Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B3 31 de outubro de Prof. Armando Caputi

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1 Funções de Uma Variável - 1 a Avaliação - Turma B 1 de outubro de Prof. Armando Caputi 1 Determine o domínio da função g(x) = arctan ( ln(x x + ) ) (justifique) e a equação da reta tangente ao seu gráfico x =. Solução: Domínio. Devemos ter x x + > 0 e ln(x x + ) Dom(arctan). Como Dom(arctan) = R, a última condição é claramente satisfeita. Para analisar a primeira, observemos que o discriminante de x x + é = 9 1 < 0. Como o coeficiente do termo quadrático é positivo (corresponde a uma parábola "para cima"), resulta x x + > 0 para todo x. Logo Dom g = R Reta tangente. Para determinar a equação da reta, precisamos de um ponto e do coeficiente angular da reta. Ponto. Quando x =, g(x) = arctan (ln(4 6 + )) = arctan 0 = 0. Logo, um ponto da reta é (, 0). Coeficiente angular. Este é dado pela derivada de g (x) no ponto x =. Usando a Regra da Cadeia para efetuar esse cálculo: t = x x + ( = [ln(x x + )] Assim, para x =, resulta g (x) = dy dx = dy du ) ( g (1) = u = ln t y = arctan u du dt dt dx = 1 x x + ( u ) (x ) = ) ( ) 1 (x ) = t 4 (1 + [ln(4 6 + )] )(4 6 + ) = 1 x (1 + [ln(x x + )] )(x x + ) Juntando os resultados, temos que a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) em x = é dada por y = x

2 Seja dada a função f(x) = 4(x + ) (x + 1) Esboce o gráfico de f(x), considerando: domínio da função, interceptos, simetrias, assíntotas, monotonicidade, extremos locais e globais e seus valores, concavidade, pontos de inflexão e os valores de f(x) e f (x) em tais pontos. ATENÇÃO: o gráfico deve ser compatível com os dados obtidos na análise prévia. Solução: Domínio. Para que a função f(x) esteja definida, é necessário que x + 1 0, isto é, x 1. Assim, Interceptos. Com o eixo y: f(0) = 8 = 5. Dom f = R\{ 1} Com o eixo x: f(x) = 0 se e somente se 4(x + ) (x + 1) = 0, isto é, x x + 5 = 0, o que equivale a x + x 5 = 0. As raízes são x 1 = 1 e x = 5 Logo, os interceptos são: (0, 5), ( 5, 0), (1, 0) Simetrias. Não há. Assíntotas. Verticais. Como 1 / Dom f, a reta x = 1 é uma candidata a assíntota vertical. Calculando os ites laterais (ambos, simultaneamente): Tendo em mente que ( ) ( 4(x + ) x 1 ± (x + 1) = 4(x + ) x 1 ± (x + 1) ) x + = 1 e x 1 ± x 1 ±(x + 1) = 0 + resulta ( ) 4(x + ) x 1 ± (x + 1) = + Assim, a reta x = 1 é uma assíntota vertical. Horizontais ou Oblíquas. Calculando os ites no infinito (ambos, simultaneamente): ( ) ( 4(x + ) x ± (x + 1) = x ± ) 4(x + ) (x + 1) Observando que o ite na última expressão é uma indeterminação do tipo [ ], podemos usar a Regra de L Hopital para calculá-lo. Obtemos: Logo, 4(x + ) x ± (x + 1) = 4 x ± (x + 1) = 0 f(x) = x ±

3 e a reta y = é uma assíntota horizontal, de ambos os lados. Monotonicidade e extremos ( (x + 1) f ) (x + 1)(x + ) (x) = 4 (x + 1) 4 = Estudo de sinal e monotonicidade: Temos então que a função f(x) é: decrescente, se x ; crescente, se x < 1; decrescente, se x > 1 4 (x + ) ((x + 1) (x + )) = 4 (x + 1) (x + 1) x < x < 1 1 < x (x + 1) + (x + ) + f (x) + Pontos críticos e extremos: Pelos dados acima, o único ponto crítico é x =. Como f(x) "chega" decrescendo em x = e "sai" crescendo, x = é um ponto de mínimo local (a ver ainda se é global). O valor mínimo local é f( ) = 4. Como a função tende a para x e 4 <, o ponto x = é, na verdade, um ponto de mínimo global. E pelo que vimos ao estudar as assíntotas verticais, a função não possui máximo global. Concavidade e pontos de inflexão: ( (x + 1) f (x + 1) ) (x + ) 4 8 (x + 4) (x) = 4 (x + 1) 6 = (x + 1 x 9) = (x + 1) 4 (x + 1) 4 Estudo de sinal e concavidade: Observando que o sinal de f (x) é o mesmo sinal de x + 4 (e que 1 / Dom f), temos que f(x) tem concavidade: para baixo, se x < 4 para cima, se 4 < x < 1 para cima, se x > 1 Pontos de inflexão e valores de f(x) e f (x) em tais pontos: O único possível ponto de inflexão é x = 4. Observando que a concavidade muda em x = 4, este é um ponto de inflexão. Além disso, temos: f( 4) = 5 9 f ( 4) = 4 7

