Eduardo. Matemática Sistemas Lineares

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Eduardo Valente Pinhal
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1 Matemática Sistemas Lineares Eduardo

2 Sistema de Equações Lineares Definição: Um sistema de equações lineares consiste num conjunto de m equações lineares onde m 1. Solução do Sistema Par ordenado - S = {( x, y )}, S = {( a, b)},... Terno ordenado - S = {( x, y, z )}, S = {( a, b, c )},... N-upla ordenada - S = {( a, b, c,...)},... Obedecem a ordem alfabética. Exemplo: (UFSC) A equação x + a m = 0 obedece o terno ordenado ( 1, 2, 3 ). Falso a m x x + a m = = 2

.. Terno ordenado - S = {( x, y, z )}, S = {( a, b, c )},... N-upla ordenada - S = {( a, b, c,...)},... Obedecem a ordem alfabética.

3 Sistema de Equações Lineares Classificação do Sistema Normal - nº de equações igual ao nº de variáveis. { x+2y=5 3x ( y = 7 Não Normal - nº de equações diferente do nº de variáveis. Grau de Indeterminação do Sistema nº de variáveis, menos o nº de equações. x+2y+2z=1 x+3y+z=3 G.I. = 1 S = {( - 3-4z, 2 + z, z )} x "3y + z + 4w)+)t)= 5 ")2x " y + 3z + w)")t= 3 G.I. = 3!"x + y =!"1 3x! y =!"6!"2x + y = 0 G.I. = não há

Grau de Indeterminação do Sistema nº de variáveis, menos o nº de equações. x+2y+2z=1 x+3y+z=3 G.I. = 1 S = {( - 3-4z, 2 + z, z )} x "3y + z + 4w)+)t)= 5 ")2x " y + 3z + w)")t= 3 G.

4 Resolução de Gauss Exemplo: (UFSC 2015) Resolva o sistema linear abaixo. x+2y+z=9 2x+y-z=3 3x -y-2z=-4 + x2 x+2y+z=9 3x+3y =12 5x + 3y =14 - x+2y+z=9 3x+3y =12 2x =2 x = 1 y = 3 z = 2 S = { 1, 3, 2 }

5 Resolução de Gauss Exemplo: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. 1. Escolha uma equação. x + 2y + 3z = 1 2x + 4y + 6z = 2 3x + 6y + 9z = 4 2. Escolha a variável que será cancelada. 3. Multiplique a equação escolhida por uma constante conveniente para eliminar a variável e some com a equação seguinte. 4. Repita o processo com todas as equações.

Escolha a variável que será cancelada. 3.

6 Resolução de Gauss Exemplo: (UDESC) Resolva o sistema linear abaixo. x + 2y + 3z = 1("2)("3) 2x + 4y + 6z = 2 3x + 6y + 9z = 4 +!2x! 4y! 6z =! 2 2x + 4y + 6z = 2 0x + 0y + 0z = 0 +!3x!6y! 9z =! 3 3x + 6y + 9z = 4 0x + 0y + 0z = 1 Desta 2ª equação, concluímos que o s i s t e m a é impossível.

7 Sistema Não Normal Número de equações maior do que o de variáveis. Exemplo: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y=7 3x+5y=17 2x+y=2 1. Escolhe-se as equações para formar um sistema normal. 2. Resolve-se o sistema normal. 3. Testa-se a solução encontrada nas outras equações.

2x+y=2 1. Escolhe-se as equações para formar um sistema normal. 2.

8 Sistema Não Normal Número de equações maior do que o de variáveis. Exemplo: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y=7(-3) + 3x+5y=17 - y=- 4 y=4 x+2y=7 3x+5y=17 2x+y=2 x+2y=7 x+2(4)=7 x+8=7 x=-1 2x+y=2 2(-1)+(4) =2-2+4 =2 2=2 S= {(-1,4)}

9 Sistema Não Normal Número de equações menor do que o de variáveis. Exemplo: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y+2z=7 x+3y + z=3 1. Escolhe-se variáveis para transpor ao segundo membro, de tal maneira a formar um sistema normal no primeiro membro. 2. Resolve-se o sistema normal que ficou no primeiro membro. 3. A solução ficará em função das variáveis transposta para o segundo membro. Isso representa o grau de indeterminação do sistemas.

Escolhe-se variáveis para transpor ao segundo membro, de tal maneira a formar um sistema normal no primeiro

10 Sistema Não Normal Número de equações menor do que o de variáveis Exemplo: Dê o conjunto solução do sistema abaixo: x+2y+2z=7 x+3y + z=3 x+2y=7-2z(-1) + x+3y=3-z y=-4+z x+2y+2z=7 x+2(- 4+z)+2z=7 x z + 2z=7 x z =7 x=15-4z S= {( 15-4z,-4+z, z) } SISTEMAS LINEARES

z=3 x+2y=7-2z(-1) + x+3y=3-z y=-4+z x+2y+2z=7 x+2(- 4+z)+2z=7 x -8 +

11 Discussão de Sistemas Classificação S. P. D. - Sistema Possível Determinado Possível ou Compatível Determinado (solução única) x=! 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Concorrentes Verificação de um sistema pelos coeficientes x + 4y = 7 5x - 2y = S. P. D. -2 2

12 Discussão de Sistemas Classificação S. P. I. - Sistema Possível Indeterminado Possível ou Compatível Indeterminado (infinitas soluções) x= 0 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Coincidentes Verificação de um sistema pelos coeficientes. 3x +2y = 4 6x + 4y = x 2 As equações são múltiplas. = = 8 S. P. I.

