Distribuições Bernoulli e Binomial

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1 Distribuições Bernoulli e Binomial Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha [email protected] 04 de junho de 2018 Londrina 1 / 12

2 Distribuição Bernoulli Nos experimentos de Bernoulli, o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: sucesso (resultado de interesse) ou fracasso (resultado pelo qual não estamos interessados). 2 / 12

3 Distribuição Bernoulli Nos experimentos de Bernoulli, o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: sucesso (resultado de interesse) ou fracasso (resultado pelo qual não estamos interessados). Exemplo 1 Lançar uma moeda. Pode sair cara ou coroa. Um vendedor visitar um cliente. Pode vender ou não; Sortear um aluno da sala. Pode ser homem ou mulher; Sortear uma peça em um lote para inspeção. Pode ser defeituosa ou não. 2 / 12

4 SejaY a variável aleatória número de sucessos e p a probabilidade de ocorrer sucesso. Assim, a distribuição de probabilidade de Y que tem distribuição de Bernoulli, com parâmetro p, é dada por: Resultados possíveis Y = y P(Y = y) Fracasso 0 1-p Sucesso 1 p Total / 12

5 Definição Temos que a função de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli, Y Be(p), é dada por: P(Y = y) = p y (1 p) (1 y), y = 0, 1. 4 / 12

6 Definição Temos que a esperança e a variância são dadas por E(Y ) = p V (Y ) = p(1 p) 5 / 12

7 Exemplo 1 Suponha que em um lote de 12 peças, 5 sejam defeituosas. Uma peça é retirada para inspeção, qual a probabilidade da peça ser não defeituosa? 6 / 12

8 Distribuição Bernoulli É a mais importante das distribuições de probabilidades discretas e consiste no número de sucessos de n ensaios independentes de Bernoulli; Para que a variável aleatória de um experimento tenha distribuição binomial é necessário atender as seguintes condições: a) supor uma série de n realizações independentes (o resultado de um experimento não é afetado pelo resultado dos outros) de Bernoulli; b) a probabilidade de sucesso em cada realização é sempre constante e igual a p; c) o número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. 7 / 12

9 Definição A função de probabilidade de uma variável aleatória Y com distribuição binomial, Bin(n; p), é dada por: P(Y = y) = ( n y ) p y (1 p) n y y = 0, 1,..., n. ( ) n n! em que = C y n,y = y!(n y)! ; p é a probabilidade de sucesso e (1 p) é a probabilidade de fracasso. 8 / 12

10 Definição A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Bin(n; p) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = np e V (Y ) = np(1 p) 9 / 12

11 Exemplo 2 Uma moeda é lançada dez vezes. Qual a probabilidade de se obter duas caras? Determine a esperança e a variância. Exemplo 3 Uma empresa exportadora sabe que 5% das exportações tem algum problema na documentação. Se ela realizar negócios com seis clientes, determine a probabilidade de: a) Exatamente dois apresentarem problemas. b) Ao menos um apresentar problema. c) No mínimo quatro apresentarem problemas. d) Exatamente cinco não apresentarem problemas. 10 / 12

12 Exercício 1 A probabilidade de um presumível cliente, escolhido aleatoriamente, faça uma compra, é de 30%. Se o vendedor visita cinco clientes, qual a probabilidade que ele realizará: a) Exatamente três vendas? b) Quatro ou mais vendas? c) Menos de duas vendas? 11 / 12

13 Exercício 2 Suponha que haja uma probabilidade de 60% de um carro furtado em certa cidade do sul ser recuperado. Determine a probabilidade de: a) dois dentre 10 carros furtados serem recuperados; b) no mínimo nove dentre 10 carros furtados serem recuperados. 12 / 12