4 Gráfico Detalhe da parte central do gráfico de f(x) 4

5 A elipse abaixo tem equação 4x + y = 4. a) Dado um ponto (a, b) da elipse, situado no primeiro quadrante (mas não nos eixos), a reta tangente à elipse pelo ponto (a, b) forma com os eixos x e y um triângulo. Escreva a expressão da área de tal triângulo em função de a e b. [Se quiser - é opcional - tente antes achar a área do triângulo no caso em que (a, b) = (, 1) e depois vá ao caso geral.] b) Com base no item anterior, considere a função área A(x) do triângulo determinado pela reta tangente à elipse num ponto (x, y) e pelos eixos coordenados, e determine os pontos críticos da função A(x) para x (0, 1). c) Tomando a função A(x) para x 1 e y 1, determine seu máximo e mínimo globais nesse arco da elipse. Solução: Item (a) Para determinar a área do triângulo, devemos achar as medidas dos catetos (que estão nos eixos), pois estes fornecem a base e a altura do triângulo. Para isso, devemos achar as intersecções da reta tangente com os eixos coordenados. Equação da reta tangente: Para determinar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto (o ponto dado (a, b) ) e do seu coeficiente angular. Considerando que a equação 4x + y = 4 define implicitamente y em função de x, o coeficiente da reta tangente é dado por y, calculado em x = a. Assim, derivando implicitamente a equação da elipse em relação a x, obtemos: 8x + yy = 0 4x + yy = 0 Quando x = a, tem-se y = b, logo 4a + by = 0 y = 4a b Assim, a equação da reta tangente à elipse no ponto (a, b) é y b = 4a b (x a) Intersecções da reta tangente com os eixos: 5

6 Para x = 0, temos y b = 4a b ( a) y = b + 4a b y = 4a + b b Tendo em mente que o ponto (a, b) pertence à elipse, suas coordenadas devem satisfazer a equação desta última, ou seja, 4a + b = 4. Assim, y = 4a + b b e a reta tangente encontra o eixo y no ponto (0, 4 b ). = 4 b Para y = 0, temos b = 4a b (x a) b 4a = x a x = a + b 4a x = 4a + b 4a = 4 4a = 1 a Assim, a reta tangente encontra o eixo x no ponto ( 1 a, 0). Área do triângulo: os catetos formam a base e a altura do triângulo, logo Item (b) Expressão da função A(x): A = 1 1 a 4 b = ab Pelos cálculos do item anterior, podemos afirmar que a função área é dada por em que y é visto aqui como função de x. Pontos críticos de A(x) em (0, 1): A(x) = xy Os pontos críticos de A(x) são aqueles em que A (x) = 0 ou A (x). Derivando (implicitamente), temos A (x) = (xy) x y = (y + xy ) x y Primeiro, observamos que A (x) existe para todo x (0, 1). Logo, os pontos críticos de A(x) são aqueles em que A (x) = 0, isto é y + xy = 0 y = y x 6

7 Lembremos, pelos cálculos feitos no item (a), que em cada ponto do primeiro quadrante, temos Portanto, devemos ter y = 4x y y x = 4x y y = 4x Substituindo y por 4x na equação da elipse, resulta 4x + 4x = 4 x = 1 x = (lembre que x > 0) Portanto, A(x) possui um único ponto crítico em (0, 1): x =. Item (c) Antes de mais nada, como estamos estudando a função área A(x) como função da variável x, vamos identificar para qual intervalo dessa variável temos as condições dadas no enunciado, a saber, x 1/ e y 1. Um dos extremos do intervalo já está dado, pois x 1/. Para identificar o outro, observemos que quando y = 1 o valor correspondente de x (no primeiro quadrante) é obtido por: 4x + y = 4 4x + 1 = 4 4x = x = Observando a elipse (ou mesmo a equação dela), fica claro que para termos y 1, devemos ter x /. Logo, devemos estudar a função A(x) no intervalo [ 1, ]. A função A(x) é contínua (note que y é uma função contínua de x, pois é derivável), logo admite máximo e mínimo absoluto no intervalo considerado. Tais extremos absolutos podem ser atingidos nas extremidades do intervalo ou em pontos críticos no interior do intervalo. O ponto crítico que achamos, x =, está em ( 1, ). Devemos então comparar os valores A( 1 ), A( ), A( ). Antes, observe que a partir da equação 4x + y = 4, temos: x = 1 y = y = x = x = y = y = y = 1 y = 1 7

8 Assim, A( 1 ) = 4 A( ) = Como 4 >, temos que: A( ) = 4 O máximo global ocorre em x = 1 e em x =, e o valor máximo é 4. O mínimo global ocorre em x = e o valor mínimo é. 8