LIMITE E CONTINUIDADE DE

Transcrição

1 CAPÍTULO 4 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 4.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar, vamos recordar que, dados dois vetores v = (v 1,v 2,...,v n ) e u = (u 1,u 2,...,u n ) em R n, a distância entre v e u é dada por v u = (v 1 u 1 ) 2 +(v 2 u 2 ) (v n u n ) 2, onde a função. : R n R é chamada de norma. Observe ainda que, v = v1 2 +v vn 2 = v. v. Desta forma, uma bola aberta em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } e, uma bola fechada em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) ( n n0 ) 2 r 2 }. Na reta (R), temos que uma bola aberta de raio r com centro em 0 é o conjunto dos pontos no intervalo aberto ( 0 r, 0 +r) (( 0 ) 2 < r 2 ( 0 ) 2 < r 0 < r) e que uma bola fechada de raio r com centro em 0 é o conjunto dos pontos no intervalo fechado [ 0 r, 0 + r] (( 0 ) 2 r 2 ( 0 ) 2 r 0 r). No plano (R 2 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0 ) é o conjunto dos pontos que estão no interior da circunferência de raio r com centro em ( 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2 e que uma bola fechada de raio r com centro em ( 0, 0 ) é o conjunto dos pontos que estão no interior da circunferência de raio r com centro em ( 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2, 58

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise incluindo os pontos da própria circunferência ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2. E, no espaço (R 3 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ) é o conjunto dos pontos que estão no interior da esfera de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2 e que uma bola fechada de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ) é o conjunto dos pontos que estão no interior da esfera de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2, incluindo os pontos da própria esfera ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = r 2. Vamos definir agora pontos interiores, conjuntos abertos, viinhança, pontos de acumulação, pontos de fronteira e conjuntos fechados. DEFINIÇÃO 4.1.1: (Ponto Interior) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que X 0 A é um ponto interior de A se eiste uma bola aberta com centro em X 0 inteiramente contida em A. DEFINIÇÃO 4.1.2: (Conjunto Aberto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Eemplo 4.1.1: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R n. Em particular, a bola aberta B r ( 0 ) = ( 0 r, 0 + r) é um conjunto aberto em R, a bola aberta B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R 2 e a bola aberta B r ( 0, 0, 0 ) = {(,,) R 3 ( 0 ) 2 +( 0 ) = 2 +( 0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R 3. Eemplo 4.1.2: O conjunto A = {(,) R 2 0 < < 1 e 0 < < 1} é um conjunto aberto em R 2. DEFINIÇÃO 4.1.3: (Viinhança) Uma viinhança de um ponto X 0 R n é um conjunto aberto que contém X 0. Eemplo 4.1.3: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } é uma viinhança de X 0. DEFINIÇÃO 4.1.4: (Ponto de Acumulação) Diemos que X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A R n se toda bola aberta com centro em X 0 contém pelo menos um ponto X A, X X 0. Observe que um ponto de acumulação de um dado conjunto não necessariamente per-

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise tence ao conjunto. Eemplo 4.1.4: O conjunto dos pontos de acumulação da bola aberta B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) < 1} é a bola fechada B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) }. Eemplo 4.1.5: O conjunto dos pontos de acumulação da bola fechada B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) } é a própria bola fechada B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) }. Eemplo 4.1.6: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto A = R 2 \{(0,0)} é todo o R 2. Eemplo 4.1.7: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto A = B 1 (0,0) {(2,0)} é o conjunto B 1 (0,0). Observe que o ponto (2,0) não é ponto de acumulação do conjunto A, pois toda bola aberta com centro em (2,0) e raio menor do que 1, não possui pontos do conjunto A diferentes do ponto (2, 0). Eemplo 4.1.8: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto A = B 1 (0,0) I, onde A = {(,) R 2 1 < < 2 e = 0} é o conjunto B 1 (0,0) I, onde I = {(,) R e = 0}. Observação 4.1.1: Se X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A, podemos nos aproimar de X 0, o quanto quisermos, por uma sequência de pontos onde todos os pontos desta sequência pertencem a A. Esta definição será necessária para definir o conceito de ite de funções de várias variáveis reais, pois a possibilidade de aproimação de um ponto em R n é bem mais diversificada do que simplesmente se aproimar pela direita ou pela esquerda, que eram os casos de aproimação vistos em Cálculo 1, onde os domínios das funções eram intervalos na reta. DEFINIÇÃO 4.1.5: (Ponto de Fronteira e Fronteira)DadoumconjuntoA R n não-vaio, diemos que X 0 R n é um ponto de fronteira de A, se toda bola aberta com centro em X 0 possuir pelo menos um ponto que pertence a A e um ponto que não pertence a A. O conjunto dos pontos de fronteira de um conjunto A é chamado de fronteira de A. A fronteira de A é denotada por A. Observe que um ponto de fronteira X 0 de um dado conjunto A não necessariamente pertence ao conjunto A. Caso ele pertença, pode acontecer que eista um raio r 0, de modo que o ponto do conjunto A que pertence às bolas abertas centradas no ponto de fronteira X 0 com raio menor do que r 0 seja apenas o próprio ponto de fronteira X 0 (cf.

