COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda Telefone: (24)

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1 COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda Telefone: (24)

2 SOLICITAÇÃO Não temos direito autoral reservado para o presente trabalho. Portanto em caso de utilização de qualquer parte desta apostila, o que solicitamos é a divulgação desta como fonte. Eng. o Abimailton Pratti da Silva MENSAGEM " O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos dos esforços feitos para alcança#lo." Patrícia Montine 2

3 INDICE GERAL 1.0 INTRODUÇÃO A ELETRÔNICA DIGITAL SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL TABELA DA POTÊNCIA DE DOIS CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO CONVERSÃO DE BINÁRIO FRACIONÁRIO PARA DECIMAL CONVERSÃO DE DECIMAL FRACIONÁRIO PARA BINÁRIO SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA DECIMAL CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA BINÁRIO CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O OCTAL CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O OCTAL SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA OCTAL CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA BINÁRIO CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA HEXADECIMAL CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA HEXADECIMAL OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NO SISTEMA BINÁRIO ADIÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO SUBTRAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO MULTIPLICAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO DIVISÃO NO SISTEMA BINÁRIO PORTAS LÓGICAS E FUNÇÕES LÓGICAS ÁLGEBRA DE BOOLE VARIÁVEIS LÓGICAS 14 3

4 3.3 LÓGICA POSITIVA E LÓGICA NEGATIVA PORTA E (AND) PORTA OU (OR) INVERSOR PORTA NÃO E (NAND ou NE) PORTA NÃO OU (NOU ou NOR) EXPRESSÕES, TABELAS VERDADES E INTERLIGAÇÕES ENTRE CIRCUITOS EXPRESSÕES BOOLEANAS GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOS CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS TABELAS VERDADES DE EXPRESSÕES BOOLEANAS OU CIRCUITOS TABELAS VERDADES DE UMA EXPRESSÃO TABELAS VERDADES OBTIDAS DE UM CIRCUITO OUTRAS UTILIZAÇÕES DA TABELA VERDADE EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND CIRCUITOS COMBINACIONAIS CIRCUITO OU EXCLUSIVO CIRCUITO OU EXCLUSIVO COMO BLOCO LÓGICO CIRCUITO COINCIDÊNCIA CIRCUITO COINCIDÊNCIA COMO BLOCO LÓGICO INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU EXCLUSIVO, CONCIDÊNCIA COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS E ÁLGEBRA BOOLEANA POSTULADOS 26 4

5 6.1.1 POSTULADOS DA COMPLEMENTAÇÃO POSTULADOS DA ADIÇÃO POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO PROPRIEDADES PROPRIEDADE COMUTATIVA NA ADIÇÃO PROPRIEDADE COMUTATIVA NA MULTIPLIÇÃO PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA ADIÇÃO PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA MULTIPLIÇÃO PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA TEOREMAS DE DE MORGAN PRIMEIRO TEOREMA DE DE MORGAN SEGUNDO TEOREMA DE DE MORGAN IDENTIDADES AUXILIARES SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANA SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES E CIRCUITOS PELO DIAGRAMA DE VEITCH-KARNAUGH DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA TRÊS VARIÁVEIS DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS CASOS CONSIDERADOS PARES NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS CASOS CONSIDERADOS QUADRAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS CASOS CONSIDERADOS OITAVAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA CINCO VARIÁVEIS CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA DUAS VARIÁVEIS 36 5

6 8.2 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA TRÊS VARIÁVEIS CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO P/ QUATRO VARIÁVEIS CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA CINCO VARIÁVEIS CÓDIGOS CÓDIGO BCD CÓDIGO EXCESSO CÓDIGO BCD DE QUATRO BITS CÓDIGO 2 ENTRE CÓDIGO GRAY CÓDIFICADORES E DECODIFICADORES DECODIFICADOR BCD 8421 PARA EXCESSO DECODIFICADOR EXCESSO 3 PARA BCD DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS 43 6

