Luís Fernando Schultz Xavier da Silveira. 12 de maio de 2010

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1 Monóides e o Algoritmo de Exponenciação Luís Fernando Schultz Xavier da Silveira Departamento de Informática e Estatística - INE - CTC - UFSC 12 de maio de 2010

2 Conteúdo 1 Monóides Definição Propriedades Exemplos 2 Produtórios e Exponenciação em Monóides Definição Propriedades 3 O Algoritmo de Exponenciação Enunciado Prova de Corretude Análise da Complexidade Implementação 4 Aplicações Exponenciação Modular Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci

3 Monóides Definição Definição Definição Seja M um conjunto e : M M uma função. Dizemos que (M, ) é um monóide se as seguintes propriedades forem satisfeitas: é associativa. Existe um elemento 1 M tal que, para todo x M, 1 x = x 1 = x.

4 Monóides Propriedades Propriedades Proposição (Unicidade da Unidade) Seja (M, ) um monóide e 1, 1 M tais que, para todo x M, 1 x = x 1 = 1 x = x 1 = x. Então 1 = 1. Demonstração. Temos que 1 1 = 1 e 1 1 = 1, logo 1 = 1. Com isso podemos definir a unidade de um monóide.

5 Monóides Exemplos Exemplos São exemplos de monóides: (R, ) onde 1 = 1. (Z, +) onde 1 = 0. (R 2 2, ), onde 1 = (Σ, ), onde 1 = ε.» (F(A, A), ), onde 1(x) = x. (L(A, A), ), onde 1(x) = x. (B(A, A), ), onde 1(x) = x. (2 A, ), onde 1 = {}. (2 A, ), onde 1 = A. (2 A, ), onde 1 = {}.

6 Produtórios e Exponenciação em Monóides Definição Produtórios e Exponenciação em Monóides Definição Seja (M, ) um monóide e f : Z M uma função. Definimos indutivamente 8 b >< 1, b < a! f(i) = b >: f(a) f(i), senão, i=a i=a+1 onde a, b Z. Definição Seja (M, ) um monóide, k N um número natural e x M um elemento qualquer. Definimos k 1 x k = x. i=0

7 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades dos Produtótios em Monóides Proposição Seja (M, ) um monóide, f : Z M uma função e a, c, b Z números inteiros satisfazendo a c b. Então!! c 1 b 1 b 1 f(i) f(i) = f(i). i=a i=c i=a

8 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades dos Produtótios em Monóides Demonstração. Por indução em c a. No caso base a = c, logo!!!! c 1 b 1 a 1 b 1 f(i) f(i) = f(i) f(i) i=a i=c i=a = 1! b 1 f(i) i=a b 1 = f(i). i=a i=a

9 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades dos Produtótios em Monóides Demonstração. Para o passo indutivo, assuma a < c. Portanto!! c 1 b 1 f(i) f(i) = f(a) i=a i=c = f(a) = f(a) c 1 i=a+1 c 1 i=a+1 b 1 i=a+1 f(i) f(i)!!!! b 1 f(i) i=c!! b 1 f(i) i=c! b 1 f(i) = f(i). i=a

10 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades da Exponenciação em Monóides Corolário. Seja (M, ) um monóide, x M um elemento qualquer e m, n N números naturais. Então x m+n = x m x n. Demonstração. x m x n = m 1 i=0 = x m+n. x! n 1 i=0 x! = m 1 i=0 x! (m+n) 1 i=m 1 xa = (m+n) 1 i=0 x

11 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades da Exponenciação em Monóides Proposição Seja (M, ) um monóide, x M um elemento qualquer e m, n N números naturais. Então (x m ) n = x mn. Demonstração. A prova será por indução em n. Para n = 0 o resultado é trivial. Seja n N qualquer e assuma que (x m ) n = x mn. Então (x m ) (n+1) = (x m ) n (x m ) 1 = x mn x m = x mn+m = x m(n+1).

12 Produtórios e Exponenciação em Monóides Propriedades Propriedades da Exponenciação em Monóides Como uma observação final, note que 0 x é 1 para todo x. Inclusive, 0 0 = 1.

13 O Algoritmo de Exponenciação Enunciado Enunciado Seja (M, ) um monóide, x M em elemento qualquer e k N um número natural. Considere então o seguinte algoritmo: exp(x, k) 0 a, n, p x, k, 1 1 enquanto n 0 faça 2 se n mod 2 = 1 então 3 p p a 4 a a a 5 n n 2 6 retorne p

14 O Algoritmo de Exponenciação Prova de Corretude Prova de Corretude Teorema O algoritmo anterior corretamente computa o valor x k. Demonstração. A prova será através da seguinte invariante de loop: Sempre que o algoritmo passa pela linha 1, p a n = x k. Na primeira vez que ele chega à linha 1, essa invariante é trivialmente satisfeita, pois p = 1, a = x e n = k em virtude da atribuição na linha 0.

