Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

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1 Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE 2. Umaurnacontémbolasvermelhas(V),bolasbrancas(B)ebolasazuis(A).Umabolaéextraída e observada sua cor.. Uma urna tem 0 bolinhas numeradas de a 0. Uma bolinha é extraída e observado seu número.. De um baralho de 2 cartas, uma é extraída e observada.. Uma urna contém bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolas são extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequência que foram extraídas. 6. Três pessoas, A, B, C são colocadas numa fila e observa-se a disposição das mesmas.. Um casal planeja ter filhos, Observa-se a sequência de sexos dos filhos. 8. Dois dados, um verde e um vermelho são lançados; observa-se os números das faces de cima; 9. Entre pessoas A, B, C, D, E, duas são escolhidas para formarem uma comissão. Observa-se os elementos dessa comissão. 0. A uma pessoa (não nascida em ano bissexto) é perguntada a data de seu aniversário (mas não o ano do nascimento), Observa-se essa data. Eventos. Uma urna contém 0 bolinas numeradas de a 0. Uma bolinha é escolhida e observado se número. Seja Ω = {,2,,29,0}. Descrever os eventos: (a) o número obtido é par; o número obtido é ímpar (c) o número obtido é primo. (d) o número obtido é maior que 6. (e) o número é múltiplo de 2 e de ; (f) o número é múltiplo de ou de 8. (g) o número não é múltiplo de Dois dados, um verde e um vermelho são lançados. Seja Ω o conjunto dos pares {a,b} onde a representa o número do dado verde e b do dado vermelho. Descrever os eventos:

2 (a) A: ocorre no dado verde B: ocorrem números iguais nos dois dados; (c) C: Ocorre número 2 em ao menos um dado; (d) D: Ocorrem número cuja soma é. (e) E: ocorrem números cuja soma é menor que.. Uma moeda e um dado são lançados. Seja Ω = {(K,);(K,2);(K,);(K,);(K,);(K,6);(C,);(C,2);(C,);(C,);(C,);(C,6)} Descreva os eventos: (a) A: ocorre cara; B: ocorre número par; (c) C: Ocorre número ; (d) D: A B; (e) E: B C (f) F: A C (g) G: A C (h) H: C C. Um par ordenado (a,b) é escolhido entre os 20 pares ordenados do produto cartesiano A B onde A = {,2,,} e B = {,2,,,}. Considere Ω = {(a,b) a A b B}. ( = e ). Descrever os eventos: (a) A={(x,y) x = y)}; B={(x,y) x > y)} ; (c) C={(x,y) x+y = 2)} ; (d) D={(x,y) y = x 2 )} ; (e) E={(x,y) x = )} ; (f) F={(x,y) y = )} ;. Uma urna I tem duas bolas vermelhas (V) e três brancas e a urna II tem cinco bolas vermelhas e seis brancas. Uma urna é escolhida e dela extraída uma bola e observada sua cor. Seja: Ω = {(I,V);(I,B);(II,V);(II,B)}. Descreva os eventos: (a) A: a urna escolhida é a I B: a urna escolhida é a II (c) C: a bola escolhida é vermelha (d) D: a bola escolhida é branca ; (e) E: A B; (f) F: A C; (g) G: D C 6. Um experimento consiste em perguntar a mulheres se elas usam ou não o sabonete marca A. (a) Dar um espaço amostral para o experimento; descrever o evento A: No máximo duas mulheres usam o sabonete marca A.. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser vermelha? 8. Numa cidade com 000 eleitores vai haver uma eleição com dois candidatos, A e B. É feita uma prévia em que os 00 eleitores são consultados, sendo que 0 já decidiram, definitivamente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição? 9. Considere o espaço amostral Ω = {a,a 2,a,a } e a distribuição de probabilidade tal que p = p 2 = p e p = 0,. Calcule: (a) p,p 2 e p Seja A o evento A = {a,a }. Calcule P(A) (c) Calcule P(A C ) (d) Seja B o evento B = {a,a }. Calcule P(B). 2

