CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções Elementares. Objetivos da Aula Denir a derivada de uma função; Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. 1 Função Derivada Quando uma função f é derivável em todos os pontos do seu domínio, D, dizemos que é derivável em D. Dito isso, considere uma função f : D R derivável em D. Podemos agora, denir uma nova função, que será denotada por f, chamada função derivada de f ou derivada da função f, essa nova função associa cada ponto x D à derivada da função f aplicada em x, ou seja, f : D R x f x) h 0 fx + h) fx) h Agora, quando falarmos em determinar a derivada de uma função f, estamos nos referindo a determinar a função derivada de f. Vendo de uma outra forma, estamos calculando a derivada para todo x no domínio de f. Exemplo 1. Considere a função fx) = c, com c uma constante. Mostre que f x) = 0, para todo x R. Pela denição de derivada, temos que f fx + h) fx) c c x) 0 = 0 Exemplo. Seja gx) = x 5. Mostre que g x) = 5x 4, para todo x R. Usando a denição de derivada, se p R, então g fx) fp) x) x p x p x p x 5 p 5 x p x p x p)x 4 + px 3 + p x + p 3 x + p 4 ) x p x 4 + px 3 + p x + p 3 x + p 4 = p 4 + pp 3 + p p + p 3 p + p 4 x p = 5p 4 Como p R, podemos substituir p por x, e obter que g x) = 5x 4. 1

2 1.1 Derivadas de Ordens Superiores Suponha f : D R derivável em D. Anteriormente denimos a função derivada de f e a mesma coisa pode ser feita para f : D R, ou seja, podemos denir a função segunda derivada de f, denotada por f, como sendo uma função de D em R que é a derivada da função derivada. De outra forma, f = f ) e pela notação de Leibniz, Vejamos um exemplo. Exemplo 3. Seja fx) = x 3 x. Encontre f x). f x) = d f dx x) = d ) df x) dx dx Por denição, a função f é a derivada da função f. Como f x) = 3x 1 verique!), então por denição, f x) h 0 f x + h) f x) h [3x + h) 1] [3x 1] 3x + 6xh + 3h 1 3x + 1 h 0 h6x + 3h) = 6x = 6x h 0 h Analogamente, podemos denir a terceira derivada de uma função fx) como sendo a derivada da função segunda derivada de fx). f x) = d3 f dx 3 = d dx h d ) f dx Generalizando, podemos denir a derivada de ordem n como sendo a derivada da função derivada de ordem n 1 de fx). Desse modo, f n) x) = dn f dx n = d dx Derivabilidade e Continuidade d n 1 ) f dx n 1, n = 1,, 3,... Derivabilidade e Continuidade são características desejáveis ao estudarmos uma determinada função. O seguinte teorema relaciona essas duas propriedades. Teorema 1. Se f é derivável em p R então f é contínua em p. Se quisermos saber quando uma função é derivável, o teorema não nos ajuda muito, pois supõe que a função já é derivável. Contudo, observando o enunciado do teorema, notamos que ele pode ser reescrito da seguinte forma: Se f NÃO for contínua então f NÃO é derivável. Essa versão do teorema acima é chamada contrapositiva da armação e é equivalente ao próprio teorema. Dessa forma, ainda não conseguimos dizer com precisão se uma função é derivável, porém podemos saber quando ela não é, basta mostrar que ela não é contínua. Por exemplo, considere a função { x se x < fx) = x + 1 se x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

3 queremos saber se essa função é derivável em p =. Para isso, vamos tentar vericar se ela não é. Utilizando o teorema anterior, temos de vericar a continuidade de f em p =. Se f não for contínua em p = então ela não é derivável em p =, do contrário não podemos usar o resultado dessa seção. Mas note que e x x fx) x + 1 =. + 1 = fx) x = = 0 x x Logo, o ite não existe. Dessa forma, a função f não é contínua em p = e, portanto, não é x derivável. Isso também pode ser visto através do gráco da função f. Figura 1: Exemplo de uma função descontínua em x = e portanto não derivável em x = Vejamos alguns exemplos. Exemplo 4. Considere as seguintes funções. Verique se elas são contínuas no ponto p = 1. Elas são deriváveis em p = 1? a) b) { x se x 1 gx) = se x > 1 { x se x 1 fx) = x 1 se x > 1 a) Vericaremos primeiramente se g é contínua em p = 1. Note que e que fx) = + + fx) x = 1 = 1 Como fx) fx) então fx) não existe. + p = 1. Pelo teorema anterior, f não é derivável em p = 1. Assim, a função g não é contínua em b) Vamos vericar primeiramente a continuidade da função f. Para isso, calculamos o seguinte ite: fx) x = 1 = 1 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3