15 O Algoritmo de Exponenciação Prova de Corretude Prova de Corretude Demonstração. Suponha que o algoritmo chegou à linha 1 satisfazendo a invariante. Vamos mostrar que se ele retornar, a invariante ainda continua sendo satisfeita. O algoritmo irá voltar à linha 1 se, e somente se, n 0. Iremos, portanto, assumir este fato. Se ele voltar, os novos valores para a, n e p serão j a = a a, p = p a n mod 2, n n k =. 2 Mas então p a n = p a n mod 2 (a a) n 2 = p a n mod 2 (a 2 ) n 2 = p a n mod 2 a 2 n 2 = p a n mod 2 n (n mod 2) a = p a n = x k.

16 O Algoritmo de Exponenciação Prova de Corretude Prova de Corretude Demonstração. Portanto, ao fim do algoritmo, x k = p a n, mas como n = 0, x k = p a 0 = p 1 = p. Logo o algoritmo corretamente retorna p = x k.

17 O Algoritmo de Exponenciação Análise da Complexidade Análise da Complexidade Este algoritmo pode ter sua complexidade analisada com o Teorema Mestre através da recorrência n T (n) = T + Θ(1). 2 Como Θ(1) = Θ(n log 2 1 ), temos T Θ(log n).

18 O Algoritmo de Exponenciação Implementação Detalhes de Implementação Se n estiver representado na base 2, este algoritmo pode ser eficientemente implementado. Para n escrito em uma base geral b, precisamos adaptar o algoritmo como segue: exp b (x, k) 0 a, n, p x, k, 1 1 enquanto n 0 faça 2 p p a n mod b 3 a a b 4 n n b 5 retorne p A demonstração de que ele funciona e roda em Θ(log n) para todo b fica como exercício.

19 Aplicações Exponenciação Modular Exponenciação Modular Vários protocolos de criptografia assimétrica precisam computar eficientemente o valor de a b mod n para valores n N \ {0} e a, b Z n. Observando que (Z n, ) é um monóide, esse problema pode facilmente ser resolvido com o algoritmo que estudamos.

20 Aplicações Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci O n-ésimo número de Fibonacci é definido recursivamente por 8 >< 0, n = 0 f n = 1, n = 1 >: f n 2 + f n 1, senão. Gostaríamos de ser capazes de computar eficientemente o n-ésimo número de Fibonacci f n para um dado n N.

21 Aplicações Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Conhecemos um algoritmo capaz de fazer isso, mas ele executa Θ(n) somas. Ainda, o n-ésimo número de Fibonacci tem da ordem de Θ(n) dígitos em qualquer base. Se levarmos isso em conta este algoritmo leva Θ(n 2 ) para concluir. Iremos mostrar um algoritmo para calcular o n-ésimo número de Fibonacci usando apenas Θ(log n) somas e multiplicações. Ainda, se considerarmos que uma multiplicação de dois números de n dígitos pode ser executada em O(n log n log log n), este algoritmo leva apenas O(n log 2 n log log n) para terminar, sendo bastante mais rápido. Mesmo usando o algoritmo de Karatsuba para multiplicar faz com que esse algoritmo rode em O(n log 2 3 log n), o que ainda é bem mais rápido.

22 Aplicações Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci A principal idéia por traz desse algoritmo vem da seguinte igualdade»»» fn fn+1 =. 1 0 f n+1 f n Por indução obtém-se» fn+1 f n =» n» f1. f 0» n 1 1 Mas como (N 2 2, ) é um monóide, segue que podemos calcular 1 0 rapidamente, usando apenas Θ(log n) vezes a operação do monóide, que é um produto matricial 2 2 e que portanto pode ser implementado com Θ(1) somas e multiplicações.

23 Aplicações Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Cálculo Eficiente dos Números de Fibonacci Outra observação interessante é que como f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1 e»» k»»» k» fk f1 fk f2 =, =, f k f 0 f k+1 obtém-se que, para k 1,» k» 1 1 fk+1 f = k, 1 0 f k f k 1 e como os número de Fibonacci são não decrescentes, temos que o maior número que aparece em uma matriz no algoritmo de exponenciação é f n+1, que tem Θ(n) dígitos em qualquer base. Se M(n) é o tempo que um algoritmo de multiplicação leva para multiplicar dois inteiros de n dígitos e M é da classe de complexidade de uma função assintoticamente não decrescente, segue que podemos implementar esse algoritmo em O(M(n) log n). f 1