distribuição de velocidades e a diusividade térmica que aeta o peril de temperatura. Diusividade térmica ρ c P diusividade viscosa ν ρ Pr c P em outras palavras, Pr é um grupo adimensional que relaciona a distribuição de temperaturas à distribuição de velocidades. Portanto, em sistemas geometricamente semelhantes com mesmos números de Re e Pr, a distribuição de temperatura será semelhante. De acordo com sua deinição, o número de Nusselt é a relação entre o gradiente de temperatura na interace luido-superície e o gradiente de temperatura de reerência. Esperamos, portanto, que, em sistemas que têm geometria semelhante e campos de temperatura semelhantes, os valores numéricos dos números de Nusselt sejam iguais.

7 EXERCÍCIO: Deseja-se medir a temperatura dos gases de combustão que escoam em uma tubulação industrial a uma velocidade de 4m/s. Para tanto, uma junção termopar, com ormato aproximadamente esérico, é inserida no interior da tubulação conorme a igura. Sabendo-se que as paredes resriadas da tubulação estão a 90 o C e que o termopar, cuja junção tem aproximadamente mm de diâmetro, acusa uma temperatura de 550 o C, determine a temperatura dos gases de combustão. Dados: Propriedades do termopar: ε 0,6 100 W/mK Propriedades dos gases: 0,05 W/mK ν 50 x 10-6 m /s Pr 0,69 q rad 4 4 ( T 1 T ) 8 εσ σ 5,67 10 W m K 4 q conv ( ) ha T T S N u hd 1 + 0,4Re + 0,06Re Pr 0,4 Re ρvd Area πd Volume πd 6