SEGMENTOS PROPORCIONAIS

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Moisés Almeida Caminha
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1 1. (Ufrgs) Considere as áreas dos hexágonos regulares A e B inscritos, respectivamente, em círculos de raios 1 e 4. A razão entre a área do hexágono A e a área do hexágono B é a) b) 1. 8 c) 1. 4 d) 1. e) 1.. (Udesc) Observe a figura. Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC é igual a 105, então o segmento AC mede: a) 5 b) 10 c) 0 d) 10 e) 0. (Ita) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm; II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α =, 97 é (são) verdadeira(s) a) Apenas I. Página 1 de 1

2 b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III. 4. (Unesp) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a). b). c) 4. d) 1. e) (Pucrj) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB = 1 e AC = 0. BD é a bissetriz do ângulo ABC. ˆ Quanto mede AD? a) 4 5 b) 1 0 c) 0 1 d) 9 e) 8 6. (Uece) O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x = m, e o divide em dois segmentos cujas medidas são y e z e satisfazem a relação y =xz. A razão x/y (denominada de número de ouro ou razão áurea) é igual a a) 1 +. b) c) d). 7. (Pucrj) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC intercepta os lados AB e AC do triângulo em P e Q, respectivamente, onde AQ = 4, PB = 9 e AP = QC. Então o comprimento de AP é: a) 5. b) 6. c) 8. d). e) 1. Página de 1

3 8. (Fgv) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 0 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm. Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR AR é igual a a) 0,. b) 0,5. c) 0,4. d) 0,45. e) 0,5. 9. (Ufrrj) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 4 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença x - y é a). b) 4. c) 6. d) 10. e) (Ufrn) Phidias, um arquiteto grego que viveu no século quinto a.c., construiu o Parthenon com medidas que obedeceram à proporção áurea, o que significa dizer que EE'H'H é um quadrado e que os retângulos EFGH e E'FGH' são semelhantes, ou seja, o lado maior do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo assim como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor do segundo retângulo. Veja a figura abaixo. Página de 1

Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: a) x + x + 1 b) x + x - 1 c) x - x - 1 d) x - x + 1 11.

4 Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: a) x + x + 1 b) x + x - 1 c) x - x - 1 d) x - x (Ufsm) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede a) m b) 8 m c) 4 m d) 48 m e) 5 m 1. (Unesp) Considere retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por outras retas, conforme a figura. Página 4 de 1

5 Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente, a) 0 e 40. b) 6 e 11. c) 9 e 1. d) 11 e 6. e) 0 e (Uff) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. a) 4,5 km b) 19,5 km c) 0,0 km d),5 km e) 4,0 km 14. (Ufc) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A'B'C' que possuem o mesmo baricentro, tais que AB A'B', AC A'C' e BC B'C'. Se a medida dos lados de ABC é igual a cm e a distância entre os lados paralelos mede cm, então a medida das alturas de A'B'C' é igual a: Página 5 de 1

6 a) 11,5 cm b) 10,5 cm c) 9,5 cm d) 8,5 cm e) 7,5 cm 15. (Enem) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 0 cm, conforme a figura: Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: a) 144. b) 180. c) 10. d) 5. e) (Ufmg) Observe a figura. Página 6 de 1

7 Nessa figura, as retas r e s são paralelas. Em relação a essa figura, é INCORRETO afirmar que a) AE BE = DE CE b) as áreas dos triângulos ABD e DCA são iguais. c) as áreas dos triângulos BEA e DEC são iguais. 17. (Ufpi) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é: a) 10 9 b) 9 8 c) 7 6 d) 4 e) (Uel) O gráfico a seguir mostra a atividade de café, em milhões de toneladas, em certo município do estado do Paraná. De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em 1994, a produção de café nesse município foi, em milhões de toneladas, a) 9,5 b) 9 c) 10,5 Página 7 de 1

8 d) 11 e) 1,5 19. (Unirio) No desenho anterior apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 50 m e 00 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: a) 160 b) 180 c) 00 d) 0 e) (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é: a) b) 5 c) d) 5 e) 6 1. (Unirio) Página 8 de 1

9 Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede m.; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente. Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? a) 18 b) 0 c) d) 4 e) 6. (Unitau) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. Página 9 de 1

10 Gabarito: Resposta da questão 1: A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Portanto, a razão pedida é: 1 1 = 4 16 Resposta da questão : [D] Considere a figura, com BC = 10 u.c. Sejam BAC = α, BCA = β e CBA = θ. Como BC e DE são paralelos, tem-se que EDA = θ e DEA = β. Além disso, sendo BI e CI bissetrizes de CBA e BCA, respectivamente, segue que CBI = θ e BCI = β. Portanto, sabendo que BIC = 105, do triângulo BCI, vem BIC + CBI + BCI = 180 θ+ β = 75. Agora, do triângulo ADE, temos ADE + DEA + DAE = 180 ( θ+ β) + α = 180 α = 0. Finalmente, pela Lei dos Senos, aplicada ao triângulo ABC, vem AC = BC AC = 10 sencba senbac 1 AC = 10 u.c. Página 10 de 1

11 Resposta da questão : [I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 1 1 (ABC) = BC AP 48 = BC BC BC = 4 BC = 1cm. Logo, AP = 1 = 8cm. 48cm e que AP = BC, vem Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo APC, que AB = AC = 10cm. Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se 1 BM = (AB + BC ) AC 1 = ( ) 10 = 1 5 = 97 cm. [II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos AG = AP = 1 = 8cm. [III] Falsa. Sabendo que BM = 97 cm, vem obtemos BP 6 9 cos α = = =. BG Resposta da questão 4: 97 BG = BM = cm. Assim, do triângulo BGP, Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. Resposta da questão 5: Página 11 de 1

12 Admitindo AD = x. BC = BC = 9 Utilizando o teorema da bissetriz interna, temos: = x = x 0 x 5 Logo, 4 AD =. 5 Resposta da questão 6: [B] y = x.z y =.( y) y = 4 y y + y -4 = 0. Resolvendo temos: y =- 5-1 ou y = (não convém)) x y = = Resposta da questão 7: [B] Resposta da questão 8: [C] Resposta da questão 9: [C] Resposta da questão 10: [C] Resposta da questão 11: [B] Resposta da questão 1: [E] Página 1 de 1

13 Resposta da questão 1: [B] Resposta da questão 14: [B] Resposta da questão 15: [D] Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 degraus de 90 cm cada. Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada é cm =. Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 5 cm. Resposta da questão 16: Resposta da questão 17: [D] Resposta da questão 18: [D] Resposta da questão 19: Resposta da questão 0: Resposta da questão 1: [E] Resposta da questão : [D] Página 1 de 1

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PONTOS NOTAVEIS NO TRIANGULO 1. (Udesc) Observe a figura. Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC é igual a 105, então o segmento AC mede: a) 5 b) 10 c) 0 d) 10