7 1.0 INTRODUÇÃO A ELETRÔNICA DIGITAL O homem através dos tempos sentiu a necessidade da utilização de sistemas de numeração, dentre os quais se destacam: o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado no dia a dia e é sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Os sistemas o binário, o octal e o hexadecimal são muito importantes na área de técnicas digitais, que ao decorrer desta apostila vamos perceber a ligação existente entre eles. 1.1 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas os algarismos 0(zero) e 1 (um). Para representarmos uma quantidade no sistema binário, devemos utilizar o mesmo princípio de formação usado no sistema decimal. DECIMAL BINÁRIO CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Utilizamos um número decimal como exemplo : X X X 1 = 479 centena dezena unidade 4 X X X 10 0 = 479 Vemos que cada algarismo possui um valor absoluto e outro relativo, que decorre de sua posição. Cada posição corresponde a uma potência de 10, que é o sistema decimal comumente usado. A base do sistema é o número 2 (dois). Tomemos como exemplo o número binário 101, e utilizando o conceito de formação de números: x X X 2 0 = 1 X X X 1 = 5 Logo o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Então 5 10 =

8 1.2.1 TABELA DA POTÊNCIA DE DOIS CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Tomemos o exemplo o número : = CONVERSÃO DE BINÁRIO FRACIONÁRIO PARA DECIMAL Tomemos como exemplo o número binário fracionário 101, x x x x x x 2-3 = 1 x x x x 0,5 + 0 x 0, x 0,125 = 5,625 8

9 1.2.4 CONVERSÃO DE DECIMAL FRACIONÁRIO PARA BINÁRIO Tomemos como exemplo o número 8,875 Primeiramente transformamos a parte inteira: Aplicando a regra para os números fracionários: 0,875 x 2 = 1,750 0,750 x 2 = 1,500 0,500 x 2 = 1, SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO O sistema octal de numeração é um sistema no qual existem 8 (oito) algarismos, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. DECIMAL OCTAL CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA DECIMAL Como exemplo vamos converter o número para decimal x x x 8 0 = CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA BINÁRIO Usemos como exemplo o número 34 8, vamos separa-lo a partir da direita indicando abaixo destes os seus valores em binário

10 1.2.8 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O OCTAL Utilizaremos como exemplo o número Para transformarmos esse número em octal, vamos separa-lo em grupo de três algarismos a partir da direita: Esta conversão irá resultar no número CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O OCTAL Existem 2 métodos para efetuarmos esta conversão. Primeiro: Segundo: = = = SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO É o sistema que possui 16 algarismos. DECIMAL HEXADECIMAL A B C D E F CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA OCTAL Usemos como exemplo o número 3F F 3 x x 16 0 =

11 1.3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA BINÁRIO Tomemos como exemplo o número C13 16 C C13 16 = CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA HEXADECIMAL Neste caso agrupamos o número binário de quatro em quatro algarismo, e usaremos como exemplo o número = CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA HEXADECIMAL Existem dois métodos para fazer esta conversão: Primeiro: Como = E = 3E8 16 Segundo: E = 3E

12 2.0 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NO SISTEMA BINÁRIO 2.1 ADIÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO Ao efetuarmos a adição no sistema binário, devemos observar que temos apenas dois algarismos. a) = 0 b) = 1 c) = 1 d) = = 11 Regra do transporte : = 0 e vai um para próxima coluna. vai um SUBTRAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO a) 0-0 = 0 b) 1-1 = 0 c) 1-0 = 1 d) 0-1 = 1 e empresta um _ empresta um 2.3 MULTIPLICAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO a) 0 x 0 = 0 b) 0 x 1 = 0 c) 1 x 0 = 0 d) 1 x 1 = X