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo abaio). Eemplo 4.1.9: A fronteira da bola aberta B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) < 1} é a circunferência = 1. Eemplo : A fronteira da bola fechada B 1 (0,0) = {(,) R 2 (,) } é a circunferência = 1. Eemplo : A fronteira do conjunto A = R 2 \{(0,0)} é o conjunto vaio. Eemplo : A fronteira do conjunto B = B 1 (0,0) {(2,0)} é a circunferência = 1 e o ponto (2,0). Observe que qualquer bola aberta contendo (2,0) e que não intercepta circunferência = 1, possui apenas um único ponto do conjunto B, que é o próprio ponto (2,0). Eemplo : A fronteira do conjunto A = B 1 (0,0) I, onde A = {(,) R 2 1 < < 2 e = 0} é o conjunto C 1 I, onde C 1 = {(,) R = 1} e I = {(,) R e = 0}. DEFINIÇÃO 4.1.6: (Conjunto Fechado) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Eemplo : Toda bola fechada B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) ( n n0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R n. Em particular, a bola fechada B r ( 0 ) = [ 0 r, 0 +r] é um conjunto fechado em R, a bola fechada B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R 2 e a bola fechada B r ( 0, 0, 0 ) = {(,,) R 3 ( 0 ) 2 +( 0 ) = 2 +( 0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R 3. Eemplo : O conjunto A = B 1 (0,0) {(2,0)} é um conjunto fechado. Eemplo : O conjunto A = {(,) R e 0 1} é um conjunto fechado em R 2. Vamos definir agora conjuntos itados e conjuntos compactos. DEFINIÇÃO 4.1.7: (Conjunto Limitado) Dado um conjunto A R n não-vaio,

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise diemos que A é um conjunto itado, se eiste M > 0, tal que A R, onde R é o retângulo em R n, dado por R = {( 1, 2,..., n ) R n M 1 M, M 2 M,..., M n M,}. Eemplo : Toda bola aberta e toda bola fechada em R n de raio r e centro em X 0 são conjuntos itados em R n. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto itado em R 2. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} itado em R 2. NÃO é um conjunto DEFINIÇÃO 4.1.8: (Conjunto Compacto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto compacto se ele é fechado e itado. A definição de conjuntos compactos dada acima é específica para R n. Eemplo : Toda bola fechada, em R n, de raio r e centro em X 0 é um conjunto compacto em R n. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto compacto em R 2. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} NÃO é um conjunto compacto em R 2, pois, apesar de ser um conjunto fechado, ele não é um conjunto itado. Terminadas as noções de topologia, vamos agora passar à definição de ite de funções reais de várias variáveis. 4.2 Limite Conforme já observado quando definimos ite de funções vetoriais de uma variável real, a essência deste conceito reside em uma análise de distâncias. Vamos portanto enunciá-la mais uma ve, utiliando a função distância.

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Definição de ite de funções da reta na reta reescrito em termos da função distância: Seja f a função real f : Dom(f) R R. Suponha que f está definida em um intervalo aberto contendo o ponto 0 (eceto, possivelmente, no próprio ponto = 0 ). Diemos que f() tende a l R, quando tende a 0, cuja notação é 0 f() = l, se, para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, 0 < d(, 0 ) < δ d(f(),l) < ε. Tradução: Dada uma função f : Dom(f) R R definida no intervalo aberto I contendo 0 (eceto possivelmente no próprio 0 ), diemos que f possui ite l quando tente a 0 se, dado uma distância máima que permitimos que f() se afaste de l (uma distância ε dada), sempre é possível encontrar uma outra distância (uma distância δ), tal que se não se afastar de 0 uma distância maior do que esta distância encontrada (a distância δ), o valor da função f, para pontos nesta viinhança itada, estará próimo de l o quanto queremos (a distância ε dada). Observação 4.2.1: Observe que o conceito de ite avalia o comportamento da função nas proimidades do ponto 0. Isto é, é avaliado se, para pontos suficientemente próimos de 0, o valor da função nestes pontos está próimo de l o quanto foi especificado. Sendo assim, precisamos que qualquer que seja a viinhança que contém 0, tenhamos pelo menos um ponto do domínio nesta viinhança, para que possamos avaliar se o valor da função neste ponto é próimo de l o tanto que se deseja. Sem garantias da eistência de um ponto do domínio a distâncias arbitrariamente próimas de 0, o estudo do comportamento da função nestas viinhanças não faria sentido. Vendo sob este aspecto, podemos observar que 0 deve ser um ponto de acumulação do domínio de f para que a avaliação do ite da função quando tende a 0 faça sentido. Para funções de uma variável real, definidas em intervalos, note que um ponto 0 pertencente a um intervalo aberto I é trivialmente um ponto de acumulação de I. Diante da observação feita acima, vamos definir ite de funções reais de uma variável real utiliando o conceito de ponto de acumulação. Note a elegância. Limite de funções reais de uma variável real: Seja f : Dom(f) R R uma função real de uma variável real e seja 0 um ponto de acumulação de Dom(f). Diemos que f() tende a l, l R, quando tende a 0, cuja notação é f() = l, 0 se para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, 0 < 0 < δ, Dom(f) f() l < ε. Uma ve esclarecida a necessidade do ponto 0 ser um ponto de acumulação do domínio da função para podermos definir ite de funções reais de n variáveis reais, falta apenas adequar a parte referente a distância entre pontos do domínio. Antes, em Cálculo

7 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise A, para funções de uma variável real, a distância entre pontos do domínio era dada pelo módulo. Agora, a noção de distância entre pontos do domínio de funções de várias variáveis reais utilia a norma euclidiana de R n (espaço euclidiano n-dimensional). DEFINIÇÃO 4.2.1: (Limite) Seja f a função real de várias variáveis f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(f). Diemos que f(x) tende a l, l R, quando X = ( 1, 2,..., n ) tende a X 0, cuja notação é f(x) = l, se para X X 0 todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, 0 < X X 0 = ( 1 10 ) ( n n0 ) 2 < δ, X Dom(f) f(x) l < ε. Desta forma, para a função real de duas variáveis temos que, f : Dom(f) R 2 R (,) f(,), f(,) = l se, para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, (,) ( 0, 0 ) 0 < ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 < δ, (,) Dom(f) f(,) l < ε. 5 2 Eemplo 4.2.1: Mostre que (,) (0,0) 2 + = 0. 2