3 (e) Calcule P(A B) e P(A B) (f) Calcule P[(A B) C ] e P[(A B C )] 0. Seja Ω = {K,C} o espaço amostra do lançamento de uma moeda. É correta a distribuição de probabilidade P(K) = 0,, P(C) = 0,9? (Lance uma moeda 00 vezes, calcule a frequência relativa do evento cara e verifique se esta distribuição é compatível com a realidade.). Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de: (a) ocorrer cara no lançamento desta moeda. ocorrer coroa no lançamento desta moeda. 2. Temos duas moedas, das quais uma é perfeita e a outra tem duas caras. Uma das moedas, tomada ao acaso, é lançada. Qual a probabilidade de se obter cara?. Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de: (a) ocorrer número par. ocorrer número maior ou igual a cinco.. Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a mesma, e a de observarmos qualquer número ímpar é também a mesma. Porém um número par é três vezes mais provável de ocorrer, do que um número ímpar. Lançando-se esse dado, qual a probabilidade de (a) ocorrer um número primo? ocorrer um múltiplo de? (c) ocorrer um número menor ou igual a?. Seja o espaço amostral Ω = {a,a 2,...,a 0 } e considere a distribuição de probabilidades. p i = p(a i ) = K i, i {,2,,...,0}. (a) Calcule K Calcule p e p (c) Seja o evento A = {a,a 2,a,a 6 }, calcule P(A) (d) Calcule P(A C ) 6. Seja o espaço amostral Ω = {a,a 2,...,a 0 } e considere a distribuição de probabilidades p i = p(a i ) = ( ) 0 i (0,6) 0 i i (0,) i {0,,2,...,0}. (a) Mostre que 0 i= p i = Calcule p (c) Seja o evento A = {0,,2}. Calcule P(A) e P(A C ).. Se A e B são eventos quaisquer Ω, prove que P(A B) P(A)+P(B). 8. Se A e B são eventos de Ω, prove que: P(A B) P(A) P(A B) P(A)+P(B)

4 9. Se A e B são eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = 0, e P(A B) = 0,. Calcule: (a) P(A B) P(A C ) (c) P(B C ) 20. Se A, B e C são eventos de Ω, prove que: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). 2. SeA, B ec sãoeventostaisquep(a) = 0,, P(B) = 0,, P(C) = 0,6, P(A B) = P(A C) = P(B C) = 0,2 e P(A B C) = 0,. Calcule: (a) P(A B) P(A C) (c) P(A B C) 22. De um baralho de 2 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo? (a) ocorre dama de copas ocorre dama (c) ocorre carta de naipe paus (d) ocorre dama ou rei ou valete (e) ocorr uma carta que não é um rei. 2. Umnúmero éescolhido ao acaso entre os20inteiros, dea20. Qualaprobabilidade do número escolhido (a) ser par? (c) ser primo? ser ímpar? (d) quadrado perfeito? 2. Um número é escolhido ao acaso entre os 00 inteiros de a 00. Qual a probabilidade do número ser (a) múltiplo de 9? ser múltip,lo de e de? (c) ser múltiplo de ou de? 2. Uma urna contém 20 bolas numeradas de a 20. Seja o experimento a retirada de uma bola e considere os eventos A = {a bola retirada possui um número múltiplo de 2} B = {a bola retirada possui um número múltiplo de } Determine a probabilidade do evento A B. 26. Os coeficientes de a e b da equação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares ordenados do produto cartesiano A A, sendo A = {,2,,}, sendo a o primerio elemento do par a e b o segundo. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras? 2. Uma urna contém bolas brancas, 2 vermelhas e azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da urna, Qual a probabilidade da bola escolhida ser: (a) branca? vermelha? (c) azul? 28. Um aura contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 0 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade: (a) da bola não ser amarela?