4 e fx) x 1 =.1 1 = Logo, fx) = 1 = f1). Portanto, f é contínua em p = 1, o que não nos permite utilizar o resultado dessa seção. Sendo assim, vamos ter de calcular a derivada de f em p = 1. Dessa forma, note que fx) f1) x 1 se x < 1 = x 1 x 1 se x > 1 Logo, fx) f1) x 1 fx) f1) x 1 x 1 x 1 = x 1)x + 1) x 1 x + 1 = = Então ou seja, f é derivável em p = 1 e f 1) =. fx) f1) = x 1 Observação 1. A recíproca do teorema 1 não é verdadeira. Um exemplo é a função { x se x 1 hx) = 1 se x > 1 Deixamos a cargo do aluno vericar que essa função é contínua em 1, mas não é derivável em 1. Observando o gráco dessa função, Figura : Contra Exemplo do Teorema 1 Notamos que em x = 1 a função apresenta um bico. Esse fato é um critério para determinarmos geometricamente os pontos do domínio em que uma função não é derivável. Portanto, nos pontos do domínio onde o gráco da função possui bicos são pontos em que a função não é derivável. Um outro exemplo que será deixado como exercício é vericar que a função fx) = x é contínua em 0, mas não é derivável em 0. Exemplo 5. Dados o seguinte gráco, e os pontos considerados. Determine em que pontos a função não é diferenciável e justique. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 Figura 3: Exemplo Note que a função descrita no gráco acima não é diferenciável no ponto de abscissa x = 1, pois é descontínua; e também nos pontos de abscissas x = 1, 5 e x = 3 pois nos mesmos a função apresenta um bico. 3 Derivada de Funções Elementares Nessa seção abordaremos as primeiras regras de derivação que serão úteis para o nosso estudo de derivadas. Proposição 1. Seja r Q. A derivada da função potência fx) = x r é Vejamos alguns exemplos. df x) = rxr 1 dx Exemplo 6. Determine a derivada das seguintes funções: i) fx) = x 7 ; ii) gx) = 1 x 3 ; iii) hx) = 5 x; iv) px) = 7 x 3. Utilizaremos a proposição anterior. Desse modo, i) f x) = 7x 7 1 = 7x 6 ii) Utilizando as propriedades das potências g x) = ) 1 x 3 = x 3) = 3x 3 1 = 3 x 4 iii) Utilizando a propriedade dos expoentes racionais, obtemos que dh dx x) = 5 x ) ) = x = 5 x = 1 5 x = 5 ) = x 5 1 x 4 5 = x 4 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

6 iv) Fazendo como anteriormente, temos que dp dx x) = ) 7 ) x 3 = x = 7 x = 3 7 x = 7 ) = x 7 1 x 4 7 = x 4 A próxima proposição nos dá a derivada de mais duas funções úteis em nossos cálculos. Proposição. Se x R, então, Demonstração: Então sen x) = cos x e cos x) = sen x Basta utilizar a denição de função derivada. Seja fx) = sen x, e p R qualquer. f fx) fp) sen x sen p sen x p ) cos x+p ) x) x p x p x p x p x p x p sen x p ) cos x+p ) sen x p ) ) x + p x p x p x p x p cos = 1.cos x p = cos p ) p Como p R então, podemos escrever sen x) = cos x Analogamente, podemos mostrar a segunda igualdade. Proposição 3. Seja fx) = e x então f x) = e x. Demonstração: Note que f x) = e x+h e x = e x e h 1) = e x e h 1 Utilizando o Limite Fundamental Exponencial, obtemos que e h 1 = 1 Portanto, f x) = e x.1 = e x De forma análoga, podemos mostrar também que ln x) = 1 x 1) Apresentaremos a seguir, as regras de derivação para soma, subtração, multiplicação por um escalar, multiplicação e divisão de funções que são úteis para determinar a derivada das funções que são dadas por operações algébricas das funções ditas elementares. Resumo Faça um resumo das regras de derivação vistas nesta aula. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções.8 e 3.1 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções.8 e 3.1 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7