GABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO:

Transcrição

1 GABARITO - ANO 018 OBSERVAÇÃO: Embora as soluções neste gabarito se apresentem sob a forma de um texto explicativo, gostaríamos de salientar que para efeito de contagem dos pontos adquiridos, na avaliação das provas objetivas, para premiação só será levado em consideração a resposta objetiva da questão. Quanto a prova dissertativa, toda a resolução é levada em consideração outras resoluções diferentes da apresentada aqui, terão seus méritos julgados pela banca avaliadora).

2 Problema 1 Qual o resto da divisão de 018 por 0? PARTE OBJETIVA - NÍVEL - ANO 018 Resolver esta questão elevando a 018 e dividindo por 0 é muito trabalhoso. Vamos tentar encontrar um padrão na divisão das potências de por 0. Temos que: 1 = dividido por 0 resulta em quociente zero e resto = 4 dividido por 0 resulta em quociente zero e resto 4 = 8 dividido por 0 resulta em quociente zero e resto 8 4 = 16 dividido por 0 resulta em quociente zero e resto 16 A partir daqui os restos começam a se repetir 5 = dividido por 0 resulta em quociente um e resto 6 = 64 dividido por 0 resulta em quociente dois e resto 4 7 = 18 dividido por 0 resulta em quociente quatro e resto 8 8 = 56 dividido por 0 resulta em quociente oito e resto 16 E assim por diante... Podemos notar que começando de 1 a cada 4 potências de dois a sequência dos resto se repete ordenadamente, podendo ser, 4, 8 e 16. De 1 a 018 temos 018 potência de. Dividindo 018 por 4, obtemos 54 e resto. Logo, mantendo a ordem das potências, conseguimos agrupá-las em 54 grupos de 4, sobrando duas potências, 017 e 018. Isso significa que 016, que é a última potência do 54 o grupo, resulta em resto 16 quando dividido por 0. A partir daí começa-se uma nova repetição de restos. Logo 017 dividido por 0 terá resto e por fim, 018 terá resto 4. De forma geral temos que: Se o expoente da potência de dois pode ser escrito da forma 4k + 1, com k N, o resto da divisão da potência de dois por 0 é 1 =. Se o expoente da potência de dois pode ser escrito da forma 4k +, com k N, o resto da divisão da potência de dois por 0 é = 4. Se o expoente da potência de dois pode ser escrito da forma 4k +, com k N, o resto da divisão da potência de dois por 0 é = 8. Se o expoente da potência de dois pode ser escrito da forma 4k + 4 ou 4k), com k N, o resto da divisão da potência de dois por 0 é 4 = 16. Veja que, 018 = , logo o resto é de fato, = 4. Resposta: O resto é igual a 4 Problema A família de Maria foi a praia e estendeu cinco toalhas de banho idênticas da forma como se mostra na figura. As cinco toalhas estendidas formaram um retângulo cuja área é 540 dm.