5 da bola ser branca ou preta? (c) da bola não ser branca, nem amarela? 29. Dois dados, um verde e um amarelo são lançados e observados os números das faces de cima. (a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? (c) Qual a probabilidade da soma dos números ser? (d) Qual a probabilidade da soma dos números ser 2? (e) Qual a probabilidade de soma dos números ser menor ou igual a 2? (f) Qual a probabilidade de aparecer número em ao menos um dado? 0. Numa cidade, 0% dos homens são casados, 0% são solteiros, 20% são desquitados e 0% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso. (a) Qual a probabilidade dele ser solteiro? Qual a probabilidade dele não ser casado? (c) Qual a probabilidade dele ser solteiro ou desquitado?. Em um grupo de 00 estudantes, 80 estudam Engenharia, 0 estudam Economia e 0 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: (a) ele estude Economia e Engenharia? ele estude somente Engenharia? (c) ele estude somente Economia? (d) ele não estude Engenharia, nem Economia? (e) ele estude Engenharia ou Economia? 2. De um grupo de 200 pessoas, 60 têm fator RH positivo, 00 têm sangue tipo O e 80 têm fator RH positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de: (a) seu sangue ter fator RH positive? seu sangue não ser tipo O? (c) seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?. Uma cidade tem habitantes e jornais A, B, C. Sabe-se que: 000 lêem o jornal A 000 lêem os jornais A e B lêem o jornal B 000 lêem os jornais A e C lêem o jornal C 000 lêem os jornais B e C lêem os jornais A e B Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: (a) ela leia pelo menos um jornal? leia só um jornal?

6 . Um colégio tem 000 alunos. Destes: 200 estudam Matemática 80 estudam Física 200 estudam Química 20 estudam Matemática, Física e Química 0 estudam Matemática e Física 0 estudam Física e Química 0 estudam somente Química Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de (a) ele estudar só Matemática? ele estudar só Física? (c) ele estudar Matemática e Química?. Uma moeda é lançada vezes. Qual a probabilidade de: (a) observarmos e coroas? observarmos exatamente uma coroa? (c) observarmos pelo menos uma cara? (d) observarmos nenhuma coroa? (e) observarmos no máximo 2 caras? 6. Com os dígitos,2,,, são formados números de algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser: (a) par ímpar. Em uma urna existem 6 bolinas numeradas, de a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem reposição. Qual a probabilidade de que a seqüência de números observados seja crescente? 8. Oito pessoas, (entre elas Pedro e Silvia) são dispostos ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de (a) Pedro e Silvia ficarem juntos? Pedro e Silvia ficarem separados? 9. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que livros determinados fiquem juntos? 0. Uma loteria consta de 000 números, de a 000. Dez números são sorteados ao acaso, sem reposição, e ao o número sorteado, corresponde o o prêmio, ao 2 o número sorteado, corresponde o 2 o prêmio e assim por diante, até o 0 o número sorteado. Se uma pessoa é portadora do bilhete n o, qual a probabilidade dela ganhar: (a) o o prêmio? o o prêmio? (c) o 0 o prêmio?. Uma moeda é lançada 0 vezes. Qual a probabilidade de observarmos caras e coroas? 2. Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa. É feira a seguinte experiência: seis cartas (numeradas de a 6) são dadas à pessoa, que concentra sua atenção em duas delas. O adivinho terá que descobrir essas duas cartas. Se o adivinho estiver apenas chutando, qual a probabilidade dela acertar as duas cartas, nas quais a outra pessoa concentra a atenção?. (clássico dos aniversários) Em um grupo de n pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia? (suponha que nenhuma tenha nascido em ano bisexto). 6