13 2.4 DIVISÃO NO SISTEMA BINÁRIO Como a multiplicação, a divisão binária é mais simples. No exemplo, como divisor tem três dígitos, perguntamos se o divisor cabe nos três primeiros dígitos do dividendo. Verificando que isto não ocorre, usamos os quatro primeiros dígitos do dividendo. Não é necessário estimar qual o dígito do quociente. Como não é 0 deve ser 1. A continuação da divisão segue exatamente os passos da divisão decimal (r e s t o) 3.0 PORTAS LÓGICAS E FUNÇÕES LÓGICAS 3.1 ÁLGEBRA DE BOOLE Em eletrônica trabalhamos com grandezas que assumem apenas dois valore, isto é, grandezas binárias. A ferramenta matemática utilizada no tratamento deste tipo de grandeza, é a Álgebra Booleana, desenvolvida pelo matemático George Boole. 3.2 VARIÁVEIS LÓGICAS Variáveis lógicas são aquelas que somente assumem dois estados distintos: 0 (zero) ou 1(um). Devemos enfatizar que o 0 e 1 usados aqui, não são números, mas estados lógicos. Utilizaremos o circuito da figura 1 para conceituar variável lógica. 13

14 3.3 LÓGICA POSITIVA E LÓGICA NEGATIVA No circuito da figura 1, verificamos que a tensão pode ser igual a 5V ou a 0V, conforme a posição da chave. Podemos escolher qual dos valores de tensão chamaremos de 1 ou de 0, o que definira se a lógica é positiva ou negativa. 5 Volts estado lógico 1 } Lógica positiva 0 Volts estado lógico 0 } 5 Volts estado lógico 0 } Lógica negativa 0 Volts estado lógico 1 } 3.4 PORTA E (AND) A porta E é um circuito que executa a função E. A função E é aquela que a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias. S = A.B onde se lê S = A e B Tabela Verdade da função E: A B S Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta E de N entradas e somente uma saída. A B C S

15 3.5 PORTA OU (OR) A porta OU é um circuito que executa a função OU. A função Ou é aquela que assume valor 1, quando uma ou mais variáveis da entrada forem iguais a 1, e assume valor 0, somente se todas as variáveis de entrada forem iguais a 0. S = A + B onde se lê S = A ou B. Tabela Verdade da função OU: A B S Dá mesma forma que na porta E podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta OU de N entradas e somente uma saída. A B C S INVERSOR È o bloco lógico que executa a função NÃO. A função NÃO ou função COMPLEMENTO é aquela que inverte o estado lógico da variável, se estiver em 0 vai a 1 e se estiver em 1 vai a 0. S = A ou S = A onde se lê : A barra ou NÃO A 15

16 Tabela da verdade da função COMPLEMENTO A A PORTA NÃO E (NAND ou NE) Essa porta é a composição da porta E com o inversor, ou seja teremos a função E invertida. S = A. B, este traço indica que teremos a inversão do produto A.B Tabela Verdade da função NE ou NAND: A B S Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta NAND de N entradas e somente uma saída. A B C S

17 3.8 PORTA NÃO OU (NOU ou NOR) Essa porta é a composição da porta OU com o inversor, ou seja teremos a função OU invertida. S = A + B, este traço indica que teremos a inversão do produto A + B Tabela Verdade da função NOR ou NOU: A B S Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta NOR de N entradas e somente uma saída. A B C S EXPRESSÕES, TABELAS VERDADES E INTERLIGAÇÕES ENTRE CIRCUITOS 4.1 EXPRESSÕES BOOLEANAS GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOS Podemos escrever a expressão Booleana que é executada por qualquer circuito lógico. Exemplo 1 : 17

18 Exemplo 2 : Exemplo 3 : Exemplo 4 : 18

19 4.2 CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Podemos desenhar um circuito lógico que execute uma expressão qualquer. Exemplo 1: S = (A + B). C. (B + D) Iniciamos pelos parênteses, fazendo primeiro as somas dentro destes para depois fazermos as multiplicações. O circuito completo será: 19

20 4.3 TABELAS VERDADES DE EXPRESSÕES BOOLEANAS OU CIRCUITOS TABELAS VERDADES DE UMA EXPRESSÃO Utilizamos a tabela verdade para representar o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica. Exemplo 1: S = A + B + A.B.C Exemplo 2: A B C A C A.B.C S S = A. B. C + A. D + A. B. D A B C D A. B.C A.D A. B. D S