3 O lado menor de cada toalha mede, em centímetros: Como as toalhas são idênticas, então a área de cada toalha é = 108 dm. Da forma como estão organizadas, é possível perceber que o comprimento é vezes maior que a largura de cada toalha. Assim, chamando de x o tamanho da largura, em decímetros, então o comprimento será x e a área de cada toalha será dada por x x = 108 x = 108 x = 108 = 6 x = 6 dm Portanto, o lado menor mede 6 dm, o que é equivalente a 60 cm. Problema João Vítor ganhou um Jogo de Dardos e convidou dois amigos, Gabriel e Pedro, para jogar. O jogo é composto por seis dardos, o modelo do tabuleiro está demonstrado na figura a seguir. Gabriel ao jogar acertou dois dardos na cor cinza claro, um dardo na cor cinza escuro e três dardos na cor branca obtendo 8 pontos. Pedro ao jogar acertou um dardos na cor cinza claro, três dardo na cor cinza escuro e dois dardos na cor branca obtendo 54 pontos. João Vítor acertou um dardo na cor cinza claro, dois dardo na cor cinza escuro e três dardos na cor branca obtendo 9 pontos. Sabendo dessas informações, qual a pontuação referente a cada cor presente no tabuleiro? Tabuleiro do Jogo de Dardos Questão anulada! Problema 4 João querendo proteger seus pertences mais valiosos, resolveu comprar um cofre cuja senha numérica deve ser formada com quatro algarismos distintos, incluindo o zero. Porém, uma das condições para a formação dessa senha é que o zero não esteja na primeira casa, ou seja, não fosse o primeiro algarismo da senha. Quantas são as maneiras que João pode criar a senha do cofre, em que o último número seja o algarismo 5? O exercício diz que João irá criar uma senha para o cofre que comprou e, que essa senha precisa ser formada com ALGARISMOS DISTINTOS. Isto é, não há repetição de números na senha que está sendo formada. Outra condição colocada no exercício é que a senha não pode começar com o algarismo 0 zero), isto é, o zero não pode compor como o primeiro número da senha. Uma terceira condição estabelecida no exercício é que o ÚLTIMO ALGARISMO SEJA O 5, ou seja, o último número da senha tem que ser o 5. A senha é formada com 4 algarismos, com 4 números diferentes. Para o 1 o número da senha temos 8 opções, sendo que as opções são: 1,,, 4, 6, 7, 8 e 9. Para o o número da senha também temos 8 opções, pois temos a volta do algarismo zero e de mais 7 opções que restam após o 1 o número escolhido. Para o o número da senha temos 7 opções, que é os números que restam após a escolha do o número da senha. Para o 4 o número, temos somente 1 opção de escolha, pois o exercício estabeleceu que o último algarismo da senha tem que ser o algarismo 5. Assim, pelo princípio multiplicativo, basta multiplicar todos os valores das opções possíveis: = 448. Portanto, há 448 maneiras diferentes que João pode utilizar para criar a senha de seu cofre com as condições impostas.

4 Problema 5 Ao seccionar um cone reto por dois planos paralelos a sua base, de forma que esses planos dividam a altura do cone em três partes iguais, obtemos três sólidos: um cone de volume V 1, um tronco de cone de volume V e um tronco de cone de volume V, com V 1 < V < V. Sabendo que V 1 = k, podemos concluir com relação a V 1 que os volumes V e V são respectivamente: Sendo h a altura do cone menor e r o raio da base então o volume V 1 é: V 1 = π.r.h Por proporção, temos que o volume do cone formado por V 1 e V será: V 1 + V = π r) h E temos que V 1 + V = 8 π r h V 1 + V + V = π r) h V 1 + V + V = 7 π r h V 1 + V = 8 V 1 V = 7 V 1. V V 1 + V = 7 V 1 V = 19 V 1. Problema 6 Na imagem a seguir o comprimento da circunferência é igual a 68 cm. C Considerando π =, 14, determine a área da região sombreada, em cm. Vejamos que, para resolver este problema e achar a área sombreada, podemos calcular o raio da circunferência, levando em conta o comprimento da circunferência C c ) apresentado no enunciado e após calcular a oitava parte dessa área, pois a parte da circunferência interna ao triângulo representa a oitava da área total da circunferência interna ao quadrado. Realizando os cálculos, temos: C c = πr 68 =, 14 r 68 = 6, 8 r r = 68 6, 8 r = 100 cm Ao calcular o raio da circunferência podemos calcular a área da circunferência A c ). Observe que, na figura, a parte referente a circunferência que está no interior do triângulo representa a oitava parte da circunferência, sendo assim calculamos a área da circunferência e multiplicamos por 1 8. A c = πr A c =, A c =, A c = 1400 cm Agora iremos calcular a área do triângulo A t ) no interior do quadrado. A t = b h A t = Calculando a oitava parte circunferência, temos: A t = 5000 cm A c 8 = = 95 cm 8 Subtraindo a oitava parte da área circunferência da área do triângulo, obtemos: Assim, a área sombreada é igual a 1075 cm = 1075 cm

