Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u + u ( t, u u ( (3 (4 As derivadas dizem-nos quais são as variáveis dependentes e as d d variáveis independentes. Por eemplo, as notações e em (3 dizem-nos que, nesta equação, é a variável dependente e é a variável independente. Em (, e dizem-nos que, nesta t u equação, é a variável dependente e u e t são as variáveis independentes. Se apenas houver uma variável independente, como em ( ou (3, então a equação diferencial diz-se equação diferencial ordinária. O nosso estudo irá apenas incidir sobre este tipo de equações diferenciais.

2 Aplicações: Uma aplicação comum à física é a lei de arrefecimento de ewton que diz que: um objecto, a taa de temperatura perdida é proporcional à diferença da temperatura da superfície do objecto, com a temperatura ambiente. Seja T (t a temperatura da superfície do objecto, no tempo t e seja S (t a temperatura ambiente, no tempo t. A lei pode ser epressa na seguinte forma: dt dt k( T S. (5 k é a constante de proporcionalidade determinada pelas características do objecto e do ambiente envolvente. Supõe-se que S é conhecida. A função T (t é desconhecida e, de um modo geral, pretende-se encontrar T (t resolvendo a equação diferencial. Suponha-se que um objecto de massa m está a uma distância de um ponto b (no tempo t e a lei é a seguinte: A força no objecto é inversamente proporcional ao quadrado da distância a b. Como F m a (se m é constante, tem-se física pode ser epressa na forma d F m dt d k m, (6 dt. Assim, a lei com k a constante de proporcionalidade. Pretende-se determinar a posição (t, resolvendo a equação diferencial.

3 Há 3 abordagens gerais para estudar uma equação diferencial, qualitativa, numérica e analítica. o nosso estudo, dar-se-á grande importância ao desenvolvimento analítico que consiste em obter fórmulas implícitas e eplícitas para as soluções. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada da função desconhecida (variável dependente que aparece na equação. Por eemplo, (5 é uma equação diferencial de ª ordem e (6 é uma equação diferencial de ª ordem. Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma a ( n ( n d d d + a ( a( a ( f ( n n (7 n n ( 0 com a n ( 0 e a i ( funções de (conhecidas a que se chamam coeficientes. Eemplos: d 3 sen( 3 d d 3 + ; + + 0; d d d + sen cos + ; 4 3 ( ( sen( cos( + ( 4 ; 6 4 d ;.

4 A função ( é uma solução da equação diferencial se, ao ser substituída na mesma, resulta uma igualdade verdadeira para todos os valores de no domínio de (. Eemplos: ( sen + é uma solução da seguinte equação diferencial Verifique que ( d + +. Verifique que a função (, definida implicitamente pela equação + e, é uma solução da seguinte equação diferencial d. + Se a solução de uma equação diferencial tiver constantes arbitrárias, é solução para todos os valores das constantes e, além disso, toda a solução da equação diferencial é dessa forma então diz-se solução geral da equação diferencial. Caso a solução não contenha constantes arbitrárias diz-se solução particular.

5 Eemplos: 6 Verifique que + c + c, com c e c constantes arbitrárias, é solução geral da seguinte equação diferencial Determine os valores da constante r de forma a que cos( r solução da seguinte equação diferencial seja 3 Verifique que ce, com c constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial d 3 3 e calcule c de forma que satisfaça a condição inicial (. Equações Diferenciais de ª Ordem O estudo que se segue irá incidir sobre equações diferenciais que se podem escrever na seguinte forma (forma eplícita d f (,. Antes de pensar em resolver uma equação diferencial é importante saber se esta tem solução e, caso eista, também é importante saber se é única.

6 Teorema: (Eistência e Unicidade Sejam 0 e 0 números reais tais que ( 0, 0 pertence ao domínio de f (,. Suponha-se que eistem números positivos ε e ε, tais que f (, e f (, são ambas contínuas no rectângulo {(, : < ε < ε }. 0 e este caso, eiste δ > 0 tal que no intervalo 0 < δ eiste uma única solução do problema de valor inicial d f (,, ( Eemplo: d

7 Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis A equação diferencial d f (, diz-se de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma d h( g(. Dividindo ambos os membros por g ( obtém-se g( d h(. (8 Primitivando, agora, ambos os membros em relação à variável, d h(. (9 g( Ora, como d d, (9 pode ser escrita na forma d h( + C g(

8 Observa-se a partir de (8 que a equação diferencial pode ser escrita na forma d g( h( ou ainda h ( d 0. g( Esta é outra forma de escrever a equação diferencial que em geral se representa por M (, + (, d 0. (0 Assim, no caso de M (, P( e (, Q( (isto é, M (, e (, apenas dependem de e de, respectivamente a solução de (0 é dada por com C constante arbitrária. P ( + Q( d C, Eemplo: Determine a solução geral da equação d.

