Capítulo 5. CASO 5: EQUAÇÃO DE POISSON 5.1 MODELO MATEMÁTICO E SOLUÇÃO ANALÍTICA

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1 Capítulo 5. CASO 5: EQUAÇÃO DE POISSON No presete capítulo, é abordado um problema difusivo uidimesioal com absorção de calor (Icropera e DeWitt, 199, o que resulta uma equação de Poisso, que é uma equação diferecial liear. O modelo umérico é costituído pelo método de difereças fiitas, com aproximações uméricas de a ordem através de difereça cetral e malha uiforme. 5.1 MODEO MATEMÁTICO E SOUÇÃO ANAÍTICA O modelo matemático do caso 5 é defiido por d Λ = 1x dx (5.1 com as seguites codições de cotoro de Dirichlet: Λ ( 0 = 0 (5. Λ( = 1 (5.3 ode é o comprimeto do domíio de cálculo, cosiderado = 1, Λ é a variável depedete do problema, que é um escalar difudido, e x é a variável idepedete, a direção coordeada. A solução aalítica exata do modelo matemático defiido pelas Eqs. (5.1 a (5.3, para a variável depedete (Λ, é Λ = x 4 (5.4

2 Capítulo 5. Caso 5 54 Defiido-se a média da variável depede te ao logo do domíio de cálculo por Λ m = 1 Λ dx 0 (5.5 sua solução aalítica exata é 4 Λ = m 5 ( MODEO NUMÉRICO A solução umérica do modelo matemático defiido pelas Eqs. (5.1 a (5.3 é obtida cosiderado-se (Ferziger e Peric, 1999: método de difereças fiitas, aproximação umérica da derivada de a ordem da equação diferecial com difereça cetral e malha uiforme, Fig Desta forma, para a Eq. (5.1, tem-se ( λ λ 1 λ h = 1x (5.7 ou x λ + λ λ = 1 h, =...( N 1 (5.8 ode x é a coordeada do ó, Fig. 5.1, h é a distâcia etre os ós e 1, ou etre e + 1, também deomiado de tamaho dos elemetos da malha, e λ é a icógita do problema, ou a variável depedete. O sistema de equações represetado pela Eq. (5.8 foi resolvido com o método de Gauss-Seidel (Kreyszig, ó x h h h Figura 5.1 Malha uidimesioal uiforme.

3 Capítulo 5. Caso 5 55 A solução umérica exata da Eq. (5.7 resulta em (Marchi, 001: 4 λ = x + x ( 1 x h (5.9 A média ( λ m da variável depedete ( λ ao logo do domíio de cálculo, pode ser obtida pela regra do trapézio (Barroso, 1987 por h λ (5.10 = N m = 1 ( λ + 1 λ cua solução umérica exata resulta em (Marchi, h h λ m = + ( Com a solução umérica exata pode-se obter o erro de iteração E( φ, coforme explicado a seção 1.3. ( 5.3 RESUTADOS E DISCUSSÕES Foram defiidas, este caso, 4 variáveis de iteresse, que são: os resultados uméricos em três ós específicos da malha, isto é, λ, λ 9, λ e a média aritmética dos ( ( 10 resultados uméricos obtidos em todos os ós da malha λ m. Sedo que, em cada subcaso, Tab. 5.1, e para cada variável de iteresse, foram aalisados o resultado umérico ( φ, seu erro de iteração E( φ, estimativa do erro de iteração U ( φ, a razão de covergêcia (ψ, a ordem ( ( efetiva ( p E, a ordem aparete ( p U e a efetividade (θ. As soluções uméricas foram obtidas para malhas com N = 11, 101 e 01 ós, o que equivale, a h = , 100 e 00. Foram utilizados 3 tipos de codições iiciais, C 1 : 3 = λ = 0, C : λ = 1, C : λ = x, 1... N, ode N idica o úmero de ós da malha. Com a variação das codições iiciais e do úmero de ós da malha, foram obtidos 9 subcasos que são mostrados a Tab. 5.1.