5 PARTE DISSERTATIVA - NÍVEL - ANO 018 Problema 1 Os primeiros membros da Associação de Pitágoras definiram os números poligonais como sendo o número de pontos em determinadas configurações geométricas. Os primeiros números triangulares são 1,, 6 e 10: Qual é a diferença entre o número de segmentos e o número de pontos da configuração geométrica referente ao número triangular 10? Na configuração geométrica do n-ésimo número triangular, a diferença entre o número de segmentos e o número de pontos é uma progressão aritmética PA) de razão r = 1 e primeiro termo 1, ou seja, a sequência das diferenças entre segmentos e pontos na posição n é a n = a 1 + n 1)r = 1 + n 1)1 = n. Como os números triangulares são na verdade a sequência da soma dos n primeiros naturais, o n-ésimo número nn + 1) triangular é. Portanto, basta descobrir qual o posição do número 10 na lista de números triangulares, ou seja, resolver nn + 1) = 10, de onde obtemos que n = 0. Assim, a diferença entre o número de segmentos e o número de pontos da configuração geométrica referente ao número triangular 10 é a 0 = 0 = 18. Problema A calculadora do João tem uma tecla especial com o símbolo. Se o visor mostra um número x diferente de, ao apertar a tecla aparece o valor de x 5 x = a) Se João colocar 4 no visor e apertar, qual número vai aparecer? Se João colocar um número x no visor e apertar, aparece o valor de fx) = x 5. Logo, para x x = 4, o valor que vai aparecer é f4) = 4 5 = = 7. b) João colocou um número no visor e, ao apertar, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor? Seja b o número que João colocou no visor. Ao apertar, apareceu o número fb) = b 5 b, que o enunciado nos diz que é igual a b. Logo b 5 b = b, donde b 5 = bb ), ou seja, b 6b + 5 = 0. Essa equação tem as raízes b = 1 e b = 5, que são os números que João pode ter colocado no visor.

6 c) João percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 7 e apertando a duas vezes, aparece de novo o 7. O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de? Explique. Seja b o número que João colocou no visor. Ao apertar duas vezes, aparece o número ) b 5 ) 5 9b 15 5b + 15 b 5 b ffb)) = f = ) = b = 4b b b 5 b 5 b = b. b b Ou seja, a função f é inversa de si mesma, isto justifica o fato de ao apertar duas vezes o resultado ser igual ao inicial. É importante notar que João pode apertar uma segunda vez. De fato, a equação fb) = 0 não tem solução, ou seja, o denominador da expressão após o primeiro sinal de igualdade acima é sempre diferente de 0. De fato, se existisse b tal que fb) = 0, teríamos b 5 = e, portanto, 5 = 9, um absurdo. b Logo, ao apertar nunca aparece o no visor, e é sempre possível apertar uma segunda vez. Problema A partir da figura a seguir, considerando r e s paralelas, determine o perímetro e a área do trapézio sombreado. C 4 cm A 5 cm 4 cm B E r D s O triângulo A é retângulo e para determinar a medida do segmento basta utilizar o Teorema de Pitágoras: ) + AE ) = AB ) ) + 4 = 5 ) + 16 = 5 ) = 9 = cm Como as retas r e s são paralelas, utilizando o Teorema de Tales, tiramos as seguintes relações: CD = AB AC 4 = 5 AC CD = AE AD 4 = 4 AD 1) ) Da relação 1) tiramos que AC = 40 cm, donde BC = 5 cm, e da relação ) vem que AD = cm, donde DE = 8 cm. Portanto, o perímetro do trapézio BCDE é BC + CD + DE + = = 90 cm e a área do trapézio A BCDE ) pode ser calculada sem necessariamente conhecer a fórmula da área do trapézio, é possível chegar na resposta através da diferença entre a área do triângulo ACD pela área do triângulo A: A BCDE = A ACD A A = Utilizando a fórmula da área do trapézio temos: A BCDE = B + b) h = ) 8 = = 84 6 = 78 cm. 7 8 = 78 cm.