8 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Solução: Aplicando a definição, temos que = 0, se dado ε > 0, eiste (,) (0,0) 2 +2 δ > 0 tal que, 0 < < δ < ε. Observando que = , (1) para ε > 0 dado, basta faer δ = ε 5. De fato, se δ = ε, segue que 5 0 < < δ = ε < ε, portanto, de (1), temos que 0 < < ε < ε, conforme desejado. Eplicações das desigualdades: ( ) = 1 2 e ( ) = ). Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 52 sob diferentes ângulos, para facilitar a visualiação Vejamos agora as propriedades de ite. Cabe ressaltar que vimos todas as versões destas propriedades para funções da reta na reta em Cálculo 1A. TEOREMA 4.2.1: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(f), então f(x) = l f(x) l = 0. X X 0 X X 0

9 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise TEOREMA 4.2.2: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(f), então f(x) = l f(y +X 0 ) = l. X X 0 Y 0 TEOREMA 4.2.3: (Propriedades de Limite) Considere as funções f, g : D R n R, tais que X X0 f(x) = l, X X0 g(x) = p e seja k R. Neste caso, temos que a) X X0 (f ±g)(x) = l ±p; b) X X0 (kf)(x) = kl; c) X X0 (fg)(x) ( ) = lp; f d) X X0 (X) = l, se p 0; g p e) X X0 f(x) = l. TEOREMA 4.2.4: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(f), então f(x) = 0 f(x) = 0. X X 0 X X 0 Observação 4.2.1: Note que é fundamental no Teorema que o valor do ite seja 0, pois caso contrário, é possível ter X X0 f(x) = l 0, sem que sequer eista X X0 f(x). Por eemplo, para a função { 1, se 0 f(,) = 1, se > 0, temos que (,) (0,0) f(,) = (,) (0,0)1 = 1, 0 R, enquanto que não eiste (,) (0,0) f(,). Este eemplo é uma etensão do eemplo da função da reta na reta, { 1, se 0 f() = 1, se > TEOREMA 4.2.5: Seja f : R n R uma função polinomial, então X X0 f(x) = f(x 0 ).

10 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 4.2.2: Calcule (,) (1,0) Solução: Como a função f(,) = é polinomial, temos pelo Teorema acima que (,) (1,0) f(,) = (,) (1,0) = f(1,0) = 0. TEOREMA 4.2.6: Seja f : Dom(f) R n R uma função racional, e seja X 0 um ponto de Dom(f), então X X0 f(x) = f(x 0 ). Eemplo 4.2.3: Calcule (,) (1,2) Solução: Observe que o domínio da função racional f(,) = 52 é dado por 2 +2 Dom(f) = R 2 \{(0,0)}. Portanto, o ponto ( 0, 0 ) = (1,2) Dom(f). Desta forma, pelo Teorema acima, temos que f(,) = (,) (1,2) (,) (1,2) = f(1,2) = = 2. TEOREMA 4.2.7: (Teorema do Confronto (ou do Sanduíche)) Sejam f,g,h : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Suponha que eiste uma viinhança V(X 0 ) de X 0 tal que f(x) g(x) h(x) para todo X (V(X 0 )\{X 0 }) D. Desta forma, se f(x) = l e h(x) = l então, g(x) também eiste X X 0 X X 0 X X 0 e X X 0 g(x) = l. TEOREMA 4.2.8: (Teorema do Anulamento) Sejam f,g : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Se f(x) = 0 e eiste uma viinhança V(X 0 ) X X 0 de X 0 tal que g é itada em V(X 0 ) D, então f(x)g(x) também eiste e X X 0 f(x)g(x) = 0. X X 0

11 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 4.2.4: Calcule, caso eista, (,) (0,0) Solução: Observe que a função g(, ) = 0 (,) (0,0) é itada, uma ve que = 1. Além disso, a função f(,) = 5 é tal que f(,) = 5 = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto (,) (0,0) de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que (,) (0,0) = 5. (,) (0,0) = 0. (Esta função é a mesma do Eemplo ) Eemplo 4.2.5: Calcule, caso eista, 3 2 (,) (0,0) Solução: Observe que a função g(,) = 2 2 é itada, uma ve que = 1.( ) 2 ((*)Lembre-se que a b a b a + b, a,b R.) Além disso, a função f(,) = é tal que (,) (0,0) f(,) = (,) (0,0) = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que 3 2 = (,) (0,0) (,) (0,0) 2 + = 0. 2 Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) =

12 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise TEOREMA 4.2.9: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g). Suponha que X X0 g(x) = a e que a é um ponto de acumulação de Dom(f). Se f não está definida em a ou se f é contínua em a, então f(g(x)) = f(u). X X 0 u a Observação 4.2.2: Utiliamos a versão deste teorema dada em Cálculo 1A (neste sen(tan()) caso, g : Dom(g) R R) para calcular ites do tipo. Neste caso, 0 tan g() = tan, f(u) = senu u, 0 = 0, a = g() = tan = 0 e f(u) = senu não 0 0 u está definida em a = 0, de modo que 0 f(g(x)) = 0 sen(tan()) tan = u a f(u) = u 0 senu u = 1. 1 cos( 2) Eemplo 4.2.6: Verifique se (,) (1,2) 2 ( 2) 2 eiste. Solução: Neste caso, observe que desejamos saber X X0 f(g(x)), onde g(,) = ( 2), f(u) = 1 cosu, X u 2 0 = (1,2), a = g(,) = ( 2) = 0 e (,) (1,2) 0 f(u) = 1 cosu não está definida em a = 0. Portanto, pelo Teorema 4.2.9, temos que u 2 1 cos( 2) f(g(x)) = X X 0 (,) (1,2) 2 ( 2) 2 = u a f(u) = u 0 1 cosu u 2 = 1 2. Observe que também podemos aplicar este mesmo raciocínio para determinar 1 cos( 2) 1 cos( 2) e. (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2 Desta forma, também obtemos que 1 cos( 2) = 1 (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 2 = 1 cos( 2). (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2