7 . Uma urna contém seis bolinhas numeradas de a 6. Quatro bolinhas são extraídas ao acaso sucessivamente, com reposição. Qual a probabilidade de que todas assinalem números diferentes?. Cinco algarismos são escolhidos ao acaso, com reposição, entre os algarismos 0,,2,,,,6,,8,9. Qual a probabilidade dos cinco algarismos serem diferentes? 6. Uma urna contém bolas vermelhas e brancas. Duas bolas são extraídas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de: (a) ambas serem vermelhas? ambas serem brancas?. Uma urna contém bolas vermelhas, brancas e 2 pretas. Duas bolas são extraídas ao acaso, e com reposição. Qual a probabilidade de: (a) ambas serem vermelhas? (c) nenhuma ser preta? nenhuma ser branca? 8. De um baralho de 2 cartas, três são extraídas sucessivamente ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as cartas seja de paus? 9. De um baralho de 2 cartas, duas são extraídas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de observarmos: (a) dois ases? umáseumrei (semlevar emconta a ordem)? 0. Uma urna contém bolas vermelhas e brancas. Duas bolas são extraídas sucessivamente ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de: (a) ambas serem brancas? ambas serem vermelhas? (c) uma vermelha, outra branca(sem levar em conta a ordem)?. De um lote de 200 peças sendo 80 boas e 20 defeituosas, 0 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de: (a) as 0 peças serem boas? as 0 peças serem defeituosas? (c) peças serem boas e serem defeituosas? 2. Um lote contém 60 lâmpadas sendo 0 boas e 0 defeituosas, lâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de: (a) todas serem boas? (c) 2 serem boas e defeituosas? todas serem defeituosas? (d) pelo menos uma ser defeituosa?. Em uma loja existem 00 camisas, sendo 80 da marca A. Se camisas forem escolhidas ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de serem da marca A?. De um baralho de 2 cartas, são extraídas ao acaso,s em reposição. Qual a probabilidade de: (a) de saírem os reis? (c) de sair ao menos um rei? de não sair nenhum rei?. De um baralho de 2 cartas, duas são extraídas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que pelo menos uma seja de copas? 6. De um grupo de 0 pessoas, entre elas Regina, cinco são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que Regina compareça entre as cinco?

8 . De declarações de imposto de renda (entre as quais a do Sr. K) Que chegam a um órgão fiscal, são escolhidas ao acaso e analisadas detalhadamente. Qual a probabilidade de declaração do Sr. K ser analisada detalhadamente. 8. Entre 00 pessoas, uma única é portadora de uma moléstia. 0 pessoas entre as 00 são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa portadora da moléstia estar entre as 0? 9. Um grupo é constituído de 6 homens e mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens? 60. Entre 0 meninas, têm olhos azuis. Três meninas são escolhidas ao acaso, sem reposição; qual a probabilidade de pelo menos duas terem olhos azuis? 6. Uma urna contém bolas brancas,, 2 vermelhas e azuis. Cinco bolas são selecionadas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 azuis? 62. De um baralho de 2 cartas, duas são selecionadas ao acaso e sem reposição; qual a probabilidade de que seus naipes sejam diferentes? 6. De um baralho de 2 cartas, duas são selecionadas ao acaso e sem reposição; qual a probabilidade de observarmos dois reis ou duas cartas de copas? 6. Um grupo é constituído de 0 pessoas, entre elas Jonas e Cesar. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente pessoas entre Jonas e Cesar? 6. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode andar uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita. Se ele andar 0 unidades, qual a probabilidade de chegar no ponto P(,)? Respostas Espaço Amostral. Ω = {P,R,O,S,A,I,L,D,E} 2. Ω = {V,S,A}. Ω = {,2,,...,9,0}. Ω = {2 e,2 c,2 p,2 o, e, c, p, 0,...,K e,k c,k p,k o,...,a e,a c,a p,a o } emque osíndices e,c,p,o indicam, respectivamente, espadas, copas, paus e ouros. Ω = {(V,V),(V,8),(8,V),(8,S)} 6. Ω = {(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B)(C,B,A)}. Ω = {(M,M,M),(M,M,F),(M,F,M),(M,F,F),(F,M,M),(F,M,F),(F,F,M),(F,F,F)} em que M indica o sexo masculino e F feminino. 8. Ω = {(,),(,2),...,(,6),...,(6,),...,(6,6)} 9. Ω = {(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)} 0. Ω = {,2,,...,6,6} 8

