Lista de Exercícios 03: Derivadas e Aplicações

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1 Universidade Federal de Campina Grande - UFCG Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA Disciplina: Cálculo Professor: Paulo Pamplona Lista de Eercícios 03: Derivadas e Aplicações Parte I: Derivadas. Derive as seguintes funções: a) f() = b) f() = c) f() = 2/3 + 5 / /3 d) f() = e) f() = f) f() = 4 ( ) 3 g) f() = ( 3 5)( 4 2) h) f() = i) f() = e 3 j) f() = 2 ln( + 2) k) f() = sen( 2 + 3) l) f() = ln(e ) m) f() = tan() n) f() = cot() o) f() = sec() p) f() = csc() q) f() = arc cos() r) f() = arc cot() s) f() = arc csc() t) f() = arc tan( 2 + 2) u) f() = e + 2 v) f() = e ln( 3 ) ) f() = ln(ln(ln())) y) f() = ln( + ln( + )) z) f() = Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = f() no ponto dado: a) f() = 3, no ponto (2, 8) c) f() = 5 ln(), no ponto (2, 5 ln(2)) b) f() = ( ) 2, no ponto (2, ) d) f() = 3sen() +, no ponto ( π 2, 4) 3. Encontre os números críticos das funções dadas abaio: a) f() = c) f() = ( 2 4) 2 3 b) f() = d) f() = Determine os etremos absolutos das funções em cada intervalo e esboce o gráfico das funções. a) f() = 4 3; ], 2] f) f() = ; [, 2] b) f() = ; [ 3, ] g) f() = 3 + ; [ 3, + [ c) f() = ; [ 4, 0] h) f() = 4 + ; ]0, 6[ d) f() = ; [ 2, 4] i) f() = 5 3 ; [ 3, 3] e) f() = 2/3 ; [ 4, 0] j) f() = + 2 ; [ 3, 4] 5. Em cada caso abaio, determine: a) os números críticos de f; b) os máimos e mínimos relativos de f; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f; d) os pontos de infleão e intervalos de concavidade para f; e) esboce o gráfico de f. a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = g) f() = h) f() = i) f() = 2 j) f() = 6 /3 2/3

2 2 6. Determine a e b para que (, 2) seja ponto de infleão para f() = a 3 + b Determine a e b de modo que f() = 3 + a 2 + b tenha um etremo relativo no ponto (2, 3). 8. Usando diferenciação implícita, determine a derivada de y em relação a. a) 2 3 y + 3y 3 = 5; b) 3 y y 2 y = 0 d) e y + ln(y) = Usando a regra de L Hospital, calcule os limites: a a) lim 3 a 3 a 3 e) lim e [ ln(/n) b) lim f) lim n n sen() ] c) lim d) lim 2 3 g) lim [ ln( + ) h) lim e cos() 2 + ] i) lim cos( 2 ) j) lim sen[ sen()] sen() k) lim [ sen( 2 + ) 2 sen( 2 ) l) lim e 3 cos( 2 ) Dada a função f() = + 2, esboce o gráfico de f e verifique que f é contínua em = 2 mas que não eiste f ( 2). { 2 +, se 4. Dada a função f() = esboce o gráfico de f, verifique se f é ou não 6, se > 4, contínua em = 4 e verifique se f é ou não diferenciável em = Seja g uma função contínua em a e f() = ( a)g(). Mostre que f (a) = g(a). 3. Sejam f, g, h funções diferenciáveis. Mostre que se F () = f()g()h(), então F () = f ()g()h() + f()g ()h() + f()g()h (). 4. Dadas as funções f() = 3 e g() = f( 2 ), encontre f ( 2 ) e g (). 5. Sejam f e g funções tais que f () = e f(g()) =. Se eiste g (), mostre que g () = g(). 6. Verifique se as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas para as funções dadas em cada intervalo abaio e encontre um valor para c que satisfaça a conclusão deste teorema. a) f() = ; [, 3] b) f() = ; [, 2]. 7. Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio são satisfeitas em cada caso abaio e encontre um valor para c que satisfaça a conclusão deste teorema. a) f() = ; [0, ] b) f() = 2 3 ; [0, ]. 8. Encontre c ]0, [ que verifique o teorema do valor médio para a função f() = 2 +. ]