21 4.3.2 TABELAS VERDADES OBTIDAS DE UM CIRCUITO Podemos estudar o comportamento de um circuito através de uma tabela verdade. Exemplo 1: Exemplo 2: A B C A + B B. C B. C S OUTRAS UTILIZAÇÕES DA TABELA VERDADE Podemos utilizar a tabela verdade para provar sentenças, conforme no exemplo abaixo: 1. ( A. B ) ( A. B ) 2. ( A + B ) ( A + B ) 3. ( A. B ) = ( A + B ) 4. ( A + B ) = ( A. B ) A B A B A. B A + B A.B A. B A + B A + B

22 4.5 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND Analisando a tabela verdade de uma porta NAND, podemos observar que quando A = 0 e B = 0, a saída assume valor 1 e no caso A = 1 e B = 1 a saída assume valor zero. Logo interligamos os terminais de entrada teremos A = B e teremos construído um inversor a partir de uma porta NAND. A B S A A OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND Dá mesma forma que no caso anterior, se interligarmos A e B a porta NOR se tornará um inversor. A B S X X CIRCUITOS COMBINACIONAIS Os circuitos combinacionais são aqueles nos quais a saída depende apenas do estado presente das entradas: São constituídas fundamentalmente de portas lógicas. Podemos utilizar um circuito lógico combinacional para solucionar problemas em que necessitamos de uma resposta quando acontecerem determinadas situações, que são representadas pelas variáveis de entrada, mostrado esquematicamente abaixo: Situação Tabela Verdade Expressão Circuito Exemplo: Desejamos utilizar um amplificador para ligar 3 (três) aparelhos: Um CD, um Deck e um rádio. Deveremos elaborar um circuito lógico que nos permita ligar estes aparelhos nas seguintes prioridades: 22

23 Prioridade 1: CD Prioridade 2: Deck Prioridade 3: Rádio Para preenchermos a tabela verdade, deveremos analisar todas as oito situações possíveis. SITUAÇÕES A B C SA SB SC Escrevendo as expressões teremos: _ Para SC : A. B.C _ Para SB : A. B.C + A..B.C _ Para SA : A. B.C + A. B.C + A. B.C + A. B.C E desenhando os circuitos que executam as expressões acima teremos: 23

24 5.1 CIRCUITO OU EXCLUSIVO O circuito consiste em fornecer 1 à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si, conforme a tabela verdade. A B S Dessa tabela verdade podemos escrever a expressão: S = A. B + A. B Dessa expressão podemos esquematizar o circuito OU EXCLUSIVO: CIRCUITO OU EXCLUSIVO COMO BLOCO LÓGICO A anotação que representa a função é : S = A B = A. B + A. B onde se lê A OU EXCLUSIVO B. 24

25 5.2 CIRCUITO COINCIDÊNCIA O circuito consiste em fornecer 1 à saída quando houver uma coincidência nas variáveis de entrada, conforme a tabela verdade. A B S Dessa tabela verdade podemos escrever a expressão: S = A. B + A. B Dessa expressão podemos esquematizar o circuito COINCIDÊNCIA: CIRCUITO COINCIDÊNCIA COMO BLOCO LÓGICO A anotação que representa a função é : S = A B = A. B + A. B onde se lê A COINCIDÊNCIA B. 5.3 INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU EXCLUSIVO, CONCIDÊNCIA COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS S = (A B) C = A (B C) = (A C) B 25

26 S = (A B) C = A (B C) = (A C) B 6.0 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS E ÁLGEBRA BOOLEANA As variáveis Boolenas, que são representadas através de letras, só podem assumir dois valores 0 e 1. Expressão Booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são Booleanas. Seu resultado assumirá apenas dois valores: 0 e POSTULADOS POSTULADOS DA COMPLEMENTAÇÃO Chamaremos de A. o complemento de A. _ Se A = 0 A. = 1 _ Se A = 1 A. = 0 Podemos ainda usar outra notação : A. = A E através do postulado da complementação poderemos estabelecer a seguinte identidade: A = A POSTULADOS DA ADIÇÃO Esse postulado nos mostra as regras da adição na álgebra de Boole. a) = 0 b) = 1 c) = 1 d) = 1 26

