Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: PARA QUEM CURSA O 2 Ọ ANO DO ENSINO MÉDIO EM 2018 Disciplina: MATEMÁTICA

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1 Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA O Ọ ANO DO ENSINO MÉDIO EM 8 Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO NOTA: QUESTÃO 6 Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a cm. A área do triângulo, em centímetros quadrados, é: a) b) c) d) 5 e) 6 Considerando o siste ma de eios cartesia nos da figu ra, tem-se A(; ), B(; ) e C(; ). A área S do triângulo ABC é tal que D S =, em que D = = Assim, S = cm = cm Resposta: A MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

2 QUESTÃO 7 O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. O perímetro do triângulo é: a) b) c) d) e). Sendo a medida do lado, h = a altura e S = a área do triângulo.. equilátero, tem-se a P.G. ; ;, então:. =.... = = = =. = Assim, o perímetro do triângulo é. =. Resposta: C MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

3 QUESTÃO 8 Na figura abaio, a reta r é paralela ao segmento AC, sen do E o ponto de in ter sec ção de r com a reta de ter mi na da por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são e, respectiva men te, e a área do quadrilátero ABED é, então a área do triângulo BCE é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) r//ac B E C A D Sendo S ACE =, S ADC = e S ABED = tem-se S BCE = S ABED S ADC S ABC = = 7, pois se r // AC, então S ABC = S ACE = Resposta: B MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

4 QUESTÃO 9 O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) b) (8!)(5!) c)! (8!) (5!) d)! 8! e)! (7!)(5!) VESTIBULANDO tem letras distintas e portanto P =! anagramas. As vogais aparecem juntas em P 8. P 5 = (8!). (5!) anagramas E I U A O V S T B L N D Logo, eistem! (8!) (5!) anagramas nos quais as vogais não estão todas juntas. Resposta: C QUESTÃO Uma sala tem portas. Calcular o número de maneiras diferentes pelas quais essa sala pode ser aberta.! a) 5! b) 5 c) d)! e) Para que a sala de portas seja aberta, deve-se abrir pelo menos uma porta. O número de maneiras diferentes de abrir uma única porta é C,, de abrir duas portas é C, ; de abrir portas é C,, e assim sucessivamente. Portanto, o total de maneiras é dado por C, + C, + C, C, = = = = = Resposta: E MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

5 QUESTÃO Em uma reunião, há rapazes, dos quais u sam óculos, e 6 garotas, 6 das quais usam óculos. De quantos mo dos possíveis podem ser formados casais para dançar se quem usa óculos só deve formar par com que não os usa? a) 9 b) c) 96 d) 88 e) 76 Pelo enunciado temos a seguinte distribuição: Rapazes Moças Usam óculos 6 Não usam óculos 8 Total 6 O número de casais em que um usa óculos e outro não é: = + 8 = 88 Resposta: D 5 MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

6 QUESTÃO São escolhidas aleatoriamente três das cé lulas pretas do tabu leiro repre sen tado na figura ao lado. Qual a proba bilidade de as três posi ções escolhidas não estarem alinhadas? a) 6 7 b) c) 5 8 d) 7 8 e) 65 Observe o tabuleiro com as células pretas numeradas de a 8: I) O número de maneiras de escolher das 8 células pretas é C 8, = = = 56.. II) Das 56 maneiras, eistem 6 em que as células estão alinhadas, são elas: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (5,, 7) e (6,, 8) III) A probabilidade de as posições escolhidas não estarem alinhadas é 56 6 = 5 = Resposta: C 6 MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

7 QUESTÃO Um cubo de cm de aresta tem duas faces adjacentes pintadas de cinza e as demais são pintadas de branco. O seu interior também é branco. Esse cubo é, então, dividido em 8 cubinhos de cm de aresta, como mostra a figura abaio. Se um desses cubinhos for escolhido ao acaso e lan çado sobre uma mesa, a probabilidade de que a face voltada para cima esteja pintada de cinza é: a) / b) / c) / d) / e) /6 Observe que, dos 8 cubinhos, tem-se: a) do tipo I, com faces cinza e brancas; b) do tipo II, com face cinza e 5 brancas e c) do tipo III, com as 6 faces brancas. Para obter uma face cinza, pode-se sortear um cubo do tipo I e obter face cinza ao lançá-lo, ou sortear um cubo do tipo II e obter face cinza ao lançá-lo. Assim, a probabilidade pedida é. +. = + = = Resposta: E 6 7 MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