3 3 Questões Etras 9. Seja f() = a + b, onde a e b são números reais. Sabendo-se que = é ponto de máimo 2 relativo para f e que f()f( ) = 3, determine a + b. 20. Seja f() = a b, onde a e b são números reais. Sabendo-se que = é ponto crítico de f e que = 2 é ponto de infleão de f, determine a + b. Resp.: Dada f() = ( + e) +, determine f (0). f() 22. Se f : R R é uma função tal que f(0) = 0 e lim 2 = 5, determine f (0). 23. Seja g : R R uma função derivável e f() = g( 3 2). Sabendo-se que g ( 4) = 3, determine f ( 2). Resp.: Seja g : R R uma função derivável tal que g( 3) = 2 e g ( 3) =. Se f : R R é uma função definida por f() = 2 g( ), determine f (). Resp.: 25. Dada f() = sen(), determine f (π). f() 26. Seja f uma função diferenciável tal que lim =. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, ). 27. Dada f() = ln(), determine f (e). 28. Dada f() = 3 e + 3 4, determine f (). Resp.: 3e Dada f() = sen 2 ( 2 ), determine f ( π 2 ). Resp.: π 30. Dada f() = 3, determine f (). Resp.: 3 3. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f() = ponto (, 6). Resp.: Seja f() = 3 + e e g a função inversa de f. Determine g ( + e). Resp.: +e 33. Seja f() = e g a função inversa de f. Determine g (). 34. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f() = ln[ 2 + sen(3) + ] no ponto (0, 0). Resp.: y = Determine o máimo absoluto da função f() = no intervalo [2, 3]. Resp.: Se y é função de dada implicitamente pela equação ln( + y) = e y, determine y (0). 37. Sejam f() = sen() e g() = tg(). Sabendo-se que f (a) = 4, determine g (a). no

4 4 Parte II: Problemas Envolvendo Derivadas OTIMIZAÇÃO 0) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um operário que começa trabalhar às 8 horas terá produzido, em média, Q(t) = t 3 + 9t 2 + 2t unidades t horas mais tarde. Supondo que o turno da manhã vá de 8 horas ao meio-dia, em que hora da manhã os operários são mais produtivos. 02) Uma projeção válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de um certo bairro será P (t) = t 3 + 9t t + 50 mil habitantes. Determine em que instante, dentro do período de 5 anos, a taa de crescimento da população será máima e em que instante será mínima? 03) O departamento de estradas de rodagem pretende construir uma área de piquinique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de metros quadrados, e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? 04) Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 05) Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 900 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, metros rio abaio. O custo para estender o cabo pelo rio é de 5 reais o metro e o custo para estender o cabo por terra é de 4 reais o metro. Qual o percurso mais econômico para estender o cabo. 06) Um homem está de pé na margem de um rio com km de largura e quer chegar a uma cidade situada na margem oposta, km rio acima. Para isso, pretende remar em linha reta até um ponto P na margem oposta do rio e caminhar até a cidade. Qual deve ser a localização do ponto P para que o percurso seja coberto no menor tempo possível, sabendo que o homem é capaz de remar a 4km/h e andar a 5km/h? 07) Duas cidades A e B devem receber suprimentos de água de um reservatório a ser localizado às margens de um rio em linha reta que está a 20km de A e a 0km de B. Se a distância entre A e B é de 20km e A e B estão do mesmo lado do rio, a que distância de A e de B deve estar localizado o reservatório para que se gaste o mínimo de tubulação. 08) Um agente da polícia se encontra ao meio-dia dirigindo um jipe na areia do deserto, no pequeno principado de Alta Loma. O agente se encontra a 32 km do ponto mais próimo de uma estrada pavimentada retilínea. A uma distância de 6 km, nesta mesma estrada, eiste uma usina de energia elétrica abandonada na qual um grupo de bandidos está mantendo refém o chefe do agente. Se o agente não chegar com o resgate até as 2h50min, os bandidos irão eecutar o refém. O jipe pode viajar a 48 km/h na areia do deserto e a 80km/h na estrada pavimentada. O agente conseguirá chegar a tempo?