27 Através desse postulado poderemos estabelecer as seguintes identidades: a) A + 0 = A b) A + 1 = 1 c) A + A = A d) A + A. = POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO Esse postulado nos mostra as regras da multiplicação na álgebra de Boole. a) 0. 0 = 0 b) 0. 1 = 0 c) 1. 0 = 0 d) 1. 1 = 1 Através desse postulado poderemos estabelecer as seguintes identidades: a) A. 0 = 0 b) A. 1 = A c) A. A = A d) A. A. = PROPRIEDADES PROPRIEDADE COMUTATIVA NA ADIÇÃO A + B = B + A PROPRIEDADE COMUTATIVA NA MULTIPLIÇÃO A. B = B. A PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA ADIÇÃO A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA MULTIPLIÇÃO A. (B. C) = (A. B). C = A. B. C PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA A + (B + C) = A.B +A.C 27

28 6.3 TEOREMAS DE DE MORGAN PRIMEIRO TEOREMA DE DE MORGAN O complemento do produto é igual à soma dos complementos. A. B = A + B Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: SEGUNDO TEOREMA DE DE MORGAN O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. A +.B = A. B Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: 6.4 IDENTIDADES AUXILIARES Exemplo 1: A + A.B = A A + A.B = A colocando A em evidência temos A(1 + B) =A Usando o postulado da soma: 1 + B = 1 A. 1 = A 28

29 Exemplo 2: A + A.B = A + B A + A.B = A + B A+ A B = A + A.B onde A = A [ A.(A.B )] aplicamos o 2º teorema de DE MORGAN [ A.( A + B )] aplicamos o 1º teorema de DE MORGAN [ A.A + (A.B )] pela propriedade distributiva A. A = 0 A. B = A + B aplicamos o 2º teorema de DE MORGAN A + B = A + B 6.5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANA Exemplo 1: S =A. B. C + A. C + A. B S =A. B. C + A.C + A. B = A.[B. C + (C + B ) ]= A.[B. C + Aplicando o teorema de DE MORGAN B. C ] Fazendo B.C = Y e B. C = Y S = A [ Y + Y ] como Y + Y = 1 logo S = A. 1 = A Exemplo 2: S = A. B.C + A.B.C + A. B.C S = A. B.C + A.B.C + A. B.C Evidenciando A.C teremos: S = A.C.( B + B) + A. B.C como ( B + B) = 1 S = A.C.(1) + A. B.C S = A.C + A. B.C Exemplo 3: S = A. B + A.B S = A. B + A.B S = A. ( B + B ) S = A. 1 = A 29

30 Exemplo 4: S = (A + B + C ). ( A + B + C ) S = (A + B + C ).( A + B + C ) S = A. A + A. B + A. C + B. A + B. B + B.C + C. A + C. B + C.C S = A. C + B.C + A.C + B.C + C + A. B + A.B S = C (A + B + A + B + 1 ) + A. B + A.B S = A. B + A.B + C 7.0 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES E CIRCUITOS PELO DIAGRAMA DE VEITCH-KARNAUGH 7.1 DAIGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS A A B B A A B B A A B B REGIÃO A =1 REGIÃO B =1 REGIÃO B =1 As possibilidades neste diagrama estarão distribuídas na forma abaixo : B B CASO 0 CASO 1 A A B A B A CASO 2 A B 1 0 CASO 3 AB 1 1 Exemplo: A tabela verdade abaixo mostra o estudo, da qual resulta a expressão dada. A B S S = A.B + A. B + A. B 30