13 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Abaio temos um esboço do gráfico de f sob diferentes ângulos para facilitar a visualiação. Observe que o domínio da função f(,) = é dado por 1 cos( 2) 2 ( 2) 2 Dom(f) = {(,) R 2 0 e 2}, de modo que os pontos correspondentes às duas retas = 0 e = 2, encontram-se tracejados. Observação 4.2.3: Caso f esteja definida em a e não seja contínua neste ponto, as funções reais de variáveis reais abaio servem para eemplificar (conforme visto em Cálculo 1A) que a igualdade f(g(x)) = f(u) pode falhar. Considere as { X X 0 u a u+1, u 1 funções f(u) = 5, u = 1 e g() = 1 para todo real. Escolhendo 0 = 3, observe que g() = 1 = 1, demodoquea=1. Alémdisso, temosque f(u) = u 1 mas, f(g()) = 5 = 5 2 = f(u). 3 3 u 1 Observação 4.2.4: Sabendo que X X0 g(x) = a, se eistir uma viinhança V(X 0 ) de X 0 tal que g(x) a para todo X V(X 0 ) Dom(g), X X0 g(x) = a, a igualdade X X0 f(g(x)) = u a f(u)doteorema4.2.9tambémirávaler,independente do comportamento de f em a. Reformulando o enunciado do Teorema para incluir este caso, ficamos com o seguinte enunciado: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g). Suponha que X X0 g(x) = a e que a é um ponto de acumulação de Dom(f). Se f não está definida em a ou se f é contínua em a ou ainda se eiste uma viinhança V(X 0 ) de X 0 tal que g(x) a para todo X (V(X 0 )\{X 0 }) Dom(g), então X X0 f(g(x)) = u a f(u). Observe que, pelo o Teorema acima, se X X0 g(x) = a e f é uma função contínua em a, então, ( ) f(g(x)) = f(u) = f(a) = f g(x). X X 0 u a X X 0 Em outras palavras, temos que se f é uma função contínua, podemos passar o ite para dentro, de modo que: o ite da f é igual a f do ite. Pela importância

14 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise deste resultado, que é a própria caracteriação de funções contínuas, vamos enunciá-lo abaio. COROLÁRIO 4.2.1: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e suponha que X X0 g(x) = a. Se a é um ponto de acumulação de Dom(f) e f é contínua em a, então ( ) f(g(x)) = f X X 0 g(x) X X 0. Agora vamos ver um teorema que é de grande utilidade para demonstrar que uma dada função NÃO possui ite. TEOREMA : Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(f). Suponha que f(x) = l. Considere agora a curva C parametriada X X 0 pela função contínua γ : [a,b] R n, tal que γ(t 0 ) = X 0, t 0 [a,b]. Suponha que, para todo t t 0, tem-se que γ(t) X 0, e que, γ(t) Dom(f), t [a,b], t t 0. Neste caso, segue que f(γ(t)) = l, t t 0 ou um ite lateral apropriado. Observe que se for possível encontrar uma curva C 1 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 1, e uma curva C 2 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 2, de modo que γ 1 (u 0 ) = X 0 = γ 2 (v 0 ) e tal que f(γ 1 (u)) f(γ 2 (v)) (ou um ite lateral apropriado), podemos concluir pelo Teorema acima, que NÃO eiste u u0 v v0 f(x). X X 0 Faça um paralelo entre o teorema acima e o teorema que estudamos em Cálculo 1A: f() = L f() = L = f(). 2 2 Eemplo 4.2.7: Verifique se (,) (0,0) 2 + eiste. 2 Solução: Considere f(,) = Vamos mostrar que o ite acima não eiste apresentando dois caminhos distintos de aproimação à origem, tais que o ite ao longo destes caminhos não são iguais. Para isto, considere a curva C 1 parametriada por γ 1 (t) = (t,0), t 0 e a curva C 2 parametriada por γ 2 (t) = (0,t), t 0. Desta

15 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise forma, calculando separadamente, que (,) (0,0) ao longo das curvas C 1 e C 2, temos e 2 2 (,) (0,0) 2 + = t t 0 +f(γ 1(t)) = t 0 + t 2 +0 = t 0 +1 = 1, ao longo de C 1 0 t 2 = (,) (0,0) t 0 +f(γ 2(t)) = t t = 2 t = 1. ao longo de C 2 Como os ites ao longo de dois caminhos diferentes de aproimação à origem são 2 2 distintos, temos que não eiste (,) (0,0) Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 2 2 sob diferentes ângulos, para evidenciar os caminhos de 2 +2 aproimação C 1 e C 2. Eemplo 4.2.8: Abaio encontram-se esboçadas as curvas de nível da função f : Dom(f) R 2 R, onde Dom(f) = {(,) R 2 1}. Curvas de cores e estilos diferentes são referentes a diferentes níveis. Com base nestas informações, verifique se (,) (1,0) f(,) eiste. Justifique.