5 5 09) Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km rio abaio. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou remar ATÉ um ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h E andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água é desprezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.) 0) Um espião é deiado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praia reta com direção Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6km ao Norte de P. Remando ele percorre 3km/h e andando 5km/h. Sua intenção é remar a um certo ponto ao Norte de P e depois andar o resto do caminho. Pergunta-se: a) A que distância ao Norte de P ele deve desembarcar para chegar à casa no menor tempo possível? b) Qual a duração da viagem? c) Se remar até P e de P até a casa, quanto tempo a mais ele gastará? d) Se a casa tiver a 8km de P, a resposta de a) será a mesma? e) Se o bote estiver munido de um motor que desenvolve uma velocidade de 5km/h, qual seria a distância ao Norte de P para se chegar no menor tempo possível? f) Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rápida? ) João mora na margem de um rio de km de largura, sem correnteza e com margens retilíneas e paralelas. Sua escola fica na outra margem, 2 km adiante, conforme a figura. Para chegar à escola, João deve tomar um barco que navega a 3 km/h em linha reta, da porta de sua casa até algum ponto na outra margem. O restante do caminho é percorrido a pé, a uma velocidade de 5 km/h. Qual o tempo mínimo necessário para João ir de casa à escola? 2) Uma caia fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000cm 3. O material da tampa da base custa 3 reais por cada centímetro quadrado e o material para o lado da caia custa,5 reais por cada centímetro quadrado. Determine as dimensões da caia de modo que o custo do material seja o menor possível. 3) Deseja-se fabricar uma caia d água sem tampa, de fundo quadrado, de maneira que o seu volume seja de 08 m 3. Determine o lado da base quadrada que minimiza a quantidade de material utilizado na confecção da caia. Resp.: 6m.

6 6 4) Uma lata cilíndrica deve conter um certo volume de líquido. O custo do material usado para o fundo e para a tampa da lata é de 3 centavos por centímetros quadrado e o custo do material usado para o lado da lata é de 2 centavos por centímetros quadrados. Obtenha uma relação simples entre o raio e a altura da lata de modo que o custo do material seja o menor possível. 5) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito num círculo de raio R. 6) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito na elípse de eios a e b. 7) Determine as dimensões que deve ter uma lata na forma de um cilindro reto de um litro de volume, de modo que o material usado na sua fabricação seja mínimo. 8) Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de base circular com raio r e altura h. TAXAS RELACIONADAS 9) O lados de um triângulo estão crescendo com velocidades 3m/s e 4m/s. Determine com que velocidade cresce a área do triângulo quando os lados medem 4 e 5 metros, respectivamente. 20) O volume de um cubo cresce a 0cm 3 /min. Determine com que velocidade cresce seus lados quando possuem 5cm de comprimento. 2) Um cateto de um triângulo retângulo cresce com velocidade igual ao dobro do outro. A que velocidade cresce a hipotenusa quando os catetos são iguais a b. 22) Uma escada de 5cm de comprimento se encontra apoiada numa parede e sobre um plano horizontal. Se o lado inferior da escada é arrastado com velocidade de 2m/s quando ela está a 4m de distância da parede, determine com que velocidade o outro etremo da escada está descendo. 23) Considere no eemplo anterior que a escada está apoiada sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30 graus com a horizontal. 24) O volume de uma região esférica cresce a uma taa de 3cm 3 /s. A que taa cresce o raio quando r =? 25) Dois corpos se movimentam em trajetórias paralelas com uma separação de 0 metros e em direções opostas. Se um corpo se movimenta a 0 m/s e o outro a 5m/s, encontre a velocidade com que estes corpos se acercam quando a distância horizontal entre eles é de 5m. 26) Dois carros estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. O primeiro vai dirigindo à taa de 72km/h na direção a Oeste-Leste e o outro vai dirigindo à taa de 54km/h na direção a Norte-Sul. A que taa os carros se aproimam um do outro no instante em que o primeiro estiver a 400 metros e o segundo a 300 metros do cruzamento? 27) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5 metros e raio da base igual a metro. O tanque se enche de água à uma taa de 2m 3 /min. com que velocidade o nível da água sobe quando ele está a 3 metros de profundidade? 28) (VELOCIDADE INSTANTÂNEA) Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação do movimento s(t) = 4t com t 0. Determine os valores de t para os quais a medida da velocidade instantânea é: a) v=0; b) v=; c) v=2. Respostas: a) t = 0; b) t = ; c) não eiste t R. 2

