Processos Estocásticos

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1 Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Modelos Probabilísticos Discretos Uniforme Bernoulli Binomial Hipergeométrico Geométrico Poisson Contínuos Uniforme Normal Tempo de Vida Exponencial Gama Weibull Modelos Probabilísticos Podem ser discretos ou contínuos, dependendo das variáveis aleatórias que os descrevem. Servem para descrever fenômenos físicos. São expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros. Modelo Uniforme Discreto Seja a v.a. X, cujos possíveis valores são representados por x 1, x 2,..., x k. Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma probabilidade 1/k para cada um desses k valores. P(X=x i ) = 1/k, i = 1,2,..., k. E[X] = (1+k)/2 σ 2 [X] = (k 2-1)/12 f(x) Modelo Uniforme Discreto X

2 Modelo de Bernoulli A v.a. X assume dois valores possíveis ( ou 1), com probabilidades (1-p) e p, respectivamente. P(X=x) = p x (1-p) 1-x, x =,1. Modelo Binomial (experimentos com reposição) Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade p de sucesso. Sendo k o número de sucessos. P(X=k) = C n,k p k (1-p) n-k, k =,1,2,..., n. C n,k = n!/(k! (n-k)!) Notação: X~b(n,p) Exemplo: Qual é a probabilidade de se obter 3 sucessos numa b(12,.4)? P(X=3) = C 12,3 (.4) 3 (.6) 9 =... = 42 Modelo Binomial Exemplo: Seja uma urna com N bolas das quais M são brancas e (N-M) são pretas. Retiram-se sucessivamente n bolsa da urna, recolocando a bola na urna após cada retirada. Qual é a probabilidade de se tirar k vezes bolas brancas? P(X=k) = C n,k (M/N) k (1- M/N) n-k Qual é a probabilidade de se tirar até k vezes bolas brancas? Modelo Binomial Esperança: E[X] E[X] = k=,..n k. P(X=k) = k=1,..n k. [C n,k.p k.(1-p) n-k ] = k=1,..n k. [ (n!/{k!(n-k)!}). p k.(1-p) n-k ] = k=1,..n [ ( n!/{(k-1)!(n-k)!}). p k.(1-p) n-k ] = n.p. k=1,..n [( ( n-1)!/{(k-1)!(n-k)!}). p k-1.(1-p) n-k ] = n.p. j=o,..n-1 [ ( (n-1)!/{(j)!(n-j-1)!}). p j.(1-p) n-j-1 ] = n.p. j=o,..n-1 [ C n-1,j.p j.(1-p) n-j-1 ] = n.p. (p+ 1-p) n-1 = np j=k-1

3 Modelo Binomial Esperança: E[X] via função geradora de momento φ(t) = E(e tx ) = k=o,..n [ e tk. C n,k. p k. (1-p) n-k ] = k=o,..n [ C n,k. (p.e t ) k. (1-p) n-k ] = ( p.e t + (1-p) ) n E[X] = dφ(t=)/dt = n(p.e t + (1-p)) n-1 p.e t, para t = = np (a+b) N = n=o,..n [C N,n. a n. b N-n ] Modelo Binomial Segundo momento: E[X 2 ] via função geradora de momento φ(t) = E(e tx ) =( p.e t + (1-p) ) n dφ(t)/dt = n(p.e t + (1-p)) n-1 p.e t d 2 φ(t)/dt 2 = n(n-1)(pe t +(1-p)) n-2 p 2 e 2t + n(pe t + (1-p)) n-1 pe t E[X 2 ] = d 2 φ()/dt 2 = n(n-1)p 2 + np Variância: σ 2 [X] σ 2 [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = n(n-1)p 2 +np (np) 2 = n 2 p 2 np 2 +np n 2 p = np(1-p) Modelo Hiper-geométrico Modela experimentos sem reposição de uma população com um número finito de elementos, em cada elemento pode ser de um de dois tipos. M elementos do tipo 1 e (N-M) do tipo 2. Se X é a v.a. que designa o número de ocorrência do evento do tipo 1 dentre n experimentos, então sua distribuição de probabilidade é: P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n Modelo Hiper-geométrico P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n Exemplo: Uma caixa contém 15 peças das quais 4 estão com defeito. Retira-se uma amostra de 3 peças da caixa sem reposição. Calcular a probabilidade que haja 2 ou 3 peças defeituosas na amostra. P[X=2] + P[X=3] = (C 4,2.C 11,1 /C 15,3 ) + (C 4,3. C 11, /C 15,3 ) =,153

4 Modelo Hiper-geométrico P[X=k] = C M,k. C N-M,n-k / C N,n Esperança: E[X] = n. M/N Variância: σ 2 [X] = n M (N-M) (N-n) / (N 2 (N-1) ) Modelo Geométrico Dizemos que uma v.a. X tem distribuição Geométrica de parâmetro p, se sua probabilidade tem forma: P[X=k] = p(1-p) k, p 1 e k=,1,2,... Notação: X~G(p) Interpretação: Sendo p a probabilidade de sucesso, a distribuição Geométrica seria o número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso. Modelo Geométrico X~G(p) = P[X=k] = p(1-p) k, p 1 e k=,1,2,... Exemplo: X~G(,1) Se,5 é a probabilidade de uma fábrica produzir uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de se produzir Q peças boas antes de se produzir a primeira defeituosa? P(Q=k) =,5.,95 k Distribuiçao geométrica - G(,5), k=,1,2, Modelo Geométrico X~G(p) = P[X=k] = p(1-p) k, p 1 e k=,1,2,... Esperança: E[X] = (1-p)/p Variância: σ 2 [X] = (1-p)/p P(Q=k) k - Número de experimentos

