UMA EXPERIÊNCIA COM MODELAGEM MATEMÁTICA NA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

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1 ISBN UMA EXPERIÊNCIA COM MODELAGEM MATEMÁTICA NA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Resumo Alisso Herique dos Satos UEL Ferada Felix Silva UEL Edilaie Regia dos Satos UEL Eixo 2: Didática e Práticas de Esio a Educação Superior Este artigo relata uma experiêcia ocorrida com algus aluos o âmbito de uma disciplia da liceciatura em Matemática da Uiversidade Estadual de Lodria durate um trabalho de modelagem matemática. O desevolvimeto desse trabalho se deu durate dez aulas da disciplia em que os aluos foram resposáveis por todas as ações do processo de modelagem matemática. Por meio dele os aluos tiveram a oportuidade de costruir um modelo matemático por completo. Isso pode cotribuir para que pudessem viveciar experiêcias equato aluos e equato futuros professores. Palavras-chave: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Modelo Matemático. Itrodução Com esse artigo tem-se por objetivo relatar uma experiêcia ocorrida o âmbito da disciplia Modelagem Matemática a Perspectiva da Educação Matemática da liceciatura em Matemática da Uiversidade Estadual de Lodria. A Modelagem Matemática essa disciplia foi utilizada como uma abordagem pela qual o professor pôde subsidiar sua prática docete (PARANÁ, 2008) e oportuizar aos aluos, por meio da obteção e validação de modelos matemáticos (BASSANEZI, 2011), o estudo de coteúdos matemáticos (PEREIRA et al., 2017) e orietações de como poderiam utilizá-la a codução da aula com seus aluos. Durate a disciplia trabalhou-se com a obteção e a validação de modelos matemáticos tedo em vista algumas ações (escolha do tema, seleção de dados, defiição do problema, defiição de hipóteses, defiição de variáveis, obteção do modelo, validação do modelo, iterpretação dos resultados e resolução 597

2 do problema) e mediate um processo de familiarização dos aluos com atividades desse tipo, de acordo com os seguites mometos: Em um primeiro mometo, são abordadas, com todos os aluos, situações em que estão em estudo a dedução, a aálise e a utilização de um modelo matemático, a partir de uma situação problema já estabelecida e apresetada pelo professor; este mometo, a formulação de hipóteses e a ivestigação do problema, que resulta a dedução do modelo, são realizadas em cojuto com todos os aluos e o professor; Posteriormete, uma situação problema já recohecida, jutamete com um cojuto de iformações, pode ser sugerida pelo professor à classe, e os aluos, divididos em grupos, realizam a formulação das hipóteses simplificadoras e a dedução do modelo durate a ivestigação e, a seguir, validam o modelo ecotrado; Fialmete, os aluos, distribuídos em grupos, são icetivados a coduzirem um processo de Modelagem, a partir de um problema escolhido por eles, devidamete assessorados pelo professor (ALMEIDA, DIAS, 2004, p.25). Nesse artigo, a experiêcia relatada é parte de um trabalho, composto por três modelos matemáticos, desevolvido por um grupo de aluos 1, assessorados pela docete resposável pela disciplia 2, mediate o terceiro mometo, durate 10 aulas do 4º bimestre do ao letivo de Desevolvimeto Durate o desevolvimeto do trabalho os aluos tiveram a oportuidade de executar todas as ações de um processo de modelagem matemática e de utilizar técicas e coteúdos matemáticos abordados as aulas durate a disciplia. O iício se deu com a busca de um tema e de dados que pudessem ser maipulados. Com isso, foi possível obter os seguites dados para a temática selecioada população brasileira : Quadro 1: Dados referetes à população brasileira. Ao população Primeiro e segudo autores desse artigo. 2 Terceira autora desse artigo. 598

3 Fote: IBGE Levado em cota tais iformações defiiu-se o seguite problema: determiar um modelo matemático que possibilitasse estimar a população brasileira de acordo com o ao. Na sequêcia, com base em uma aálise dos dados e cosiderado estudos realizados pelos aluos durate a disciplia, foram defiidas as hipóteses, que [...] dirigem a ivestigação e são comumete formulações gerais que permitem [...] deduzir maifestações [...] (BASSANEZI, 2011, p.28): a população total do Brasil tede a estabilizar; os dados apresetados para a população total costituem uma sequêcia (P i ) moótoa (visto que a sequêcia é crescete) e limitada (cosiderado que a população tede a estabilizar), logo a sequêcia (P i ) é covergete; se (P i ) é covergete, etão existe P, valor de estabilidade da população total do Brasil, tal que lim i (P i ) = P. Além disso, foram defiidas as variáveis P para população, x para tempo (em aos) e i variável auxiliar. Tedo em vista tais cosiderações, os aluos tiveram que adotar três ecamihametos para a obteção do modelo matemático, que foram seguidos com cautela e miuciosamete já que qualquer descuido poderia ocasioar falhas em todo o processo de obteção e, cosequetemete, a validação do modelo matemático. I) Primeiro ecamihameto: determiação do valor de estabilidade (P ). Tedo em vista as hipóteses supracitadas, para determiar o P foi utilizado o método de Ford- Walford, estudado ateriormete em sala de aula mediate situações em que os dados de determiada variável se mostravam estabilizar. Nesse caso, dada a sequêcia (P i ), a existêcia de um poto de estabilidade é descrita pela codição P i+1 P i e pelo fato de que lim i (P i ) = lim i (P i+1 ) = P. Foram cosideradas etão as sequêcias moótoas e limitadas P i e P i+1, como mostra o quadro a seguir, em que P i represeta a população total brasileira e P i+1, a população total brasileira o ao seguite. 599