16 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Solução: Vamos supor que a semi-reta vermelha e com traço ininterrupto acima do eio é parte do conjunto de nível de f correspondente ao nível k 1 e vamos chamar a união do ponto (1,0) com esta semi-reta vermelha de C 1. Da mesma forma, Vamos supor que a semi-reta verde e com traço ininterrupto acima do eio é parte do conjunto de nível de f correspondente ao nível k 2 e vamos chamar a união do ponto (1,0) com esta semi-reta verde de C 2. Conforme dito no enunciado, curvas de cores e estilos diferentes são referentes a diferentes níveis, de modo que k 1 e k 2 são distintos. Além disso, de acordo com a definição de curva de nível, temos que se (,) (1,0) e (,) C i,i = 1,2, então f(,) = k i,i = 1,2. Portanto, calculando separadamente (,) (1,0) f(,) ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que e f(,) = k 1 = k 1, (,) (1,0) (,) (1,0) ao longo de C 1 ao longo de C 1 f(,) = k 2 = k 2. (,) (1,0) (,) (1,0) ao longo de C 2 ao longo de C 2 Sendo assim, temos que f(,) não eiste pois, encontramos caminhos (,) (1,0) diferentes de aproimação à origem (partes de curvas de níveis correspondentes a diferentes níveis,) ao longo dos quais os valores dos ites são distintos. Observação 4.2.5: Conforme verificado no eemplo anterior, se estivermos analisando f(,) e soubermos que partes de diferentes curvas de nível da função f (,) ( 0, 0 ) desembocam em ( 0, 0 ), isto nos informa que o ite mencionado não eiste, pois cada parte C i de uma curva de nível correspondente ao nível k i, fornece um caminho de aproimação ao ponto ( 0, 0 ), ao longo do qual o ite vale k i. A função do eemplo anterior é a função f(,) = 1 do Eemplo 3.3.1c. Os conjuntos de nível k i de f são as semi-retas = k i ( 1), 1. Por eemplo, para k 1 = 1, temos as semi-retas = 1, > 1 e = 1, < 1, já para k 2 = 2, temos as semi-retas = 2 2,

17 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise > 1 e = 2 2, < 1. Desta forma, chamando de C 1 a união do ponto (1,0) com a parte do conjunto de nível de f correspondente ao nível k 1 = 1 que está acima do eio (C 1 : = 1, 1) parametriada por γ 1 (t) = (t,t 1), t 1, e de C 2 a união do ponto (1,0) com parte a parte do conjunto de nível de f correspondente ao nível k 2 = 2 (C 2 : = 2 2, 1) parametriada por γ 2 (t) = (t,2t 2), t 1, e calculando separadamente (,) (1,0) 1 ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que e (,) (1,0) 1 = t 1 t 1 +f(γ 1(t)) = t 1 + t 1 = 1 = 1, t 1 + ao longo de C 1 (,) (1,0) 1 = 2t 2 t 1 +f(γ 2(t)) = t 1 + t 1 = 2 = 2. t 1 + ao longo de C 2 Realmente, conforme dito, os ites ao longo das partes das diferentes curvas de nível k i, i = 1,2, fornecem ites distintos e iguais a k i, i = 1,2, respectivamente. Portanto, o ite de fato não eiste. Eemplo 4.2.9: Use curvas de nível para verificar que (,) (0,0) + não eiste. Solução: No Eemplo , determinamos as curvas de nível desta função. Algumas curvas de nível de f encontram-se esboçadas abaio, onde cores diferentes correspondem a níveis diferentes. Observe, na figura abaio,construída no Eemplo , que temos partes de curvas de nível diferentes desembocando na origem. Escolhendo k 1 = 1 e k 2 = 2, temos que o conjunto de nível de f correspondente a k 1 é dado por =, com 0 e 1 e o conjunto de nível de f correspondente a 1 k 2 é dado por que = 2, com 0 e 2. 2 Vamos chamar de C 1 a união do ponto (0,0) com a parte da curva de nível k 1 = 1, cuja parametriação é γ 1 (t) = (t,t/(t 1)), 0 t 1/2, e de C 2 a união do ponto (0,0) com a parte da curva de nível k 1 = 2, cuja parametriação é γ 2 (t) = (t,2t/(t 2)), 0 t 1 e calcular separadamente (,) (0,0) + ao longo das curvas C 1 e C 2. Desta

18 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise forma, temos que (,) (0,0) ao longo de C 1 e (,) (0,0) ao longo de C 2 + = t 0 +f(γ 2(t)) = t = t 0 +f(γ 2(t)) = t 0 + t t t 1 t+ t t 1 t 2t t 2 t+ 2t t 2 = t 0 + = t 0 + t 2 t 1 t 2 t+t t 1 2t 2 t 2 t 2 2t+2t t 2 = t 0 +1 = 1, = t 0 +2 = 2. Realmente, conforme dito, os ites ao longo de partes de curvas de nível relativas a níveis diferentes fornecem ites distintos, de modo que não eiste. (,) (0,0) + Abaio temos um esboço do gráfico de f com os dois caminhos de aproimação ilustrados. Observação 4.2.6: No eemplo acima (Eemplo 4.2.9) observe que ao longo de qualquer reta que contém a origem, temos que (,) (0,0) + = 0. De fato, considere C m a curva dadas na forma paramétrica por γ m (t) = (t,mt), t R. Neste caso, temos que (,) (0,0) ao longo de C m + = f(γ mt 2 m(t)) = t 0 t 0 t+mt = t 0 mt 1+m = 0. Esta observação sobre este eemplo ilustra o fato de que não basta termos a informação de que ao longo de infinitos caminhos de aproimação do ponto X 0 o ite eiste e vale l para concluir que o ite da função quando X tende a X 0 eiste e vale l. Basta que eista um único caminho de aproimação do ponto X 0, ao longo do qual o ite não eiste ou não vale l, para que o ite da função quando X tende a X 0 não eista.

