A finalidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacionais.

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1 Prof. Janete Pereira Amador Introdução Os métodos utilizados para realização de inferências a respeito dos parâmetros pertencem a duas categorias. Pode-se estimar ou prever o valor do parâmetro, através da estimação de parâmetros ou pode-se tomar decisões relativas ao mesmo, através de um teste de hipótese paramétrico (teste de significância). O teste de significância ou teste de hipóteses paramétrico consiste em verificar se a diferença entre um valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmente atribuído a variabilidade amostral ou se a discrepância é demasiadamente grande para ser encarada assim. A finalidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacionais. Hipótese Estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação que pode ou não ser verdadeira sobre o valor de um parâmetro ou sobre a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Em estatística existem dois tipos de hipótese estatística. A Hipótese nula H é a hipótese conservadora sempre pode ser expressa por uma igualdade a zero. Por exemplo: H ou H. A Hipótese alternativa H é qualquer hipótese que diferi de uma dada hipótese nula é a Hipótese experimental. Por exemplo: H ou H ou H. A Hipótese nula H é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira). A Hipótese alternativa H é uma afirmação que oferece uma alternativa à alegação (Isto é, o parâmetro é maior ou menor que o valor alegado) As hipóteses H e H são mutuamente excludentes, aceitando-se uma hipótese como verdadeira, a outra, automaticamente, será rejeitada. Portanto deve-se tomar cuidado para não ser cometido erros com relação aceitação e rejeição de H e H. 3 Tipos de Erro Quando se realiza um teste de hipótese, pode-se cometer dois tipos de erro: Erro tipo I: consiste em rejeitar H quando ela é verdadeira. Pode ser limitado pela escolha do nível de significância que probabilidade de rejeitar H quando essa for verdadeira. Erro tipo II: Consiste em aceitar H, quando ela é falsa. O nível de significância do teste (probabilidade de rejeitar H quando essa for verdadeira) é fixada antes da extração das amostras. Os valores mais comuns para são:.,.5 e. ou %, 5% e %. Se por exemplo, ao delinear-se um teste, escolhe-se =.5 ou 5%, significa que em cerca de 5% rejeitar-se-ia erroneamente H. O coeficiente de confiança, indicado por ( - ), é a probabilidade de que a hipótese nula H não seja rejeitada quando de fato for verdadeira e não deve ser rejeitada. Em termos de metodologia do teste de hipóteses, esse coeficiente representa a probabilidade de

2 Prof. Janete Pereira Amador se concluir que o determinado valor do parâmetro que está sendo testado para hipótese nula seja plausível. 4 Teste de Hipóteses Unilateral e Bilaterais Dependendo da hipótese alternativa, os testes são classificados como unilaterais e bilaterais. 4. Teste de hipóteses bilateral Os testes bilaterais se usam sempre que há divergência crítica em ambas as direções, tal como ocorreria na fabricação de roupas, onde camisas muito grandes ou muito pequenas não correspondem à determinação do padrão. Outro exemplo é o caso em que peças devem ajustar-se uma a outra, como o parafuso e porca. Uma variação excessiva ocasionará seja um ajuste muito frouxo, de modo que as peças não permanecerão unidas, ou um ajuste excessivo impedindo a conjugação das peças. Assim por exemplo: H contra H é um teste bilateral, esquematicamente: Valor tabelado também chamado de valor crítico, separa a região de aceitação H (RA H ) da região de rejeição (RR H ). 4. Teste de hipóteses unilateral a direita O teste unilateral a direita é útil para testar se determinado padrão máximo não foi excedido Como exemplo seria: teor máximo de gordura permitida em determinado tipo de leite, radiação emitida por usinas nucleares, número de passas defeituosas de uma remessa de certa mercadoria, quantidade de poluição atmosférica emitida por uma determinada fabrica. Assim por exemplo: H contra, H ( é o valor suposto para o parâmetro) é um teste unilateral a direita, esquematicamente:

3 Prof. Janete Pereira Amador 3 4. Teste de hipóteses unilateral a esquerda O teste unilateral a esquerda é útil para verificar se determinado padrão mínimo foi atingido. Como exemplo seria: conteúdo mínimo de gordura no leite, peso líquido de pacotes de determinado produto, vida de um produto tal qual como especificado no certificado de garantia. Assim por exemplo: H : é um teste unilateral a esquerda, esquematicamente: 5 Procedimentos para Realização de um Teste de Hipóteses Para realizar um teste de hipótese sugere-se seguir as seguintes etapas: ) Formular as hipóteses; ) Identificara a estatística do teste; 3) Determinar o nível de significância; 4) Calcular a estatística utilizando os valores amostrais; 5) Comparar as estatística calculada com a estatística tabelada; 6) Concluir. 5. Teste de hipóteses para média O objetivo do teste de significância para médias é avaliar afirmações feitas a respeito de médias populacionais. Há basicamente três tipos de afirmação que se podem fazer a cerca das médias populacionais e cada tipo requer um tipo diferente de avaliação. Uma afirmação pode dizer respeito a média de uma única população; a avaliação envolve então um teste de uma amostra. Ou pode-se afirmar que a média de duas populações são iguais; tem-se então um teste de duas amostras. Finalmente pode-se afirmar que a as médias de mais de duas populações são iguais, o que envolve um teste de K amostras Análise de Variância Teste de significância de uma amostra para uma média amostral contra um valor paramétrico De acordo com o teorema do limite central, se obtemos amostras grandes (n > 3) (de qualquer população com qualquer distribuição), a distribuição das médias pode ser aproximada por uma distribuição normal. Sendo assim, distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal com media e desvio padrão n. Em um teste de hipóteses, o valor de corresponde a hipótese nula, e o valor do desvio padrão populacional deve ser conhecido. Se é desconhecido e as amostras são

4 Prof. Janete Pereira Amador 4 grandes ( n 3, podemos usar o desvio padrão amostral S em substituição σ, porque grandes amostras aleatórias tendem a representar a população com distribuição normal. Retira-se uma amostra de tamanho n e calcula-se X. X Calcula-se o valor da estatística Z c n Teste de significância para a diferença entre duas médias populacionais independentes Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são iguais. Para a realização do teste exige que as duas amostras sejam independentes, uma de cada população. Duas amostras são independentes se a amostra extraída de uma das populações não tem qualquer relação com a amostra extraída da outra. Esses testes são freqüentemente usados para comparar dois métodos de ensino, duas marcas, duas cidades, dois distritos escolares, e outros casos análogos. Ao testar as hipóteses para diferença entre duas médias supõe-se que: As duas amostras são independentes O tamanho das duas amostras são grandes n > 3 e n > 3 e/ou as variâncias são x x conhecidas utiliza-se a estatística Z c. n n Quanto às hipóteses temos que: A hipótese nula pode ser de que as duas populações tem médias iguais. H : Enquanto que as alternativas podem ser: H ; H e H note que: H : é equivalente a H : Ex: Exemplo: Suponhamos um teste de inteligência aplicado a 38 meninos e 97 meninas de 3 anos de idade, obtendo-se os seguintes resultados: x =38; (desvio padrão) x =36 = 3,5 Exercício : Examinaram duas classes constituídas de 4 e 5 alunos, respectivamente. Na primeira, a média foi 74 com desvio padrão 8. Enquanto que na Segunda a média foi 78 com desvio padrão 7. Há uma diferença significativa entre os aproveitamentos das duas classes no nível de significância de 5 %? Exercício : A altura média de 5 estudantes do sexo masculino que tiveram participação superior à média nas atividades atléticas colegiais era de 78,3 cm, com desvio padrão de 6,35 cm. Enquanto que os 5 que não mostraram nenhum interesse nessas atividades apresentaram a altura média de 75,45 cm, com desvio de 7, cm. Testar a hipótese dos estudantes do sexo masculino que participam de atividades atléticas serem mais altos que os demais. Adote alfa = %

5 Prof. Janete Pereira Amador 5 Exercício 3 : No estudo de efeito de doses diárias de vitamina C sobre os resfriados registrouse o número de resfriados contraídos por cada participante durante um certo período de tempo experimental, resultando no quadro abaixo: Pergunta-se: as doses diárias de vitamina C têm efeito sobre o no de resfriados contraídos? Adote alfa = 5 %. Teste de Hipótese para proporção Os testes para proporções são adequados quando os dados sob análise consistem em contagens ou freqüências de itens em duas ou mais classes. A finalidade de tais testes é avaliar afirmações sobre a proporção ou percentagem de uma população. Os testes se baseiam na premissa de que uma proporção amostral, isto é, x ocorrências em n observações, ou x/n, será igual a verdadeira proporção populacional. Os testes focalizam geralmente as diferenças entre um número esperado de ocorrências (supondo-se verdadeira uma afirmação) e o número efetivamente observado. A diferença é então comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral baseada na hipótese de que H é realmente verdadeira. Seja a proporção dos elementos de uma população que possuem uma determinada característica. Por exemplo, é igual a proporção ou percentagem dos habitantes, de uma determinada localidade, que possuem automóvel. Se quisermos testar a hipótese de que essa proporção é igual a determinado valor, contra a alternativa dessa proporção ser maior de que o valor especificado, lança-se as hipóteses: H : = Contra uma das hipóteses alternativas: H : > H H : Um bom estimador do parâmetro é a proporção amostral P, que para grandes amostras segue uma distribuição aproximadamente normal com média e a variância ( ) ou seja, P ~ N (, ) n. n Portanto pode-se usar a variável normal padronizada. Z P ~ ( ) N (,) sendo: n P = n x = número de sucessos tamanho da na amostra amostra proporção de sucesso a partir da hipótese nula Para proceder ao teste de hipóteses, como nos casos anteriores, o valor de Z c. calculado deve ser comparado com o de Z dado em função de, o nível de significância do teste.