7 7 Respostas: Questão : a) 8 + 5; b) ; c) e) ; d) ; ; f) 3( ) ; g) ; h) ( 3 2) 2 ; i) ( + 3)e 3 ; j) 2 ln( + 2) ; k) 2 cos(2 + 3); l) 2 ; m) sec2 (); n) csc 2 (); o) sec() tan(); p) csc() cot(); q) ; r) ; s) 2 ; 2 t) ; u) 3e + 2 (2 ) 2 ; v) 3 4 ; ) ln() ln(ln()) ; y) ( + )( + ln( + )) ; z) 2 ( + )( + ; + ) Questão 2: a) RT: y = 2 6 RN: y = ; b) RT: y = 4 7 RN: y = ; c) RT: y = ln(2) 5 RN: y = ln(2) ; d) RT: y = 4 RN: = π 2. Questão 3: Questão 4: a) = 3 e = 5; b) = ± e = 3; c) = ±2 e = 0; d) nenhum. a) f(2) = 2 mín.; b) f( 3) = 46 mín. e f( ) = 0 má.; c) f( 2) = 0 mín. e f( 4) = 44 má.; d) f(3) = 58 mín. e f(4) = 48 má. e) f(0) = 0 mín. e f( 2) = 3 4 má. ; f) f( ) = mín. e f(2) = 2 má. ; g) f( 3) = 0 mín. ; h) f(4) = mín.; i) f( 3) = mín. e f(3) = 5 má.; j) f( ) = 3 mín. e f(2) = 3 má.; Questão 5: a) f( ) = 5 é má. rel.; f() = 3 é mín. rel.; (0, ), ponto de infleão; f cresce em (, ] e [, + ); f decresce em [, ]; côncavo para baio para < 0; côncavo para cima para > 0; b)f( 3) = 5 é má. rel.; f( 3 ) = 2 27 é mín. rel.; ( 5 3, 7 27 ) é ponto de infleão; f cresce em ], 3] e [ 3, + [; f decresce em [ 3, 3 ]; côncavo para baio para < 5 3 ; côncavo para cima para > 5 3 ; c)f() = 4 é min. rel.; f( 2) = 3 é má. rel.; ( /2, f( /2)) é ponto de infleão; f cresce em ], 2] e [, + [; f decresce em [ 2, ]; côncavo para baio para < 2 ; côncavo para cima para > 2 ; h) f( 3 ) = 2 3 min. rel. Questão 6: a = e b = 3. j) f(27) = 9 má. rel. Questão 7: a = 3 e b = 7. Questão 9: a) 3a 2 ; b) n ; c) 0; d) ln(2 3 ); e) 0; f) 0; g) ; h) ; i) 0; j) ; k) 0; l) 0. 2 Questão 4: a) f () = 3 4 e g () = 6 5. Questão 5: a) c = 2; b) c = 3 (2 + 7) ou c = 3 (2 7). Questão 6: a) c = 2 ; b) c = Questão 7: c = 2 ;