Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José

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1 Determinantes Matemática Prof. Mauricio José

2 Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada. Consideremos a matriz quadrada A, de ordem (n x n), abaixo: Seja: A = a 11 Então: deta = a 11 Matriz de ordem 2 A= det a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 1n a 2n a n1 a n2 a n3 a nn O determinante de A é indicado por: a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 1n a 2n a n1 a n2 a n3 a nn ou det A Seja: A = a 11 a 12 a 21 a 22 Uma matriz 2 x 2 qualquer. O determinante de A é a diferença entre a diagonal principal e a diagonal secundária. Exemplo A = deta = deta = = 9 Matriz de ordem 3 ou a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 1n a 2n a n1 a n2 a n3 a nn Note que ao usarmos duas barras verticais, estamos sempre nos referindo a um determinante! Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3 (ou superior), devemos recorrer a um algoritmo prático denominado Regra de Sarrus, que consiste em: 1. Repetir as duas primeiras colunas 2. Calcular o produto dos elementos de cada uma das diagonais para a direita. 3. Repetir a operação para as diagonais para a esquerda. 4. Subtrair o resultado da soma das parcelas do passo (3) do resultado da soma das parcelasdo passo (2).

3 Regra de Sarrus 1. Esquematicamente: deta = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11. a 22. a 33 = R 1 a 12. a 23. a 31 = R 2 a 13. a 21. a 32 = R 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 13. a 22. a 31 = R 4 a 11. a 23. a 32 = R 5 a 12. a 21. a 33 = R 6 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 deta = R 1 + R 2 + R 3 (R 4 + R 5 + R 6) A = deta = deta = ( 2) Exercícios deta = = (UEL) A solução positiva da equação 2 5 x 5 = x 1 4 x é um número: a) Ímpar b) primo c) não inteiro d) cubo perfeito e) quadrado perfeito 2. (UNIFOR) Considere as matrizes A = B = Então o determinante de A.B vale: a) 64 b) 8 c) 0 d) -8 e) -64

4 Determinante Nulo Determinante Nulo É possível notar que em certas situações, as matrizes possuem singularidades que facilitam o cálculo de seus respectivos determinantes. Um desses casos é a situação na qual o determinante é nulo. Chamamos uma coluna ou linha qualquer de uma matriz de fila. O determinante de uma matriz sempre será nulo nas seguintes situações: 1. A matriz possui uma fila nula. 2. A matriz possui duas filas paralelas iguais. 3. A matriz possui duas filas paralelas proprocionais. 4. Uma fila da matriz for combinação linear de outras duas filas paralelas. Vamos falar de cada caso separadamente: Fila Nula: É intuitivo que se uma fila for nula, todos as operações resultantes da Regra de Sarrus serão multiplicadas por zero! Portanto, o determinante será nulo. Filas Paralelas Iguais: Se duas filas paralelas forem iguais, a simetria decorrente das operações da Regra de Sarrus tornam o determinante nulo. Obs: Note que por filas paralelas iguais, nos referimos a duas colunas iguais OU duas linhas iguais. Fila Combinação Linear: Uma fila é dita combinação linear das outras filas paralelas, quando esta fila puder ser obtida pela soma ou subtração de múltiplos inteiros de outras filas. A = Se chamarmos de C1 a primeira coluna, C2 a segunda e assim por diante, podemos notar que: C3 = 2. C1 3. C2 Neste caso, dizemos que C3 é combinação linear de C1 e C2, e portanto deta = 0. Observação: Se o determinante de uma matriz for nulo, então pelo menos uma das quatro condições aqui expostas é satisfeita. Exercício 1. (FEI) Para que o determinante da matriz A = 1 + a a seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4 Filas Paralelas Proporcionais: Se duas filas paralelas forem proporcionais, assim como no caso anterior, a simetria das operações da Regra de Sarrus tornam nulo o determinante da matriz.