19 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Continuidade DEFINIÇÃO 4.3.1: (Continuidade) Seja f : Dom(f) Rn R e seja X 0 Dom(f) um ponto de acumulação de Dom(f). Diemos que f é contínua em X 0, se X X 0 f(x) = f(x 0 ). Eemplo 4.3.1: Verifique se 5 2 g(,) = 2 +2; (,) (0,0) 0; (,) = (0,0) é contínua em (0,0). Solução: Vimos no Eemplo que é contínua em (0,0), uma ve que (,) (0,0) 5 2 = 0. Portanto, temos que g 2 +2 g(,) = (,) (0,0) (,) (0,0) = 0 = g(0,0). Abaio temos um esboço do gráfico de g, observe que o furo na origem que eistia referente ao esboço do gráfico da função f(,) = 52 (Eemplos e 4.2.4), foi 2 +2 tapado. Eemplo 4.3.2: Verifique se 3 2 ; (,) (0,0) g(,) = ; (,) = (0,0)

20 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise é contínua em (0,0). 3 2 Solução: Vimos no Eemplo que = 0. Portanto, temos que g (,) (0,0) 2 +2 não é contínua em (0,0), uma ve que g(,) = (,) (0,0) Abaio temos um esboço do gráfico da função g. 3 2 (,) (0,0) 2 + = 0 3 = g(0,0). 2 Eemplo 4.3.3: Verifique se 2 2 f(,) = 2 +2; (,) (0,0) 0; (,) = (0,0) é contínua em (0,0). Solução: Vimos no Eemplo que é contínua em (0,0). (,) (0,0) 2 2 não eiste. Portanto, f não 2 +2 Eemplo 4.3.4: Verifique se f(,) = 2 +2; (,) (0,0) 0; (,) = (0,0) é contínua em (0,0). Solução: Como f(,) = não parece se encaiar em nenhum dos teoremas vistos anteriormente (trata-se apenas de uma função itada so- (,) (0,0) (,) (0,0) 2 +2 inha), vamos partir para tentar mostrar que não eiste. Para isto, (,) (0,0) 2 +2

21 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise vamos escolher dois caminhos de aproimação à origem diferentes e mostrar que ao longo destes caminhos os ites não são iguais. Considere então a curva C 1 parametriada pela função γ 1 (t) = (t,0), t 0 e a curva C 2 parametriada pela função γ 2 (t) = (t,t), t 0. Desta forma, calculando separadamente (,) (0,0) das curvas C 1 e C 2, temos que e (,) (0,0) 2 + = 0 2 t 0 +f(γ 1(t)) = t 0 + t 2 +0 = t 0 +0 = 0, ao longo de C 1 (,) (0,0) 2 + = t 2 2 t 0 +f(γ 2(t)) = t 0 + t 2 +t = 1 2 t = 1 2. ao longo de C 2 ao longo 2 +2 Sendo assim, como os ites ao longo de dois caminhos diferentes de aproimação à origem são distintos, temos que nãoeiste. Portanto, f nãoécontínua (,) (0,0) 2 +2 em (0,0), uma ve que f(,) = =. (,) (0,0) (,) (0,0) 2 +2 Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = sob diferentes ângulos, 2 +2 para evidenciar os caminhos de aproimação C 1 e C 2. Além disto, vamos incluir um novo caminho de aproimação, ao longo da curva C 3, que é interessante em matéria de visualiação. Considere portanto a curva C 3 parametriada pela função γ 3 (t) = (t, t), t 0. Desta forma, calculando (,) (0,0) 2 + ao longo da curva C 3, temos que 2 (,) (0,0) 2 + = t 2 2 t 0 +f(γ 3(t)) = t 0 + t 2 +t = 2 t = 1 2. ao longo de C 3 Eemplo 4.3.5: Verifique se 2 (,) (0,0) f(,) = 2 +2; 0; (,) = (0,0)

22 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise é contínua em (0,0). Solução: Observe que a função g(,) = 0 = = 2 é itada, uma ve que = 1, de modo que Além disso, a função f(,) = 2 é tal que f(,) = 2 = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições (,) (0,0) (,) (0,0) do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que 2 f(,) = = (,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) = 0. Portanto, temos que f é contínua em (0,0), uma ve que f(,) = (,) (0,0) (,) (0,0) = 0 = f(0,0). Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 2 sob diferen tes ângulos. Vejamos agora as propriedades de continuidade. TEOREMA 4.3.1: Seja k R e sejam f,g : D R n R, funções contínuas em X 0. Neste caso, temos que

23 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise a) As funções kf, f ±g, fg também são contínuas em X 0 ; b) Se g(x 0 ) 0, então a função f g também é contínua em X 0. Seja f : Dom(f) R n R e seja B Dom(f) um conjunto de pontos de acumulação de Dom(f). Diemos então que f é contínua em B, se f é contínua em todos os pontos de B. TEOREMA 4.3.2: As funções polinomiais em R n são contínuas em R n. TEOREMA 4.3.3: As funções racionais em R n são contínuas em seus domínios. Eemplo 4.3.6: Considere a função { +2; (,) (0,0) f(,) = 1; (,) = (0,0). Determine os pontos onde f é contínua. Solução: Observe que no aberto R 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = + 2 que, por ser polinomial, é contínua (Teorema 4.3.2). Portanto temos que f é contínua em R 2 \{(0,0)}. Resta então analisar se f é contínua na origem. Neste caso, temos que f(,) = +2 = 0 1 = f(0,0), (,) (0,0) (,) (0,0) de modo que f não é contínua na origem. Abaio temos um esboço do gráfico da função f. 1 Eemplo 4.3.7: Considere a função { f(,) = 2 +2; 0 e 0. 2; no restante

