UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Transcrição

1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 30/11/2014 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. Questão 1 (10 pontos). Seja a função f() = 2, qual a função inversa de f()? ( a) log 2 ( 2) b) log +2 ) ( 2 c) log ) ( 2 d) log ) e) inversa 1+2 Considere: y = (2 ) Isolando 2 obtemos, 2 = y 1 2y Assim, obtemos a função inversa é: ( ) f 1 () = log Questão 2 (10 pontos). Encontre o conjunto solução do sistema de inequações < a) ( 3, 2) b) c) (2, 3] d) [ 3, 3] e) 3 Resolvendo separadamente cada inequação, temos < 5 2 A 1 = { R, > 2} A 2 = { R, 3} A 3 = { R, 3}

2 Tomando a interseção, vem A 1 A 2 A 3 = { R, 3}. Questão 3 (10 pontos). Considere a razão entre o logaritmo de 16 base α e o logaritmo de 4 numa base α. Pode-se afirmar que essa razão vale: a) 0.25 b) 0.8 c) 2 d) 4 e) depende do valor de α Da definição de logaritmo temos log α 16 = 16 = α, Como 16 = 4 2, vem que Assim, a razão é 2. log α 4 = y 4 = α y α = α 2y = 2y. Questão 4 (10 pontos). Para quais valores de m a equação não possui solução real? (m 1) = 0 a) m b) m < 0 c) m = 1 d) m > 2 e) m > 1 d) Calculando o discriminante temos, = 4 4(m 1) < 0 m > 2. Questão 5 (10 pontos). Encontre o conjunto solução da seguinte equação = 2 1 a) 3 b) 0 e 2 c) 0 d) 0 e 3 e) a) Temos como condição para eistência de solução, > 1/2, para que o lado direito seja positivo e a equação esteja bem definida. Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando obtemos a equação 2 3 = 0 que tem como raízes 1 = 0 e 2 = 3. Logo, a solução é = 3. Questão 6 (10 pontos). Resolva o sistema de equações 2

3 log 2 ( + y + z) = 0 log y ( + z) = 1 log log 3 = log 3 (y z) Usando a definição e propriedades do logaritmo obtemos o seguinte sistema + y + z = 1 y + z = 0 5 y + z = 0 Resolvendo o sistemas temos { = 0, y = 1 2, z = 1 2}. Como log3, não está definido quando = 0, o sistema não admite soluções. Questão 7 (10 pontos). Qual o conjunto solução da equação sen 2 () + 2sen () 8 = 0? A função seno é limitada por 1, portanto a equação acima nunca é satisfeita. Logo, o conjunto solução é vazio. Questão 8 (10 pontos). Faça o gráfico da função f() = para [ 2, 2]. 3

4 Questão 9 (10 pontos). Sejam as funções f() = 3 2 e g() = 2 + 5, encontre a função inversa da composição de g com f, (g f)(). Primeiro calculemos a função composta resolvendo para (y) obtemos (g f)() = = y (g f) 1 () = 1 6. Questão 10 (10 pontos). Sejam A, B e C conjuntos não vazios e funções f : A B e g : B C. Se f e g são sobrejetivas, mostre que (g f) : A B também é sobrejetiva. g ser sobrejetiva nos dá que para cada c C eiste b B, tal que g(b) = c. Como f é sobrejetiva também, eiste a A,tal que f(a) = b. Assim, para cada c C eiste a A, tal que (g f)(a) = c, logo, (g f)() é sobrejetiva. 4

5 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1. Prova SEM consulta; 2. A prova PODE ser feita a lápis; 3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares; 4. Duração: 2 HORAS. Questão 1 (10 pontos). Seja a função f() = e, qual a função inversa de f()? 1+2e a) log 2 ( 2) b) ln ( ) +2 c) ln ( ) d) ln ( ) e) inversa d) Considere: Isolando e obtemos, Logo, a função inversa é y = e = e 1 + 2e y 1 2y ( ) f 1 () = ln. 1 2 Questão 2 (10 pontos). Avalie: lim 5 + e ( 5) 3 a) e 5 /6 b) -e 5 /6 c) + d) e) O numerador tem limite e 5, pois é uma função contínua. O denominador vai para zero, por valores positivos, logo o limite tende a +.

6 Questão 3 (10 pontos). Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva 3 + y 3 6y = 0, no ponto (3, 3). a) -1 b) 0 c) 1 d) -6 e) a) Caculando a derivada implicita obtemos, Avaliando em (3, 3), temos: y = y = 6y 32 3y = 1. Questão 4 (10 pontos). Encontre os valores de máimo e mínimo absolutos da função f() = , para [0, 3]. a) {0; 1} b) {3; 0} c) {19; 1} d) {1; 1} e) {2; 1} Encontrando os pontos críticos da função, isto é, f () = 0, pois a função é polinomial e a derivada sempre eiste. Resolvendo, dentro do conjunto pedido, temos f () = = 0 = 1 Avaliando a função nos pontos críticos e nos etremos do intervalo, temos f(0) = 1, f(1) = 1, f(3) = 19. Assim, o valor de máimo é 19 e o valor de mínimo é 1. Questão 5 (10 pontos). Qual o valor de d? a) 4 π b) π c) ln(2) d) 1 ln(2) e) d) Usando a substiutição = ln (t), temos d = t dt = 1 ln (2). 2 2

7 Questão 6 (10 pontos). contínua em R. Encontre os valores de a e b para que a função abaio seja 2 1, < 1 1 f() = a 2 b + 2, 1 < 2 a 2b, 2 Se 1 e 2, f() é uma função racional, logo é contínua para 1 e 2. Assim, precisamos estudar apenas nestes pontos. Calculando os limites laterais temos A = lim 1 f() = 2 B = lim 1 + f() = a b + 2 C = lim f() = 4a 2b D = lim f() = 2a 2b 2 + Para que a função seja contínua devemos ter A = B e C = D, donde a = b = 1. Questão 7 (10 pontos). Calcule f (0). Considere a função: f() = { 2 sen ( 1 ), 0 0, = 0 Da definição de derivada temos f f() f(0) (0) = lim, desde que o limite eista. 0 0 Calculando o limite obtemos f (0) = 0. Questão 8 (10 pontos). Calcule: I = sen() 1 + cos() d 3

8 I = cos() + C. Questão 9 (10 pontos). Um fazendeiro deseja construir uma cerca num terreno retangular com três fios de arrame, com alturas de 30cm, 60cm e 90cm, respectivamente. Se ele possui 36m de arrame, encontre as dimensões do retângulo que terá maior área. Como a cerca possui três fios ele conseguirá cobrir um perímetro de 12m. Se as dimensões do retângulo são e y, temos 2 + 2y = 12 e a área A = y = (6 ) o valor que procuramos é um ponto de máimo de A(). Assim, A () = 6 2 = 0 = = 3. Logo, as dimensões procuradas são = y = 3. Questão 10 (10 pontos). g() =, para [0, 4]. Determine a área delimitada pelas curvas f() = 2 e A área é dada por 1 0 [ 2 ] d [ 2 ] d =