5 Propriedades Alterações no determinante - Multiplicando uma fila por α: Consideremos o determinante da matriz abaixo: = 4 Se multiplicarmos a segunda linha por α = 3, então: = = 12 Não é um mero acaso que o determinante também é multiplicado por α = 3. De fato, de modo geral: A = Aplicando a Regra de Sarrus encontramos: deta = = 2 Multiplicando a matriz por α = 2, obtemos: det 2A = α n. det A = = 2 3. det A = 8. 2 = 16 Resultado: O determinante é multiplicado por α. det 2A = 16 - Multiplicando a matriz por α: Multiplicar uma matriz por um valor α é o mesmo que multiplicar n filas por α (ver multiplicação de uma matriz por um escalar. Portanto, o determinante será multiplicado por α várias vezes, dependendo do número de filas da matriz. Como ao falar de determinantes estamos sempre nos referindo a matrizes quadradas, então o determinante é multiplicado por α n, em que n é a ordem da matriz quadrada. Resultado: O determinante é multiplicado por α n. - Trocando filas paralelas: = 4 Se trocarmos a 2ª e a 3ª linha de lugar, teremos: De modo geral: = 4 Resultado: O determinante troca de sinal.

6 Propriedades Exercício 1. (MACKENZIE) A é uma matriz quadrada de ordem 4 e deta = -6. O valor de x que satisfaz det(2a) = x 97 é: a) -12 b) 0 c) 1 d) 97/2 e) 194 Teorema de Jacobi O Teorema de Jacobi informa que, se a uma determina fila somarmos uma combinação linear das demais filas, então o determinante não se altera. a b c m n p x y z = a b c + 2a 3b m n p + 2m 3n x y z + 2x 3y Note que o determinante não é nulo, pois estamos somando uma combinação linear. O determinante é nulo se a fila já é combinação linear. Perceba: a b 2a 3b m n 2m 3n x y 2x 3y = 0 A terceira coluna é combinação linear das outras duas colunas. Já no caso abaixo: a b c + 2a 3b m n p + 2m 3n x y z + 2x 3y Note que a terceira coluna não é combinação linear das outras duas. Como os termos c, p e z não existem nas outras duas colunas, é impossível construir a terceira coluna como combinação linear das outras duas. Obs: O determinante também não se altera ao trocarmos ordenadamente linhas por colunas, ou seja: det A = det (A t ) Exercícios 1. O determinante é nulo: x x + a x + b y y + a y + b z z + a z + b a) Para quaisquer valores de x, y e z b) Somente se x = y = z = 0 c) Somente se x = y = z = a ou x = y = z = b d) Somente se a = b = 0 e) Somente se a = b = 1 e x y 2. QUESTÃO BOA (PUC) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A = m cujo determinante vale D, então o determinante da nova matriz vale: a) 2D b) 3D c) 4D d) 5D e) 6D

7 Teorema de Laplace Co-fator de um elemento Teorema de Laplace O co-fator é um complemento algébrico de um determinado elemento a ij em relação ao restante da matriz. Sendo A ij o co-fator do elemento a ij, então ele é tal que: A ij = ( 1) i+j. D ij Em que D ij é o determinante que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz. Vamos calcular o co-fator A 23 do elemento a 23 da matriz M abaixo: M = Eliminando a linha e a coluna do elemento a 23 = 3, temos: D 23 = = 3 Mas sabemos que o co-fator é dado por: A ij = ( 1) i+j. D ij = = 1. 3 = 3 De acordo com este teorema, o determinante de qualquer matriz é igual soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos co-fatores. Seja M a matriz 4x4 abaixo: M = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Se escolhermos a 2ª linha, então, pelo Teorema de Laplace: detm = a 21. A 21 + a 22. A 22 + a 23. A 23 + a 24. A 24 Se escolhermos a 3ª coluna, então, pelo Teorema de Laplace: detm = a 13. A 13 + a 23. A 23 + a 33. A 33 + a 43. A 43 A grande vantagem em se utilizar o Teorema de Laplace está em realizar operações que em envolvem determinantes de ordem n-1 para calcular determinantes de matrizes de ordem n, de modo que é um método recomendando para matrizes de ordem n>3. - Como usar o Teorema de Laplace - O cálculo de determinantes de ordem alta é ainda mais simplificado se escolhermos uma fila com o maior número de zeros possível. Por exemplo, se na matriz M anterior tivermos a 13 = a 23 = a 33 = 0, e escolhermos a 3ª coluna, pelo Teorema de Laplace: detm = a 13. A 13 + a 23. A 23 + a 33. A 33 + a 43. A 43 = 0. A A A 33 + a 43. A 43 detm = a 43. A 43