6 Prof. Janete Pereira Amador 6 Exemplo O fabricante de uma droga medicinal afirma que ela é 9 % eficaz na cura de uma alergia, em um período de 8 horas. Em uma amostra de pessoas que tinham alergia a droga curou 6 pessoas. Determine se a afirmação do fabricante é verdadeira? Usar alfa = 5 %. Exemplo : A experiência tem demonstrado que 6 % dos estudantes são aprovados num exame de inglês para admissão a uma universidade. Se 6 dos estudantes de uma certa cidade fossem aprovados, pode-se concluir que estes estudantes são inferiores em inglês? Usar alfa = %. Exercício : A proporção de aprovação ao final do ano nas escolas da periferia de São Paulo é de 86 %. Dos alunos de uma escola localizada nessa região a proporção de aprovados foi de 9 %. Pode-se afirmar que os alunos dessa escola são melhores que os outros? Usar alfa = 5 %. Resposta: ao nível de 5 %, unicaudal, rejeita-se a hipótese. Os estudantes dessa escola são mesmo melhores que os demais. Exercício: Uma amostra de proprietários de carro de uma cidade mostrou que 48 deles tinham sido multados naquele ano. A média anual nacional é de 3 % dos motoristas são multados por ano. Pode-se afirmar que os motoristas dessa cidade são menos infratores que os demais? Usar alfa = 5 %. Resposta: ao nível de 5 %, unicaudal, rejeita-se a hipótese. Os motoristas dessa cidade são menos infratores que a maioria. Exercício 3: Se você lançar um dado 4 vezes e obtiver 5 seis, concluirá que o dado favorece o número seis? Usar alfa = 5 %. Resposta: ao nível de 5 %, unicaudal, rejeita-se a hipótese. O dado favorece o seis.

7 Prof. Janete Pereira Amador 7 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Teste da Média ) No exame de inglês TOEFL (Test of English as a Foreign Language) utilizado por alunos estrangeiros para ingressar nas faculdades americanas, verificou-se através dos anos anteriores que a média obtida foi de 45 pontos. Em, 36 brasileiros realizaram o teste e obtiveram uma média de 465 pontos com desvio padrão de 8 pontos. Pode-se concluir, no nível de significância de 5% que os brasileiros possuem um melhor desempenho nesse teste? Resposta: Sim ) Em uma pesquisa verificou-se que em média os estudantes universitários estudam em casa 8 horas por semana. Em uma faculdade, 36 alunos foram entrevistados e resultou em uma média de 7,5 horas de estudo semanal com um desvio padrão de horas. Pode-se dizer, com um nível de significância de 5%, que esses alunos estudam menos que os demais? Resposta: Não Teste de Proporção 3) Em 99, 5,8 % dos candidatos a emprego submetidos a um teste de drogas foram reprovados. Em, 58 dos 5 candidatos foram também reprovados no teste. Pode-se concluir que houve diminuição, aumento, ou ficou inalterado do uso de drogas? = 5% Resposta: Diminuição 4) Em, o IBGE observou que 9 % dos estudantes no Brasil que terminavam o segundo grau, ingressavam na faculdade. Em Lorena, 6 dos 5 secundaristas entrevistados se matricularam na faculdade. Pode-se concluir que Lorena está acima da média nacional em relação a porcentagem de estudantes ingressantes na faculdade? = 5% Resposta: Sim, está. Teste da diferença entre médias 5) ) Considere o quadro abaixo e responda: Pode-se concluir que as crianças nascidas em hospital particular são mais pesadas do que as crianças nascidas em hospital público? = % Resposta: Não

8 Prof. Janete Pereira Amador 8 6) Considere o quadro abaixo e responda: Pode-se concluir que os estudantes de escolas públicas tiram notas inferiores aos da escola particular num exame de vestibular? adote = 5% Resposta: Sim.