Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Limite e Continuidade

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1 Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Limite e Continuidade Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor Idemauro Antonio Rodrigues de Lara Piracicaba Janeiro 2016 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

2 Noção intuitiva de limite Considere a função f definida por: f (x) = Qual o domínio dessa função? Se x 1, então f (x) é dada por: (2x + 3)(x 1). x 1 f (x) = 2x + 3. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

3 Noção intuitiva de limite O que acontece com a função quando x se aproxima de 1, por valores menores do que 1? x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 f (x) 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

4 Noção intuitiva de limite Vejamos agora, o que acontece com a função quando x se aproxima de 1, por valores maiores do que 1. x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 f (x) 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

5 Noção intuitiva de limite Observe, 4, 8 < f (x) < 5, 2 sempre que 0, 9 < x < 1, 1 4, 98 < f (x) < 5, 02 sempre que 0, 99 < x < 1, 01 4, 998 < f (x) < 5, 002 sempre que 0, 999 < x < 1, 001 4, 9998 < f (x) < 5, 0002 sempre que 0, 9999 < x < 1, , < f (x) < 5, sempre que 0, < x < 1, Desse modo, 5 ɛ < f (x) < 5 + ɛ sempre que 1 δ < x < 1 + δ, ou ainda, f (x) 5 < ɛ sempre que 0 < x 1 < δ. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

6 Definição Definição 2.1 Limite de uma função. Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x se aproxima de a é L e escrevemos lim f (x) = L, x a se, para todo ɛ > 0, existe um δ > 0, tal que f (x) L < ɛ sempre que 0 < x a < δ. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

7 Definição Nos exemplos a seguir, provar os limites pela definição formal. Exemplo 2.1 lim (2x + 1) = 21 x 10 Exemplo 2.2 lim x 3 x2 = 9 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

8 Propriedades Teorema 2.1 Unicidade. Se lim x a f (x) = L 1 e lim x a f (x) = L 2 então L 1 = L 2. Definição 2.2 Propriedades dos limites. Considere lim f (x) = L 1, lim g(x) = L 2 e x a x a c R. P1. lim (mx + n) = ma + n, m, n R, m 0. x a P2. lim (c) = c; x a P3. lim cf (x) = c. lim f (x) = cl 1 ; x a x a P4. lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = L 1 ± L 2 ; x a x a x a Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

9 Propriedades P5. lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x) = L 1.L 2 ; x a x a x a [ ] f (x) P6. lim = lim x a f (x) x a g(x) lim x a g(x) = L 1 (L 2 0); L 2 P7. lim [f (x)] n = [ lim f (x)] n = [L 1 ] n ; x a x a P8. lim [log(f (x))] = log[ lim f (x)] = log[l 1 ] (L 1 > 0); x a x a P9. lim e f (x) = e lim f (x) x a = e L 1 ; x a P10. lim cos[f (x)] = cos[ lim f (x)] = cos[l 1 ]. x a x a Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

10 Propriedades Exemplo 2.3 Calcular os limites a seguir. (a) lim x 4 (x 2 5x + 6) (b) lim x 2 x 3 x 3 2 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

11 Definição Definição 2.3 Expressões de indeterminação. Na aritmética dos limites as seguintes expressões são consideradas indeterminações: Do ponto de vista da análise quando qualquer uma destas 7 expressões ocorre nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite da função. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

12 Definição Exemplo 2.4 Calcular os limites a seguir. x 2 (a) lim x 0 2x 2 x 2 49 (b) lim x 7 x x 2 (c) lim x 0 x Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

13 Limites laterais Definição 2.4 Limites Laterais. Seja f (x) uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Se quando x tende para a por valores maiores do que a, a função tende ao número L, então L é chamado de limite lateral à direita e denota-se: lim f (x) = L x a + se, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que f (x) L < ɛ, sempre que a < x < a + δ. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

14 Limites laterais De modo análogo pode-se definir o limite lateral à esquerda, basta agora considerar a função definida em um intervalo aberto (d, a). Assim, L será o limite lateral à esquerda de f (x) se quando x tender a a por valores menores, f (x) se aproximar do número L, ou seja, lim f (x) = L x a se, dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que f (x) L < ɛ, sempre que a δ < x < a. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

15 Limites laterais Teorema 2.2 Existência do limite. O limite de uma função quando x tende a a existe e é L somente se existirem os limites laterais e ambos forem iguais a L. Observação: As propriedades de limites vistas anteriormente permanecem inalteradas quando x a for substituído por x a ou x a + Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

16 Limites laterais Exemplo 2.5 Calcular os limites laterais a seguir. (a) lim + 5) x 2 +(2x2 (b) lim f (x), sendo y = f (x) dada pela lei: x 0 + { x f (x) : x se x 0; 1 se x = 0; Exemplo 2.6 Considere a função: { f (x) : x + 1 se x < 1; 2x + 4 se x 1; Existe limite de f (x) quando x tende a 1? Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