8 Teorema de Laplace - Como obter uma fila com zeros - Se não houver nenhuma fila que possua uma quantidade razoável de zeros, podemos obter uma, sem alterar o determinante, por meio da seguinte técnica: Na primeira coluna, podemos somar à linha 1 a seguinte combinação linear: L1 2. L2 Ainda na primeira coluna, podemos somar à linha 3 a seguinte combinação linear: 1. Encontrar um elemento a ij = Se não houver nenhum, podemo obtê-lo somando combinações lineares a uma fila, por meio do Teorema de Jacobi. 3. Usando o elemento a ij = 1, podemos multiplicar sua fila e subtraí-la das outra filas, para obter elementos iguais a zero. Obtendo: L L (1) 4 2. (3) 6 2. (17) (1) (3) (17) Vamos usar esta ténica para calcular o determinante: deta = Este determinante não possui nenhum elemento igual a 1. No entanto, é fácil notar que se somarmos a linha 3 à linha 2, teremos a 21 = 1. Logo: L2 + L3~ ( 2) = Agora que possuimos um elemento igual a 1, podemos utilizá-lo para zerar elementos da primeira coluna ou segunda linha. = Chegamos a uma situal excelente para aplicarmos o Teorema de Laplace na 1ª coluna! Portanto: Teorema de Laplace na 1ª coluna: deta = 0. A A A 31 = A 21 Mas: A 21 = ( 1) 2+1. Portanto: = 304 = deta = A 21 = 304

9 Regra de Chió Exercícios 1. Calcule o determinante da matriz M = aplicando o teorma de Laplace na 3ª coluna. 2. Sendo a, b e c números reais quaisquer, calcule o determinante de a b c 3. Calcule: n + 1 n + 2 n + 3 n + 2 n + 3 n + 4 n + 3 n + 4 n + 5 Regra de Chió A Regra de Chió é um dispositivo prático que serve para diminuir a ordem de uma matriz sem alterar seu determinante. Ele é consequência direta do Teorema de Laplace. Para utilizá-lo, a matriz deve ter um elemento a ij = 1. Se a matriz não possuir um, ele deve ser obtido usando o Teorema de Jacobi (ver tópico sobre Teorema de Laplace). A Regra de Chió consiste em: 1. Eliminar da matriz a linha e coluna que contém o elemento a ij = 1. 1 a b c x m n p y q r s z t u v 2. Subtrair dos elementos restantes, o produto correspondentes na linha e coluna eliminadas. 1 a b c x m ax n bx p cx y q ay r by s cy z t az u bz v cz 3. Calcular a matriz resultante e multiplicar o resultado por ( 1) i+j, em que i e j são a linha e coluna do elemento igual a 1 escolhido inicialmente. m ax n bx p cx q ay r by s cy t az u bz v cz Exercício ( 1) i+j 1. Calcule o seguinte determinante usando a Regra de Chió

10 Propriedades Complementares Teorema de Binet Soma de Determinantes Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Então: det A. B = det A. det (B) Determinante de Vandermonde Se um determinante for da forma a b c a 2 b 2 c 2 1 x x 2 a n 1 b n 1 c n 1 x n 1 Ele é chamado de Determinante de Vandermonde, e pode ser calculado por meio da seguinte identidade: det = b a. c a. c b. d c. d b. d a Note que na expressão acima, os termos que serão multiplicados, são todas as diferenças possíveis entre os elementos da segunda linha, exceto as subtrações dos elementos da segunda linha por elementos na mesma linhaque estejam à esquerda dele. Logo, não entram termos como (a b), (b d), etc. Vale a seguinte identidade: m x + a q n y + b r p z + c s = m x q n y r p z s Zeros em um lado da Diagonal Principal + m a q n b r p c s O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. k x y 0 0 m n p 0 a b c d Zeros em um lado da Diagonal Secundária = k. y. p. d O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal secundária, multiplicado por ( 1) n(n 1) 2 em que n é a ordem da matriz = ( 1) n(n 1) 2