24 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Esboce o gráfico de f determine os pontos onde f é contínua. Solução: 2 Pelo gráfico esboçado acima, podemos ver que f é contínua em todo plano, eceto no semi-eio positivo, i.e. no conjunto da forma {(,) R 2 = 0, > 0}. (Observe que f também é contínua na origem.) De fato, dividindo em casos, temos que: Caso 1: se 0 > 0 e 0 > 0, então f( 0, 0 ) = 0 +2, de modo que f é contínua por 2 ser polinomial. Caso 2: se 0 < 0 ou 0 < 0, f( 0, 0 ) = 2, de modo que f é contínua por ser constante. Caso 3: se 0 = 0 e 0 > 0, f também é contínua, pois e (,) ( 0,0) 0 f(,) = (,) ( 0,0) = 2 = f( 0,0) (,) ( 0,0) 0 f(,) = (,) ( 0,0) 0 2 = 2 = f( 0,0). Caso 4: se ( 0, 0 ) = (0,0), f também é contínua, pois (,) (0,0) f(,) = f(0,0) = 2. De fato, e (,) (0,0) 0, 0 f(,) = (,) (0,0) 0, = 2 (,) (0,0) no resto f(,) = (,) (0,0) no resto 2 = 2. Caso 5: se 0 = 0 e 0 > 0, f é descontínua, pois (,) (0,0 )f(,). De fato, e (,) (0, 0 ) 0 f(,) = (,) (0, 0 ) = (onde 0 > 0) (,) (0, 0 ) 0 f(,) = (,) (0, 0,0) 0 2 = 2,

25 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Como consequência do Corolário da seção anterior, temos que a composta de funções contínuas também é uma função contínua. Confira o corolário a seguir. COROLÁRIO 4.3.1: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e seja g(x 0 ) um ponto de acumulação de Dom(f). Se g é contínua em X 0 e f é contínua em g(x 0 ), então f g também é contínua em X 0. Eemplo 4.3.8: Verifique se a função h(,) = sen( ) é contínua em R 2. Solução: Observe que h(,) = sen( ), é a composta das funções f(t) = sent e g(,) = 2 + 2, i.e. h(,) = f(g(,)). Como a função g é trivialmente contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2), e a função f também é uma função contínua em toda reta, pelo Corolário 4.3.1, temos que h é contínua em todo R 2. Eemplo 4.3.9: Verifique se a função h(,) = e 2 é contínua em R 2. Solução: Observe que h(,) = e 2, é a composta das funções f(t) = e t e g(,) = 2, i.e. h(,) = f(g(,)). Como a função g é trivialmente contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2), e a função f também é uma função contínua em toda reta, pelo Corolário 4.3.1, temos que h é contínua em todo R 2.

26 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo : Considere a função + (,) (0,0) f(,) = 2 +2;. 0; (,) = (0,0) Determine os pontos onde f é contínua. Solução: Observe que se (,) R 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = + que é o 2 +2, quociente das funções p(,) = + e q(,) = A função p é trivialmente contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2) e a função q é a composta da função f 1 (t) = t, que é uma função contínua em seu domínio (Dom(f 1 ) = [0, )), com a função g 1 (,) = 2 + 2, que é também trivialmente contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2). Como q não se anula em R 2 \{(0,0)}, temos pelo Teorema 4.3.1b que f é contínua para todo (,) R 2 \{(0,0)}, pois f é o quociente de duas funções contínuas, onde a função do denominador não se anula. Vamos agora analisar se f é contínua na origem. + Como aparentemente f(,) = não parece se encaiar em (,) (0,0) (,) (0,0) 2 +2 nenhum dos teoremas vistos anteriormente (trata-se apenas de uma função itada soinha), vamos partir para tentar mostrar que (,) (0,0) + não eiste. Para 2 +2 isto, vamos escolher dois caminhos diferentes de aproimação à origem e mostrar que ao longo destes caminhos os ites não são iguais. Considere portanto a curva C 1 parametriada pela função γ 1 (t) = (t,0), t 0 e a curva C 2 parametriada pela função γ 2 (t) = (t,t), t 0. Desta forma, calculando separadamente longo das curvas C 1 e C 2, temos que e (,) (0,0) ao longo de C 1 (,) (0,0) ao longo de C = t 0 +f(γ 1(t)) = t = t 0 +f(γ 2(t)) = t 0 + t = t t 2 t 0 + 2t t2 +t 2 = t 0 + (,) (0,0) t = t 0 +1 = 1, 2t = = 2 = 2. t 0 + 2t t 0 + 2t 2t 2 = t ao 2t 2 t Desta forma, como os ites ao longo de dois caminhos diferentes são distintos, temos + que não eiste. Portanto, f não é contínua em (0,0), uma ve que (,) (0,0) f(,) = =. (,) (0,0) (,) (0,0) 2 +2

27 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = sob diferentes ângulos, 2 +2 para evidenciar os caminhos de aproimação C 1 e C 2. Além disto, vamos incluir dois novos caminhos de aproimação, ao longo das curvas C 3 e C 4, que são interessantes em matéria de visualiação. Considere portanto a curva C 3 parametriada pela função γ 3 (t) = (t,0), t 0 e a curva C 4 parametriada pela função γ 2 (t) = (t,t), t 0. + Desta forma, calculando separadamente 2 + ao longo das curvas C 2 3 e C 4, temos que e (,) (0,0) ao longo de C 3 (,) (0,0) ao longo de C 4 (,) (0,0) = t 0 f(γ 3(t)) = t = t 0 f(γ 4(t)) = t 0 t = t t 2 t 0 2t t2 +t 2 = t 0 t = t 0 1 = 1, 2t 2t 2 = t 0 2t = t 0 2t = t 0 2 = 2. 2t 2 t Eemplo : Considere a função 2 f(,) = 2 +2; (,) (0,0). 0; (,) = (0,0) Determine os pontos onde f é contínua. Solução: Observe que se (,) R 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = , que é uma função racional, cujo denominador não se anula neste conjunto. Desta forma, pelo Teorema 4.3.3, temos que f é contínua para todo (,) R 2 \{(0,0)}. Vamos agora analisar se f é contínua na origem. Observe que a função g(,) = é itada, 2 uma ve que = 1. Além disso, a função h(,) = é tal que h(,) = = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de (,) (0,0) (,) (0,0) duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim,