8 QUESTÃO Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmente preenchidas com os algarismos,, e, de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os quatro algarismos. A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente, uma cartela contemplando a configuração da figura II, com a eigência adicional de que cada coluna (vertical) e cada um dos subquadrados destacados contenham todos os algarismos (,, e ) é: a).!!! b) 6.!!! c) d) 8.!!!.!!! e)!!!! Para cada uma das linhas da figura I eistem P possi bi lidades. Para as quatro linhas eistem P. P. P. P possibilidades. Observe que nesse total não se respeitou qualquer condição de coluna ou subquadrados. Respeitando as condições das colunas e dos subqua drados contemplarem os quatro algarismos, o qua drado da figura II pode ser preenchido de P formas diferentes, pois com os números dados todos os algarismos apresentados na figura abaio estão fiados.: Desta forma, a probabilidade é Resposta: A P P.P.P.P! = =!.!.!.!.!.!.! 8 MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

9 QUESTÃO 5 O preço de um objeto, em reais, é escolhido, aleatoria mente, entre os elementos do conjunto {,;,;,;,;...;,99}. A probabilidade de que o preço de tal objeto seja reais e centavos é: a),6% b) % c),6% d),% e) % I) No conjunto de preços {,;,;,; ;,99}, eistem = elementos. II) Os preços do tipo reais e centavos formam o conjunto {,;,; 5,5; ;,}, num total de = elementos. III) A probabilidade pedida é = = % Resposta: B 9 MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

10 QUESTÃO 6 Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema: Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adian te. Então, é correto afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é a) b) c) d) 5 6 e) 6 7 Observando os caminhos no esquema a seguir, tem-se: Para chegar à Cachoeira Pequena eistem dois caminhos possíveis: MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

11 I) Na ạ bifurcação, seguir o caminho A, cuja probabilidade é II) Na ạ bifurcação, seguir o caminho B e, na ạ bifurcação, seguir o caminho C, cuja probabilidade é. = Assim, a probabilidade pedida é + = Resposta: C QUESTÃO 7 Considere a matriz A = 8 e seja f : definida por f() = det A. Então f( ) é: a) b) c) 9 d) 7 e) 7 I) f() = det A = = 8 =. ( ) +. 8 = =... ( ) +. 8 =.... ( + 8) =. ( + 8) II) f() =. ( + 8) f( ) = ( ). [( ) + 8] =. ( + 8) = 7 Resposta: D MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

12 QUESTÃO 8 Sejam A, B, C matrizes reais, satisfazendo as seguintes relações: A. B = C e B =. A. Se o determinante de C é, o valor do módulo do determinante de A é: a) b) /8 c) 6 d) 8 e) Se A, B e C são matrizes quadradas de ordem com det C =, então: I) B =. A det B = det(. A) =. det A = 8. det A II) A. B = C det(a. B) = det C det A. det B = det A. 8. det A = (det A) = det A = ± det A = Resposta: A QUESTÃO 9 Uma pessoa quer distribuir, entre seus amigos, um determinado número de convites. Se der convites a cada ami go, sobrarão 5 convites; entretanto, se pretender dar convites a cada amigo, faltarão 5 convites. Caso essa pessoa pretenda dar convites a cada amigo, ela precisará ter mais: a) 5 convites. b) 55 convites. c) convites. d) 8 convites. e) 7 convites. Sendo a o número de amigos e C o número de convites, nas condições propostas, temse: C = a + 5 C = a + 5 C = a 5 a 5 = a + 5 C = a + 5 a = C = 5 a = Se a pessoa pretende dar quatro convites a cada amigo, necessitará de. = 6 convites e, por tanto, pre cisará ter mais 6 5 = 55 convites. Resposta: B MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO

13 QUESTÃO Considere o sistema de equações c + y y = =, em que c é uma constante real. Para que a solução do sistema seja um par ordenado no interior do primeiro quadrante ( >, y > ) do sistema de eios cartesianos ortogonais com origem (; ), é necessário e suficiente que a) c b) c < c) c < ou c > / d) / < c e) < c < / y = c + y = (c + y ) = = 5 5 = c + c y = c + ) Se = 5 >, então c + > c > c + c ) Se y = >, então c >, pois c > c + Logo, c < De () e (), concluímos que < c < Resposta: E MATEMÁTICA DESAFIO ọ ANO