17 Limites no infinito Definição 2.5 Limites no infinito. Seja f uma função real definida no intervalo (a, + ). Dizemos que o número real L é o limite no infinito da função f e denota-se: lim f (x) = L x + se, dado ɛ > 0, existe A > 0 tal que f (x) L < ɛ, sempre que x > A. De modo análogo para uma função definida no intervalo (, a): lim f (x) = L x se, dado ɛ > 0, existe A < 0 tal que f (x) L < ɛ, sempre que x < A. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

18 Limites no infinito Teorema 2.3 Seja n N, então: 1 (i) lim x + x n = 0 1 (ii) lim x x n = 0 Exemplo 2.7 Calcular os limites a seguir. (a) (b) (c) lim x + lim x lim x 3 2x 2 3x 2 2x + 1 5x 2 + x 4 8x 3x Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

19 Limites infinitos Definição 2.6 Limites infinitos. Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a. Diz-se que o limite: lim f (x) = + x a é um limite infinito se, dado A > 0 existe δ > 0 tal que f (x) > A sempre que 0 < x a < δ. De modo análogo para: lim f (x) = x a é um limite infinito se, dado A < 0 existe δ > 0 tal que f (x) < A sempre que 0 < x a < δ. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

20 Limites infinitos Teorema 2.4 Seja n N, então: 1 (i) lim x 0 + x n = + (ii) 1 lim = (n ímpar) e x 0 xn lim x 0 1 = + (n par) xn Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

21 Limites infinitos Teorema 2.5 Sejam lim x a f (x) = c (c 0) e lim x a g(x) = 0, então: f (x) (i) lim = + se c > 0 e g(x) 0 por valores positivos; x a g(x) f (x) (ii) lim = se c < 0 e g(x) 0 por valores positivos; x a g(x) f (x) (iii) lim = se c > 0 e g(x) 0 por valores negativos; x a g(x) f (x) (iv) lim = + se c < 0 e g(x) 0 por valores negativos. x a g(x) Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

22 Limites infinitos Exemplo 2.8 Calcular os limites a seguir. (a) (b) x 2 + 3x + 1 lim x 2 + x 2 + x 6 5x + 2 lim x 1 x + 1 Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

23 Assíntiotas Definição 2.7 Assíntotas horizontais e verticais do gráfico de uma função. A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f (x) se ao menos uma das condições a seguir for satisfeita: (i) lim f (x) = b x + (ii) lim f (x) = b x Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

24 Assíntiotas Figura: Exemplo de gráfico de uma função com assíntota horizontal Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

25 Assíntiotas A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função y = f (x) se ao menos uma das condições a seguir for satisfeita: (i) (ii) (iii) (iv) lim f (x) = + x a + lim f (x) = + x a lim f (x) = x a + lim f (x) = x a Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

26 Assíntiotas Figura: Exemplo de gráfico de uma função com assíntota vertical Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

27 Assíntiotas Exemplo 2.9 Encontrar, caso existam, as assíntotas horizontais do gráfico da função: x y =. Esboce o gráfico da função. x Exemplo 2.10 Verificar se o gráfico da função: y = x 2 x 2 4 gráfico da função. possui assíntotas. Esboce o Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

28 Limites fundamentais Limites fundamentais Teorema 2.6 Limite trigonométrico fundamental. Exemplo 2.11 Calcular os limites: sen(2x) (a) lim x 0 x tag(x) (b) lim x 0 x sen(x) lim = 1 x 0 x Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

29 Limites fundamentais Limites fundamentais Teorema 2.7 Limite exponencial fundamental. ou Exemplo 2.12 Calcular os limites: ( (a) lim x + x (b) lim x 0 (1 + 2x) 1 x ) 3x lim x ± ( x ) x = e lim u 0 (1 + u) 1 u Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32 = e

30 Limites fundamentais Continuidade Definição 2.8 Diz-se que uma função f é contínua no ponto x = a se e somente se: (i) Existe f (a); (ii) Existe lim f (x); x a (iii) lim f (x) = f (a). x a Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

31 Limites fundamentais Continuidade Exemplo 2.13 Verificar se a função: y = x 2 x 2 4 Exemplo 2.14 Verificar se a função: { f (x) : é contínua no ponto x = 1. é contínua no ponto x = 2 x + 1 se x < 1; 2x + 4 se x 1. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32

32 Limites fundamentais Continuidade Observações (i) Quando uma função y = f (x) é contínua em todos os pontos de um intervalo (a, b) então ela é absolutamente contínua em (a, b); (ii) Em geral, as funções racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios; (iii) Se f e g são funções contínuas em x = a então as funções f ± g, f.g, f /g também serão contínuas em x = a. Renata Alcarde Sermarini Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de / 32