4 Capítulo 5. Caso 5 56 Tabela 5.1 Subcasos do Caso 5. Subcaso Codição iicial N o de ós N o de iterações Tempo de CPU (s 1 C ,33 C ,9 3 C ,30 4 C ,0 5 C ,74 6 C ,55 7 C ,68 8 C ,59 9 C ,34 Os cálculos foram realizados em um computador Petium III 800 MHz com 56 MB de memória RAM. O úmero de iterações em cada subcaso foi obtido de acordo com o seguite critério de parada: queda míima de 5 ordes de gradezas a magitude do erro de iteração para todas as variáveis de iteresse. Adotou-se como parâmetro a razão etre o erro cometido a iteração correte e o erro obtido a iteração iicial, isto é: Se máximo E( φ 5 < 10 Pare. E( φ 1 ode φ represeta todas as variáveis. Observa-se a Tab. 5.1 que o úmero de iterações está diretamete relacioado ao úmero de ós da malha N, ou sea, com a ordem do sistema de equações. Além disso, pode-se aida relacioar o úmero de iterações em um determiado caso com o úmero de ós utilizados e com o úmero de iterações evolvidas o caso aterior: N 1 N1 (5.1 Por exemplo: para o subcaso 1, N1 = 11 e 1 = 150. Para o subcaso 4, N = 101, procura-se estimar o úmero de iterações ecessárias, que resulta em Este valor está próximo do resultado real, 15933, mostrado a Tab. 5.1.

5 Capítulo 5. Caso 5 57 Nas Tabs. 5. a 5.5 são mostrados os resultados uméricos obtidos para as quatro variáveis de iteresse ao fial do processo iterativo, em todos os subcasos. Tabela 5. Resultados uméricos para λ. ( Subcaso exato umérico ( φ E( φ U ( φ E ( φ 1 6, E-0 6, E-0 8, E-08 9, E-01 6, E-0 6, E-0-8,537538E-06 1, E , E-0 6, E-0 -, E-06 9, E , E-0 6,549718E-0, E-08 1, E , E-0 6, E-0-9, E-06 1, E , E-0 6,58345E-0-3, E-06 1, E , E-0 6,5067E-0, E-08 9, E , E-0 6,515681E-0-9, E-06 9, E , E-0 6, E-0-3, E-06 9, E-01 Aálogo a λ, podemos ver os resultados uméricos para λ 9, ao fial do processo iterativo a Tab ( Tabela 5.3 Resultados uméricos para λ 9. ( 10 ( 10 Subcaso exato umérico ( φ E( φ U ( φ E ( φ 1 6, E-01 6, E-01, E-08 9, E-01 6, E-01 6, E-01 -, E E , E-01 6, E-01-6, E-07 1, E , E-01 6, E-01 8, E-09 1, E , E-01 6, E-01 -, E-06 9, E , E-01 6, E-01-1, E-06 9, E , E-01 6, E-01 8, E-09 9, E , E-01 6, E-01 -, E-06 1, E , E-01 6, E-01-1, E-06 1, E+00

6 Capítulo 5. Caso 5 58 Da mesma maeira, para λ, os resultados são apresetados a Tab Tabela 5.4 Resultados uméricos para λ. Subcaso exato umérico ( φ E( φ U ( φ E ( φ 1 3, E-03 3, E-03 5, E-08 9, E , E-03 3, E-03-5, E-06 1, E+00 3, E-03 3, E-03-1, E-06 9, E-01 1, E-03 1, E-03 1, E-08 1, E , E-03 1, E-03-5, E-06 9, E , E-03 1, E-03-1, E-06 9, E , E-03 1, E-03 1, E-08 9, E , E-03 1, E-03-5, E-06 9, E , E-03 1, E-03-1, E-06 9, E-01 Para média da variável depedete ( λ m pode -se ver os resultados a Tab Tabela 5.5 Resultados uméricos para λ m. Subcaso exato umérico ( φ E( φ U ( φ E ( φ 1, E-01, E-0 5, E-08 9, E , E-01, E-0-5, E-06 1, E+00, E-01, E-0-6, E-06 1, E+00, E-01, E-0, E-08 9, E-01 5, E-01, E-0-5, E-06 1, E+00 6, E-01, E-0-1, E-06 1, E+00 7, E-01, E-0, E-08 9, E-01 8, E-01, E-0-5, E-06 1, E+00 9, E-01, E-0 -, E-06 1, E+00