31 Ao diagrama de KARNAUGH, aplicamos a expressão: B B A 0 1 A 1 1 B B A 0 1 A 1 1 PAR 1 P A R 2 Tentaremos agrupar as regiões onde S é igual ao menor número possível de pares. Identificamos o PAR 1 como região A e o PAR 2 como região B, uma vez que nenhum par ficou de fora, somamos e obtemos a expressão simplificada, S = A + B. Fazemos então um comparativo entre o circuito obtido da tabela verdade e o simplificado pelo diagrama de KARNAUGH. 7.2 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA TRÊS VARIÁVEIS B B B B B B A A A A A A C C C C C C C C C REGIÃO A = 1 REGIÃO C = 1 REGIÃO B = 1 31

32 As possibilidades neste diagrama estarão distribuídas na forma abaixo : CASO A B C A A CASO A B C B CASO A B C CASO A B C CASO A B C CASO A B C Exemplo: A tabela verdade abaixo mostra o estudo de uma função, da qual resulta a expressão dada. B CASO A BC CASO A B C C C C A B C S S = A B C + A BC + A B C + A B C + A B C Agrupando as regiões onde S é igual ao menor número possível de quadras e pares teremos: B B A A 1 1 C C C Após a simplificação a expressão será: S = A B + C 32

33 7.3 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS C C C C C C B B B A A A A B A A B B B B D D D D D D D D D REGIÃO A = 1 REGIÃO C = 1 REGIÃO B = 1 As possibilidades estarão distribuídas neste diagrama na forma abaixo: Caso A B C D A Caso ABC D Caso A ABC D Caso A B C D C Caso A B C D Caso ABC D Caso ABC D Caso A B C D Caso A B CD Caso ABCD Caso ABCD Caso A B CD C Caso A B C D Caso A.B.C D Caso A B C D Caso A B C D D D D B B B Exemplo: A tabela verdade mostra o estudo de uma função, da qual resulta a expressão dada. S = A B C D+ A B C D + A B C.D + A.BC.D+ A.B.C.D +A. B C D +A. B C.D +A. B C.D + A.B.C D +A.BC D + A.B.C.D C C B A 1 1 A B B D D D Tentaremos agrupar em regiões onde S é igual ao menor número possível de oitavas, quadras e pares. A expressão simplificada é : S= D + AC + A B C 33

34 A B C D S CASOS CONSIDERADOS PARES NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS C C 1 B B C D AB D A 1 1 A B 1 B D D D Os lados opostos se comunicam, ou seja podem além de formar pares, formarem quadras e oitavas CASOS CONSIDERADOS QUADRAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS S = B D C C 1 1 B A 1 1 A 1 1 B S1 = B D 1 1 B D D D S2 = B D A A C C 1 1 B B 1 1 B D D D 34

35 7.3.3 CASOS CONSIDERADOS OITAVAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS C C C C B B A 1 1 A A 1 1 B A B B B D D D D D D S = D S = B 7.4 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA CINCO VARIÁVEIS B B D D E E E C C C A A B B D D E D E C C C Indicamos acima, como exemplo a região B =1, denominada como hexa. Exemplo: A tabela verdade mostra uma saída que iremos simplificar. DEC A B C D E S DEC A B C D E S

36 D D 1 1 C B B 1 1 C C E E E A A D D C B 1 1 B C E D E C S = C D E + ABC + A B D E + A BC D + A BD E+ A B DE + ACD E 8.0 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO 8.1 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA DUAS VARIÁVEIS B B B B A 1 A 1 A 1 A 1 S = A B + A B S = AB + A B Verificamos que temos a expressão do circuito OU EXCLUSIVO, S = A B+A B = A B e do circuito COINCIDÊNCIA, S = AB + A B = A B = A B 8.2 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA TRÊS VARIÁVEIS Analisamos os casos dos circuitos OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA para 3 variáveis: S1 = A B C e S2 = A B C A B C S1 S

37 Notamos que S1 e S2 são iguais e não admitem simplificação : S1 B B S2 B B A 1 1 A 1 1 A 1 1 A 1 1 C C C C C C S1 = A B C = S2 = A B C 8.3 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA QUATRO VARIÁVEIS Na tabela fazemos a distribuição S1 = A B C D e S2 = A B C D e seguido e observamos que S1 é o complemento de S2. A B C D S1 S Efetuamos o mesmo procedimento, podemos mostrar que para quatro variáveis teremos: S1 C C 1 1 B A 1 1 A 1 1 B 1 1 B D D D S = B S2 C C 1 1 B A 1 1 A 1 1 B 1 1 B D D D S = B 37