5 Modelo de Poisson: X~Po(λ) Grande importância prática: telecomunicações, física, biologia,... É uma aproximação do modelo binomial quando o número de ensaios de Bernoulli tende a infinito. A v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ se para k=,1,2,...: P[X=k] = e -λ λ k / k!, onde λ (>) é a taxa de ocorrência média esperada num determinado intervalo de tempo. Sendo que: E[X] = λ σ 2 [X] = λ Modelo de Poisson: X~Po(λ) P[X=k] = e -λ λ k / k!, para λ >. E[X] = λ, σ 2 [X] = λ Exemplo: A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de partículas α, emitidas por minuto, seja uma v.a. seguindo o modelo de Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média é 5 emissões por minuto. Qual é a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto? A ~ Po(5). P(A>2) = a=3,..., P(A=a) = 1 - a=1,2,3 P(A=a) = 1 - a=1,2,3 (e -5.5 a )/a! =,875 Modelo de Poisson: X~Po(λ) P[X=k] = e -λ λ k / k!, para λ >. E[X] = λ, σ 2 [X] = λ P(N=n) Distribuição de Poisson com lambda = Po(5) k - número de repetições P(N=n) Distribuição de Poisson com lambda = 2 -- Po(2) k Modelo Uniforme Contínuo X~U[a,b] A v.a. X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = 1/ (b-a), a x b; e,caso contrário. E[X] = (a+b) / 2 E[X 2 ] = (a 2 +ab+b 2 f(x) )/3 1/(b-a) σ 2 [X] = (b-a) 2 /12 F(X) =? a b X

6 Modelo Exponencial X~Exp(α) A v.a. contínua X, assumindo valores não negativos, segue o modelo exponencial com parâmetro α> se sua densidade de probabilidade é dada por: f(x) = αe -αx, x e, caso contrário. F(x) =,x α e -αx dx = 1- e -αx P(a<X<b) = F(b) F(a) = - e -αb + e -αa E[X] = 1/ α σ 2 [X] = 1/ α 2 Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e, caso contrário. F(x) = 1- e -αx ; P(a<X<b) =? Funções Densidade e Distribuição de Probabilidade do M odelo Exponencial - X~ Exp(2) V.A. X Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e, caso contrário. F(x) = 1- e -αx Exemplo: O intervalo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma v.a. com distribuição exponencial com α=,2. Qual é a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos? P(X<2) = F(2) F() = -e -.2(2) + e -.2 () = -e =,33 E[X] = 1/ α = 5 σ 2 [X] = 1/ α 2 = 25 Qual é probabilidade do intervalo ser superior a 7, sabendo-se que ele é superior a 5 minutos? P(X>7/X>5) = P(X>7,X>5) / P(X>5) = P(X>7) / P(X>5) =? Modelo Exponencial X~Exp(α) f(x) = αe -αx, x e, caso contrário. F(x) = 1- e -αx Propriedade: P(X>t+s X>s) = P(X>t). P(X>t+s X>s) = P(X>t+s,X>s)/P(X>s) = P(X>t+s)/P(X>s) = {F(+ ) F(t+s)} / {F(+ ) F(s)} = e - αt = P(X>t) P(X>7/X>5) = P(X>7,X>5) / P(X>5) = P(X>7) / P(X>5) = P(X>2)

7 A v.a. contínua X tem distribuição Normal, com parâmetros µ, σ 2, se sua função densidade é dada por: f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ Propriedades: f(x) é simétrica em relação à µ; f(x) quando x - ou + ; O valor máximo de f(x) se dá para x = µ. E[X] = µ Variância = E[(X - µ) 2 ] = σ 2 f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ E[X] = µ Variância = E[(X - µ) 2 ] = σ 2 Funções densidade e distribuição de probabilidade para um m odelo Norm al - N(1,1) X Funçao Normal - N(,1) Histograma de uma distribuiçao Nornal - N~(,1) Funçao Normal - variando-se a média Histograma para mil amostras.3 9 Histograma de uma distribuiçao Nornal - N~(,1) 8 x 15 Histograma de uma distribuiçao Nornal - N~(,1) Histograma para 1 mil amostras Histogramas para 1 milhões do amostras

8 Funçao Normal - variando-se a variancia f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ E[X] = µ Variância = E[(X -µ) 2 ] = σ 2 F(X) = -,x f(x)dx não há solução analítica P(a<x<b) = F(b) F(a) = a,b f(x)dx f(x) = {1/(σ 2π)}. e -(x-µ) (x-µ) /(2σσ), para - <x<+ Dado X~(µ, σ 2 ) z = (x-u)/ σ E[Z]= E[(X- µ)/ σ] = (1/ σ) (E[X] - µ) = Var[Z] = Var[(X- µ)/ σ]=(1/ σ 2 ) Var[(X- µ)] = (1/ σ 2 ) Var[X] = 1 Z~N(,1) Normal padrão! z = (x-u)/ σ Z~N(,1) Normal padrão! Então: P(a<X<b) = P[(a-u)/ σ < Z < (b-u)/ σ ] Assim, basta saber os valores tabelados de F(Z). Exemplo: dado X~N(2,9), obter P(2<X<5). P(2<X<5) = P[(2-2)/ 3 < Z < (5-2)/ 3 ] = P(<Z<1) =,3413

9 z = (x-u)/ σ Z~N(,1) Normal padrão! Exemplo: dado X~N(,2) A) P(1<X<2) =,421,258 =,163 B) P(1<X<2/ X>1)» P(,7<Z) =,5 P(<Z<,7) =,5,258 =,242 z = (x-u)/ σ Z~N(,1) Normal padrão! Exemplo: Se X ~(,2) e Y = 3X 2, calcule, E[Y], σ(y) e f y (y).