28 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise segue que (,) (0,0) =. 2 (,) (0,0) 2 + = 0 = f(0,0). 2 Concluímos assim que f também é contínua na origem, sendo portanto contínua em todo R 2. Eemplo : Considere a função 3 f(,) = 2 +2; (,) (0,0). 0; (,) = (0,0) Determine os pontos onde f é contínua. Solução: Observe que se (,) R 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = 2 +2, que é uma função racional cujo denominador não se anula neste conjunto. Desta forma, pelo Teorema 4.3.3, temos que f é contínua para todo (,) R 2 \{(0,0)}. Vamos agora analisar se f é contínua na origem. Observe que a função g(,) = é itada, 2 uma ve que = 1. Além disso, a função h(,) = é tal que h(,) = = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de (,) (0,0) (,) (0,0) duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que 3 (,) (0,0) =. (,) (0,0) = 0 = f(0,0). Concluímos assim que f também é contínua na origem, sendo portanto contínua em todo R 2. Abaio temos um esboço do gráfico de f sob diferentes ângulos.

29 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo : Considere a função 2 f(,) = 2 +4; (,) (0,0). 0; (,) = (0,0) Determine os pontos onde f é contínua. Solução: Observe que se (,) R 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = , que é uma função racional cujo denominador não se anula neste conjunto. Desta forma, pelo Teorema 4.3.3, temos que f é contínua para todo (,) R 2 \{(0,0)}. Vamos 2 agora analisar se f é contínua na origem. Como f(,) = (,) (0,0) (,) (0,0) não parece se encaiar em nenhum dos teoremas vistos anteriormente, vamos partir 2 para tentar mostrar que não eiste. Para isto, vamos escolher dois (,) (0,0) 2 +4 caminhos de aproimação diferentes e mostrar que ao longo destes caminhos os ites não são iguais. Considere portanto a curva C 1 parametriada pela função γ 1 (t) = (t,0), t 0 e a curva C 2 parametriada pela função γ 2 (t) = (t 2,t), t 0 (inspirada nas curvas de nível estudadas no Eemplo 3.5.1f). Desta forma, calculando separadamente (,) (0,0) e ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que 2 (,) (0,0) 2 + = 0 4 t 0 +f(γ 1(t)) = t 0 + t = 2 t 0 +0 = 0, ao longo de C 1 2 (,) (0,0) 2 + = t 4 4 t 0 +f(γ 2(t)) = t 0 + t 4 +t = t 4 4 t 0 + 2t = 1 4 t = 1 2. ao longo de C 2 Desta forma, como os ites ao longo de dois caminhos diferentes são distintos, temos 2 que não eiste. Portanto, f não é contínua em (0,0), uma ve que (,) (0,0) f(,) = =. (,) (0,0) (,) (0,0) 2 +4

30 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Concluimos assim que f é contínua apenas em R 2 \{(0,0)}. Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 2 sob diferentes ângulos, para evidenciar os caminhos de aproimação C 1 e C Observação 4.3.1: No eemplo acima (Eemplo ) observe que ao longo de 2 qualquer reta que contém a origem, temos que = 0. Defato, considere (,) (0,0) 2 +4 C m a curva dadas na forma paramétrica por γ m (t) = (t,mt), t R. Neste caso, temos que (,) (0,0) ao longo de C m = f(γ m 2 t 3 m(t)) = 4 t 0 t 0 t 2 +m 4 t = 4 t 0 m 2 t 1+m 2 t 2 = 0. Mais uma ve, esta observação sobre este eemplo reforça o fato de que não basta termos a informação de que ao longo de infinitos caminhos de aproimação do ponto X 0 o ite eiste e vale l para concluir que o ite da função, quando X tende a X 0, eiste e vale l. Basta que eista um único caminho de aproimação do ponto X 0, ao longo do qual o ite não eiste ou não vale l, para que o ite da função quando X tende a X 0 não eista. 4.4 Eercícios Eercício 4.4.1: Determine se a função abaio é contínua 2 (,) (0,0) f(,) = 2 +2;. 0; (,) = (0,0) Solução: Observe que se (,) R 2 2 \{(0,0)}, temos que f(,) = que é 2 +2, o quociente das funções p(,) = 2 e q(,) = A função p é trivialmente

31 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2) e a função q é a composta da função f 1 (t) = t, que é uma função contínua em seu domínio (Dom(f 1 ) = [0, )), com a função g 1 (,) = 2 + 2, que é também trivialmente contínua em todo o plano, pois é uma função polinomial (Teorema 4.3.2). Como q não se anula em R 2 \{(0,0)}, temos pelo Teorema 4.3.1b que f é contínua para todo (,) R 2 \{(0,0)}, pois é o quociente de duas funções contínuas, onde a função do denominador não se anula. Vamos agora analisar se f é contínua na origem. Observe que a função g 2 (,) = é itada, uma ve que = = = = 1. Além disso, a função f 2 (,) = é tal que (,) (0,0) f 2 (,) = (,) (0,0) = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que (,) (0,0) =. 2 (,) (0,0) 2 + = 0 = f(0,0). 2 Concluímos assim que f também é contínua na origem, sendo portanto contínua em todo R 2.