10. Funções de várias Variáveis: Derivadas Parciais

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1 10.1. Derivadas Parciais 10.. Diferencial de Funções 10.. Derivação de Funções Compostas Derivação de Integrais em Ordem a um Parâmetro Derivação de Funções Implícitas Máimos e Mínimos de Funções Derivada Direcional e Gradiente Máimos e Mínimos com Restrições (Método dos multiplicadores de Lagrange)

2 10.1. Derivadas parciais Derivadas de uma função de duas variáveis b (const) α f(, ) (a, b) b f ( a + h, b) f ( a, b) (a, b) lim h h 0 f (a, b) tg α f ( a, b)

3 10.1. Definição de derivada parcial Derivadas de uma função de duas variáveis a (const) β f(, ) f ( a, b + h) (a, b) lim h h 0 f ( a, b) f ( a, b) (a, b) f (a, b) tgβ - Na derivação em ordem a uma variável, as restantes são consideradas constantes - Usam-se as mesmas regras de derivação já conhecidas e aplicáveis a funções reais de variável real

4 10.1. Definição de derivada parcial Derivadas de uma função de duas variáveis Eemplo Calcule f, g e h : f(,, ) g(,, ) arctg ( ) Resolução: h(,, ) ( cos ) ln i) [( ) 1 + ln ] ( 1 + ln ) g ii) iii) h ln ( cos ) sen cos ( cos ) tg ln Eemplo etra: Mostre que f (, ) + satisfa a equação diferencial:

5 10.1. Derivadas parciais Derivadas de ordem superior Em geral, as n primeiras derivadas parciais de uma função são ainda função das mesmas variáveis... Podem, pois, ser definidas as n derivadas de ª ordem: as n derivadas de cada uma daquelas n primeiras derivadas em ordem a cada variável... E ainda as n derivadas de ª ordem... etc Por eemplo: Para uma função de duas variáveis, eistem 8 derivadas de ordem, que são: f, f, f, f, f, f, f e f. Esta notação tem o seguinte significado: f (f ) f f lim h 0 (, + h) h f (, )

6 10.1. Derivadas parciais Derivadas de ordem superior Eemplo 10.. Se f(, ) e verifique que: Resolução: f f f O que é o mesmo que dier que: f f f... i) f f ( e ) ( e ) e e e ( ) + + ii) f f ( e) (e + e ) e + e + ( + ) e e iii) f f ( e + e) ( + ) e ( ) e + e + ( + ) e

7 10.1. Derivadas parciais Condição de igualdade de derivadas parciais mistas Designa-se derivada mista uma derivada (necessariamente de ordem superior a 1) em ordem a variáveis diferentes. Demonstra-se que: Teorema: f f Se e forem contínuas no ponto (a, b) e numa certa viinhança f f Ou seja, em geral, a ordem de derivação é arbitrária... Resultado que é etensível às derivadas mistas de funções de mais de duas variáveis... Designa-se esta de propriedade comutativa das derivadas parciais mistas

8 10.1. Derivadas Parciais 10.. Diferencial de Funções 10.. Derivação de Funções Compostas Derivação de Integrais em Ordem a um Parâmetro Derivação de Funções Implícitas Máimos e Mínimos de Funções Derivada Direcional e Gradiente Máimos e Mínimos com Restrições (Método dos multiplicadores de Lagrange) 10..0

9 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Diferencial e aproimação linear para funções de duas variáveis Recorde-se antes (para funções de 1 variável): Definindo o incremento, f f(a+ ) f(a) b df f '( a) f ε e o diferencial: df f'(a) A diferença será proporcional a : f df ε f() a a+ Ser diferenciável em a significa que: : A tangente a f em a não é vertical; : Eiste uma aproimação linear local; : f é contínua em a. e se f é diferenciável ter-se-á que: lim ε 0 0 Verifique-se, também, que o diferencial representa a variação de f (ou ) ao longo da reta tangente: Para pequenos: f f'(a) A reta ( b) f '( a)( a) df f' ( a)δ representa uma aproimação linear local de f (ou ) que é também a eq. da reta tangente a () no ponto (a, b)