(infinitas soluções) x= 0 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Coincidentes

13 Discussão de Sistemas Classificação S. I. - Sistema Impossível Impossível ou Incompatível Não admite solução x= 0 = 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Paralelas Distintas Verificação de um sistema pelos coeficientes x +3y = 5 6x +9y = -8 = S. I.

x= 0 = 0 Interpretação Gráfica da Solução Retas Paralelas

14 Discussão de Sistemas Exemplo: (UFSC) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 falso é x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 x 3 x? As equações não são múltiplas, logo o sistema não é S.P.I.

15 Discussão de Sistemas Exemplo: (UFSC) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 falso é Método de Gauss x+y+z=1 (- 5) 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = x - 5y - 5z = - 5 5x + 5y + 5z = 9 0x+0y+0z=4 S.I.

16 Discussão de Sistemas Exemplo: (UFSC) O sistema linear possível e indeterminado. x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = 9 falso é Método dos coeficientes x+y+z=1 3x + 3y + 3z = 3 5x + 5y + 5z = = 1 S.P.I. 3 = 1 3 = = 1 5 = S.I.

17 Discussão de Sistemas Exemplo: (IME) Faça a discussão, segundo os valores reais de m, do sistema nas incógnitas x e y. 2x - y=3 mx+y= x - y=3 mx+y=- 3 S. P. D. 2+m 0 S. P. I. 2+m= 0 S. I. m R (2 + m)x + 0y = 0 m - 2 m= - 2

x e y. 2x - y=3 mx+y=- 3 + 2x - y=3 mx+y=- 3 S. P. D.

18 Discussão de Sistemas Exemplo: (UFRJ) Discuta, segundo os valores reais de a e b, sistema nas incógnitas x, y e z: -ax - y - z=-1 + x+y+z=b (-a +1)x+0y+0z=b -1 ax + y + z =1 (-1) 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b S. P. D. -a +1 0 a 1 S. P. I. -a +1= 0 a=1 b-1=0 b=1 S. I. -a +1= 0 a=1 b-1 0 b 1

+1)x+0y+0z=b -1 ax + y + z =1 (-1) 2x + 2ay + 2z = 2 x+y+z=b S. P. D.

19 Discussão de Sistemas Exemplo: Discuta, segundo os valores reais de a, o sistema nas incógnitas x e y: x+2y=5 2x - y = - 5 3x + y = a x+2y=5 2x - y = - 5 (2) x+2y=5 + 4x - 2y = x=- 5 x=-1 x + 2y=5 (-1) + 2y=5 2y=6 y=3 S. P. D. 3x + y=a 3(- 1) + 3=a a = 0 S. I. a 0 S. P. I. a R

2x - y = - 5 (2) x+2y=5 + 4x - 2y = - 10 5x=- 5 x=-1 x + 2y=5 (-1) +

20 Discussão de Sistemas Exemplo: (IME) Faça a discussão do sistema abaixo nas incógnitas x, y e z em função do parâmetro real m. 2x - y + mz = 1 8x - 4y + 4z = 7 2x - y + mz = 1 (-4) 8x - 4y + 4z = x + 4y + -4mz = -4 8x - 4y + 4z = 7 0x + 0y +(-4m + 4)z = 3 S. I. S. P. D. -4m + 4 = 0-4m m= 1 m 1 S. P. I. m R /

2x - y + mz = 1 8x - 4y + 4z = 7 2x - y + mz = 1 (-4) 8x - 4y + 4z = 7 + -8x +

21 (UDESC ) Considere o seguinte sistema linear em que a e b são constantes: x= SPD x+ by 2z = 0 3x + y + 2z = 0 2x + 4z = a x= x=! = 0 Analise as proposições acerca do sistema linear acima, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa. (x2) 2x + 2by 4z = 0 2x + 4z = a 2by = a a y = 2b ( F ) Se b 0, então o sistema admite infinitas soluções. ( V ) Se b = 0 e a 0, então o sistema não admite solução. ( V ) Se a = 0, então o sistema homogêneo admite solução. ( F ) Para quaisquer valores de a e b o sistema admite solução. SPI SI

22 (ACAFE ) O Sistema linear é indeterminado para: x+ 2y = 0 2x + z = 0 x + mz = 0 (-2) a) m = 0,5 b) m = 2 c) m = -1 d) m = 1 2mz + z = 0 ( 2m+ 1)z= 0 z 0 = 2m + 1 2m + 1 = 0 m= 0,5

23 (IFSC 2014) O Sistema linear é possível e determinado (SPD) para m = 2 e m = -2. 2x + my = 1 mx + 2y = 1 (m) (-2) 2mx + m²y = m 2mx 4y = 2 (m² 4)y = m 2 y = m 2 m² 4 FALSO P/ m = 2 P/ m = -2 0y = 0 0y = 4 SPI x=! 0 SPD x= 0 0 x= 0 = 0 SI SPI SI

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