4 Quadro 2: Dados da população total brasileira. i P i P i Sem valor Fote: grupo de aluos resposável pelo trabalho O próximo passo foi obter uma fução cotíua f tal que P i+1 = f(p i ) que ajuste os potos do plao formado pelos pares (P i, P i+1 ), mais especificamete P i+1 = a. P i + b. Para determiar os parâmetros a e b foi utilizado o método dos míimos quadrados o caso liear, também estudado em sala de aula, buscado obter o melhor ajuste dos potos em questão tedo em vista miimizar as difereças com os dados forecidos. Nesse setido, buscaram resolver o seguite sistema com duas equações e duas icógitas. { a P 2 i + b P i = P i. P i+1 a P i + b = P i+1 Por meio disso, determiaram os seguites valores para os parâmetros em questão: a = e b = , Logo, retorado obtiveram P i+1 = P i , Cosiderado P i+1 = P i = P, determiaram etão o valor de estabilidade P : P = ,5 II) Segudo ecamihameto: determiação da difereça etre o valor de estabilidade e os valores observados. A difereça etre o valor de estabilidade e os valores observados é apresetado o quadro a seguir. Quadro 3: Dados referetes a difereça etre o valor observado e o de estabilidade. i P P i , , , ,5 600

5 , , , , , , , ,5 Fote: grupo de aluos resposável pelo trabalho III) Terceiro ecamihameto: cosiderado que lim (P P i ) = 0; que P P i > 0 e a tedêcia dos dados, é possível cocluir que o modelo matemático que apreseta essas características é dado por uma fução que tem comportameto expoecial, isto é, dado por P P i = a. e b.i. Para a determiação desse modelo, os aluos realizaram o processo de liearização do ajuste expoecial, o que resultou em l( P P) = l a + bi. Estabelecedo que l( P P i ) = y e l a = c, cocluíram que: y = c + bi. Para determiar esses parâmetros b e c utilizaram ovamete o método dos míimos quadrados o caso liear. Nesse caso, buscaram resolver o seguite sistema com duas equações e duas icógitas. { b i 2 + c i = i. l( P P i ) b i + c = l( P P i ) Por meio da resolução desse sistema obtiveram b = 0, e c = 18, Como l a = c tem-se que a = e c, logo a = ,5. Portato, P P = ,5. e 0, i. Mas, P = ,5. Logo, P i = , ,5. e 0, i. Como as variáveis defiidas foram P para população e x para tempo (em aos), os aluos fizeram uma mudaça de variável esse modelo matemático. Como i = {0,1,, 12} e tem-se que x 2001 = i, sedo x: {2001, 2002,, 2013}. Logo, P(x) = , ,5. e 0, (x 2001) Após a obteção desse modelo matemático, foi iiciado o processo de validação do mesmo. Para sitetizar as iformações oriudas desse processo foi costruído o seguite quadro. Quadro 4: Dados para resolução do método dos míimos quadrados. 601

6 Ao (x) Variável auxiliar (i) População Total (P) Observado População Total (P) Modelado Porcetagem de erro para mais ou para -0,81% meos ,67% ,56% ,47% ,39% ,31% ,22% ,12% ,01% ,22% ,35% ,48% ,61% ,51% Fote: grupo de aluos resposável pelo trabalho Levado em cosideração que a difereça etre a quatidade observada e a quatidade modelada é pequea, como mostra a última colua do quadro apresetado ateriormete, os aluos puderam cocluir que o modelo matemático obtido é válido. Coclusão Por meio desse trabalho os aluos tiveram a oportuidade de realizar uma atividade de modelagem matemática por completo. Isso pode cotribuir para que pudessem viveciar experiêcias equato aluos e equato futuros professores. Equato aluos puderam torar-se também resposáveis pela costrução de seus cohecimetos. Já como futuros professores puderam ter a oportuidade de refletir a respeito dessa forma de codução da aula de Matemática, além de possíveis dificuldades que poderão ecotrar ao utilizá-la e como poderão superá-las. Referêcias Bibliográficas ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da modelagem matemática como estratégia de esio e apredizagem. Bolema, Rio Claro, v. 17,. 22, p , BASSANEZI, R. C. Esio-apredizagem com Modelagem Matemática. 3.ed. São Paulo: Cotexto, PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, PEREIRA, L. L. et al. A Modelagem Matemática para o esio da geometria relação de Euler. Criar Educação, Criciúma, v. 6,.1, p ,