10 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Diferencial e aproimação linear para funções de duas variáveis - Seja uma função f(, ) derivável em (a, b) isto é, eistem em (a, b) as duas derivadas parciais ( a, b) e ( a, b) - Sejam e incrementos arbitrários e f o incremento correspondente de f: f f(a +, b + ) f(a, b) (por definição!) - Define-se diferencial total da função f(, ) em (a, b) como sendo: df ( a, b)δ + ( a, b)δ -Por definição! -Representa a variação de f segundo o plano tangente; -É uma lineariação de f à volta de (a, b); -Daqui resulta a equação do plano tangente a f em (a, b). Pode estabelecer-se, então, a seguinte relação: f df + ε 1 + ε onde: lim ε 1 lim ε 0, (0, 0), (0, 0) lim ( f df ) 0, (0, 0) f(, ) di-se diferenciável em (a, b) Teorema: Se todas as derivadas de 1ª ordem eistirem e forem contínuas num ponto, então f é diferenciável nesse ponto. 10..

11 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Diferencial e aproimação linear para funções de duas variáveis Graficamente: ( a, b) f(a, b) f f(a+, b+ ) f(a,b) f(a, b) + df ; Δ 1 + df ( a,b)δ + ( a,b)δ A diferença entre f e df é proporcional a e a : f df ε Δ εδ ( a, b) f(a+, b+ ) f(, ) di-se diferenciável em (a,b) se: lim ε 1 lim ε 0, (0, 0), (0, 0) É uma lineariação de f à volta de (a,b) e pode ser usada para estimar f para pequenos valores de a e b: f (, ) f(a, b) + ( a,b)( a) + ( a,b)( b) (a, b) (a+, b+ ) 10..

12 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Equação do plano tangente a f(, ) em (a, b) (a +, b + ) plano tangente (a +, b + ) f(a, b) + df ( a, b ) onde df ( a,b)δ + ( a,b)δ f(a, b) ( a, b ) f(a+, b+ ) Portanto: (, ) (a, b) + ( a,b)( a) + ( a,b)( b) É a equação do plano tangente a f no ponto (a,b)... (a, b) (a+, b+ ) 10..4

13 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Equação do plano tangente a f(, ) em (a, b) Eemplo 10.. Determine o diferencial de 1 + e a equação do plano tangente a esta superfície no ponto (, ) (1, 1). Resolução: O diferencial: df A equação do plano tangente: d + d df d + d ( a,b) ( a,b)( a) + ( a,b)( b) ( 1) + ( 1) ( 11), (11),

14 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Equação do plano tangente a f(, ) em (a, b) Eemplo Use uma aproimação linear para calcular o valor aproimado f(.0, 5.95), para f (, ) + Resolução: f f f (, ) f (, ) Δf df Δ Δ f (.0,5.95) f (,6) Δf df 1 + (,6) (.0 ) (,6) (5.95 6) f (.0,5.95) (efetivamente, f(.0,5.95)

15 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Equação do plano tangente a f(, ) em (a, b) Eemplo 10.5 Determine os pontos em que o plano tangente a f(, ) + + é horiontal. Resolução: O plano tangente é horiontal se: / / O ponto do gráfico (único) é (1/, /, 5/4)... (1/, /, 5/4) 10..6

16 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Propagação de erros É um problema que consiste na avaliação do erro cometido quando, numa fórmula, se usam grandeas afetadas de algum tipo de erro (eperimental...). Para o efeito usa-se o conceito de diferencial. Se os erros ( 0 ) e ( 0 ) são pequenos: f df ( 0, 0)Δ + ( 0, )Δ Δ 0 onde: f f (, ) f ( 0, 0) é uma estimativa do erro absoluto cometido. Uma dificuldade surge por, na realidade, se desconhecerem os valores verdadeiros 0 e 0... Que se pode contornar usando os valores conhecidos, em ve de 0 e 0... Usa-se Δf ( 0, 0) Δ + ( 0, 0) Δ para estimar o erro máimo absoluto

17 10.. Diferencial de funções de duas ou mais variáveis Propagação de erros Eemplo O raio, r, e a altura, h, de um cilindro circular podem ser medidos com um erro não superior a 0.1 cm. Se estas grandeas forem de cm e 10cm, respetivamente, estime o erro máimo absoluto e o erro máimo relativo que pode afetar o volume calculado. Resolução: V π r h 40π Quanto ao erro absoluto: V dv V r Δr + V h Δh π r h Δr + π r Δh 40π π π cm É o erro absoluto. O erro relativo ΔV 4. 4π %. V 40π (ou ΔV 100 π r h π r 1 Δ Δ r + h 100 r + h 100 V V V r h 11% Forma adequada para avaliar o erro relativo da função a partir do erro relativo nas suas variáveis 10..8