9 Equações Diferenciais Totais Eactas Definição: Consideremos a seguinte equação diferencial de ª ordem (0. A equação diferencial diz-se total eacta se eistir uma função F (, tal que df (, M (, + (, d. Se (0 é diferencial total eacta tem-se df (, 0 e, portanto, F (, C define implicitamente a solução geral de (0. Teorema: Se M (,, (,, M (, e (, são funções contínuas então M (, + (, d 0 é diferencial total eacta se e só se M. Eemplo: 3 Determine a solução geral da equação 3 ( + ( + d 0.

10 Equações Diferenciais Lineares de ª Ordem A equação diferencial linear de ª ordem d a ( + a0( f ( ( com coeficientes a ( e a (, é importante em muitas aplicações. 0 Se a 0(, a ( e f ( forem contínuas num intervalo I e, além disso, a ( nunca se anula em I então, aplicando o teorema da eistência e unicidade de soluções, conclui-se que: se 0 I e 0 é um número real qualquer então eiste uma única solução de ( tal que ( 0 0. Pelo facto de esta equação diferencial ser linear esta solução é única em todo o intervalo I. Os pontos tais que a ( 0 são chamados pontos singulares. Para resolver a equação diferencial ( começa-se por dividir ambos os membros por a ( d a0( f ( +. a ( a (

11 Seja a ( ( 0 P e a ( f ( Q ( a. A solução de ( é dada por ( e P( P( e Q( + C em que e arbitrária. P( se designa por factor integrante e C é uma constante Eemplo: Determine a solução geral da equação.

12 Equações Diferenciais De Bernoulli A equação diferencial de Bernoulli tem a forma + P( Q( n n 0, ( Se n 0 a equação é linear de ª ordem. Se n a equação é de variáveis separáveis. n n multiplicando ambos os membros de ( por ( Se 0, tem-se n ( n n + ( n P( ( n Q( n, Tomando z n n tem-se z ( n. Assim, z + ( n P( z ( n Q( é uma equação diferencial linear de ª ordem, na variável dependente z. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( d 0.

13 Determinação de Factores Integrantes Consideremos a equação diferencial (0 e suponhamos que µ (função de e de é um factor integrante da equação. este caso, a equação 0, (, ( + µ µ d M deve ser diferencial total eacta; logo ( ( M µ µ ( ( ( ( M M + µ µ + µ µ M M µ µ µ. (3 Suponhamos agora que o factor integrante, µ, depende apenas de uma única variável. Seja então µ( µ. Assim a equação (3 toma a forma d M µ µ ; isto é, d M µ µ.

14 É claro que esta igualdade só tem significado se depender apenas de ; isto é, se M ϕ( M e, portanto, µ dµ ϕ( donde se conclui que µ ( e ϕ( é um factor integrante para a equação diferencial (0. Se µ é apenas função de pode-se mostrar, da mesma forma, que se M ψ( M então ψ( µ d ( e é um factor integrante para a equação diferencial (0. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( ( + d 0.

15 Equações Diferenciais Homogéneas Definição: Uma função f (, diz-se homogénea, de grau de homogeneidade α, se f α ( λ, λ λ f (,, para todo o λ IR. Eemplos: f (, + + não é homogénea. f (, é homogénea de grau. 3 f (, ln é homogénea de grau 0. Definição: A equação diferencial (0 diz-se homogénea se as funções M (, e (, são homogéneas com o mesmo grau de homogeneidade. Lema : Se as funções M (, e (, são homogéneas com o M (, mesmo grau de homogeneidade então a função é homogénea (, de grau 0.

16 Lema : Se f (, é homogénea de grau 0 então f (, é função apenas de. Conclui-se a partir dos lemas e que no caso da equação (0 ser homogénea, então é possível escrevê-la na forma d g. Para resolver esta equação faz-se a mudança de variável dependente para v, definida por v, e obtém-se uma equação de variáveis separáveis. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( + d 0.

17 Substituições Sugeridas Por Uma Epressão Se a equação diferencial (0 não for de nenhum dos tipos estudados até agora pode ser possível, através de uma mudança de variáveis, transformar a equação diferencial numa outra da qual saibamos calcular a solução geral. Por eemplo, na equação ( + + 3( + d 0 a função + aparece duas vezes. Se fizermos a substituição + v, como dv d, obtém-se a equação ( v dv + ( v + d 0 que é de variáveis separáveis. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial + 3 sen( cos( d. ( ( 0