7 Capítulo 5. Caso 5 59 Nas Tabs. 5. a 5.5, pode-se otar que para todas as variáveis de iteresse a ordem de gradeza do módulo do erro de iteração é meor para os subcasos que evolvem a codição C 1. Notou-se também que, a partir de um determiado úmero de iterações iiciais as ordes efetiva (pe e aparete (pu tedem mootoicamete à ordem assitótica (p, com o aumeto do úmero de iterações. Nas iterações iiciais ota-se a ocorrêcia de oscilações, iclusive com valores egativos para a ordem aparete (p U. Isso pode ser observado a Fig. 5.. Para as demais variáveis e subcasos o comportameto é semelhate. Para este caso o método de previsão da cofiabilidade da estimativa do erro, descrito a seção 3.6, mostrou-se eficiete a meos dos erros de arredodameto. Cosiderado como exemplo a variável v 3 do subcaso 1 (Fig. 5.4, esta se equadra o itervalo I do método de previsão. Neste exemplo o método de previsão ão pôde ser aplicado as iterações de 3 a 7 e de 11 a 15, pois estas iterações p < 0 (Fig. 5.. Na iteração 8 a previsão falha devido à oscilação U apresetada em p U. A partir da iteração 16 o método de previsão mostra-se eficiete, sedo que, a partir desta iteração p U apreseta comportameto subcovergete. 0.1 p U pu pe 0.05 ordem Iteração Figura 5. Ordem efetiva (p E do erro e ordem aparete (p U da icerteza de λ para o subcaso 1.

8 Capítulo 5. Caso 5 60 Para este caso, as iterações iiciais a ordem aparete (p U oscila de -1,3 a 1,45. ogaritmo do módulo de E e U icerteza erro Iteração Figura 5.3 Erro e icerteza de λ para o subcaso Cofiabilidade Iteração Figura 5.4 Gráfico de cofiabilidade para λ do subcaso 1.

9 Capítulo 5. Caso 5 61 Nota-se também que, para este caso a razão de covergêcia ( y e a ordem assitótica (p variam somete com o úmero de ós da malha, Tab 5.6. Portato, ão sofrem alteração com a mudaça das codições iiciais ou da variável de iteresse. Tabela 5.6 Razão de covergêcia e ordem assitótica para caso 5. N Subcaso ψ p 11 1,,3 1, , ,5,6 1, , ,8,9 1, , CONCUSÃO Existe discordâcia etre icerteza e erro somete as iterações iiciais, Fig Pricipalmete ode foi costatado que as ordes efetiva (p E e aparete (p U apresetaram valores egativos, Fig. 5.. Para as demais variáveis e subcasos, costatou-se comportameto semelhate, sedo que, estas iterações iiciais correspodem à uma faixa de, o máximo, 13% do úmero total de iterações evolvidas o cálculo. Salvo estas iterações, verificou-se a eficiêcia do estimador de erro para este caso quato à sua acurácia e cofiabilidade através de sua efetividade (θ. O mé todo de previsão da cofiabilidade, seção 3.6, apresetou bos resultados em todos os subcasos, sedo que, a ocorrêcia de falha a previsão deu-se pela ifluêcia dos erros de arredodameto. Nos testes realizados com a equação de Poisso, verificou-se, etão, dois tipos de comportameto. Nas iterações iiciais, as estimativas de erro são iacuradas e sem cofiabilidade, de forma geral. Após estas iterações iiciais, as estimativas são cada vez mais acuradas.

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