9 Eventos. (a) A = {2,,6,8,0,2,,6,8,20,22,2,26,28,0} B = {,,,,9,,,,,9,2,2,2,2,29} (c) C = {2,,,,,,,9,2,29} (d) D = {,8,9,20,2,22,2,2,2,26,2,28,29,0} (e) E = {0,20,0} (f) F = {,6,8,9,2,,6,8,2,2,2,0} (g) G = Ω {6,2,8,2,0} 2. (a) A = {(,),(,2),(,),(,),(,),(,6)} B = {(,),(2,2),(,),(,),(,),(6,6)} (c) C = {(2,),(2,2),(2,),(2,),(2,),(2,6),(,2),(,2)(,2),(,2),(6,2)} (d) D = {(,6),(2,),(,),(,),(,2),(6,)} (e) E = {(,),(,2),(2,),(,)(2,2),(,),(,),(2,),(,2),(,),(,),(2,),(,),(,2),(,)}. (a) A = {(K,),(K,2),(K,),(K,),(K,),(K,6)} B = {(K,2),(K,),(K,6),(C,2),(C,),(C,6)} (c) C = {(K,),(C,)} (d) A B = {(K,),(K,2),(K,),(K,),(K,),(K,6),(C,2),(c,),(c,6)} (e) B C =, B e C são mutuamente exclusivos. (f) A C = {(K,)} (g) A c = {(C,),(C,2),(C,),(C,),(C,),(C,6)} (h) C c = {(K,),(K,2),(K,),(K,),(K,6),(C,),(C,2),(C,),(C,),(C,6)}. (a) A = {(,),(2,2),(,),(,)} B = {(2,),(,),(,),(,2),(,2),(,)} (c) C = {(,)} (d) D = {(,),(2,)} (e) E = {(,),(,2),(,),(,),(,)} (f) F = {(,),(2,),(,),(,)}. (a) A = {(I,V),(I,B)} B = {(II,V),(II,B)} (c) C = {(I,V),(II,V)} (d) D = {(I,B),(II,B)} (e) A B = (f) A C = {(I,V)} (g) D c = {(I,V),(II,V)} 6. (a) Ω = {(S,S,S),(S,S,N),(S,N,S),(S,N,N),(N,S,S),(N,S,N),(N,N,S),(N,N,N)} em que S representa resposta sim e N resposta não. A = {(S,S,N),(S,N,S),(S,N,N),(N,S,S),(N,S,N),(N,N,S),(N,N,N)} 9

10 . 8. P(A) = 9. (a) 0, 0,6 (c) 0, (d) 0, (e) 0,;0, (f) 0,;0, 0. A distribuição é correta.. (a) (a) 2. (a) 2 (c) 2. (a), (c) (d) 2 6. (a) Demonstração 0,02 (c) 0, 02; 0, 98. Demonstração 8. Demonstração 9. (a) 0, 0,8 (c) 0, 20. Demonstração 2. (a) 0, 0,8 (c) 0,8 22. (a) 2 (c) (d) (e) 2 2. (a) 2 2 (c) 2 (d) 2. (a) (c) 2 2. (a) (c) (a) 9 9 (c) (a) 6 6 (c) 6 (d) 6 (e) (f) 6 0. (a) 0, 0, (c) 0,6. (a) 0 0 (c) 2 (d) 2 (e) 2 2. (a) 2 9 (c) 0. (a) 2 0. (a) 00 0 (c) 0. (a) 8 8 (c) 8 (d) 8

11 (e) 8 6. (a) (a) (a) (c) !!! 6 = (6 n+) 6 n (a) (a) 9 00 (c) (a) (a) 22 (c) 66 ( ) (a) ( ) ( ) 20 0 ( ) ( ) ( ) (c) ( ) ( ) 0 2. (a) ( ) 60 6 ( ) 0 ( ) 60 ( ) ( ) (c) ( ) 60 ( ) 0 (d) ( 60 6).. (a) ( ) ( ) 00 8 ( ) 2 ( 8 ) ( ) 2 ( ) 8 (c) ( ) 2 ( ) 9 ( )