38 S1 = A B C D = S2 = A B C D 8.4 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA CINCO VARIÁVEIS Efetuamos para cinco variáveis o mesmo procedimento dos casos anteriores e teremos: S = A B C D E = A B C D E. Observamos que para um número par de variáveis, temos a função OU EXCLUSIVO como sendo o complemento da função COINCIDÊNCIA e para um número impar, temos a igualdade das duas funções. 9.0 CÓDIGOS No campo da eletrônica digital temos vários códigos e existem condições em que a utilização de um código é vantajosa em relação a outro. 9.1 CÓDIGO BCD 8421 B.C.D significa Binary-Coded Decimal e os termos 8421 significam os valores dos algarismos em um dado número binário, que representam respectivamente : 2 3, 2 2, 2 1 e 2 0. DECIMAL A B C D

39 9.2 CÓDIGO EXCESSO 3 DECIMAL EXCESSO 3 A B C D CÓDIGO BCD DE QUATRO BITS DECIMAL BCD 7421 BCD 5211 BCD 2421 A B C D A B C D A B C D CÓDIGO 2 ENTRE 5 DECIMAL 2 ENTRE 5 A B C D E

40 9.5 CÓDIGO JOHNSON 9.6 CÓDIGO GRAY DECIMAL JOHNSON A B C D E Sua principal característica é que de um número a outro apenas um bit varia. DECIMAL GRAY A B C D CÓDIFICADORES E DECODIFICADORES Estudaremos um codificador e seu decodificador, lembrando que poderemos ter N situações. 40

41 9.7.1 DECODIFICADOR BCD 8421 PARA EXCESSO 3 Notamos que o código EXCESSO 3 é utilizado aqui para representar até o algarismo 9. As outras possibilidades do código BCD 8421 não irão ocorrer para representação de algarismo de 10 até 15 e aparecerão como condição irrelevante. BCD 8421 EXCESSO 3 T.A A B C D S3 S2 S1 S Para simplificarmos as expressões vamos utilizar o diagrama de Karnaugh. 41

42 9.7.2 DECODIFICADOR EXCESSO 3 PARA BCD 8421 Notamos que o código EXCESSO 3 os números: 1101, 1110, 1111, 0000, 0001 e 0010, não representam algarismos de 0 a 9, porém são possibilidades de que as quatro entradas podem assumir. Nesses casos podemos notar que a saída para essas possibilidades é irrelevante ( ), visto que, essas não constam no código. EXCESSO 3 BCD 8421 T.A A B C D S3 S2 S1 S

43 Para simplificarmos as expressões vamos utilizar o diagrama de Karnaugh. S3 C C B A A 1 B 1 B D D D S3= AB +ACD S2 C C B A 1 A B B D D D S2= B D +C D +B.C.D S1 C C B A 1 1 A B 1 1 B D D D S1= C D +C D S0 C C B A 1 1 A 1 B 1 1 B S0= D D D D DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS DEC. BCD 8421 CÓDIGO PARA 7 SEGMENTOS A B C D a b c d e f g

44 A figura abaixo representa um display de 7 segmentos, e nos possibilita escrever números decimais de 0 a 9 e alguns outros símbolos, que podem ser letras ou sinais. a C C B A A B 1 1 B D D D a = A + C + BD + B D b C C B A 1 1 A B 1 1 B D D D b = B + C D + CD c C C B A A B 1 1 B D D D c = C + B +D d C C B A 1 1 A B 1 1 B D D D d =A + B D + C B + C D + BC D e C C 1 1 B A 1 A B 1 B D D D e = B D + C D 44

45 f C C 1 B A A B 1 1 B D D D f =A + B D + C D + C B g C C 1 1 B A A B 1 1 B D D D g =A + B C+ C D + BC 45