Matriz de Sensibilidade Modal

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1 Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Matriz de Sensibilidade Modal Leonardo Tôrres Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 1

2 Análise Modal Motivação Um sistema dinâmica linear descrito por: { d ( x) A( x) + B( u), dt y C( x) + D( u) sendo x R n seu vetor de estados, apresenta uma resposta temporal dada por: t 0 x(t) = e At ( x(0)) + t 0 e A(t τ) B( u(τ))dτ Será que é possível simplificar a análise desta resposta temporal? Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 2

3 Análise Modal Autovetores e Autovalores Autovalores λ i e autovetores v i de uma matriz A, são escalares e vetores coluna n 1, respectivamente, que satisfazem às seguintes relações: A v 1 = λ 1 v 1 ; A v 2 = λ 2 v 2 ; A v i = λ i v i ; A v n = λ n v n ; Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 3

4 Análise Modal Autovetores e Autovalores As relações anteriores podem ser representadas em forma matricial como: λ λ 2 0 A [ v 1 v 2 v n ] = [ v } {{ } 1 v 2 v n ] } {{ } M M 0 0 λ n } {{ } Λ Ou seja, AM = MΛ sendo Λ = diag(λ 1,λ 2,,λ n ) uma matriz diagonal Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 4

5 Análise Modal Autovetores e Autovalores É possível escrever então que A = MΛM 1, isto é, A = [ v 1 v 2 v n ] } {{ } M λ λ 2 0 } 0 0 λ n {{ } Λ w 1 w 2 w n } {{ } M 1 Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 5

6 Análise Modal Autovetores e Autovalores Tendo definido a inversa de M a partir dos vetores linha w i (dimensão 1 n), tal que M 1 = w 1 w 2 w n, e lembrando que M 1 M = I, podemos escrever que w i v j = δ ij, sendo δ ij o delta de Kronecker: δ ij = 1, se i = j, e δ ij = 0, se i j Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 6

7 Decomposição Modal Como os autovetores formam uma base para o espaço R n, isto é, são um conjunto LI de vetores, é possível representar a variação x como uma soma ponderada dos autovetores (as auto-direções): x = v 1 z 1 + v 2 z v n z n, ou seja, x(t) = [ v 1 v 2 v n ] } {{ } M z 1 (t) z 2 (t) z n (t) } {{ } z Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 7

8 Decomposição Modal As variáveis z 1,z 2,,z n são os chamados modos dinâmicos do sistema: É possível escrever que: x(t) = M z d x dt = A x + B u, M d z dt = AM z + B u, z = M 1 AM } {{ } Λ z + } M{{ 1 B} u B Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 8

9 Decomposição Modal Portanto, representado o desvio do equilíbrio como uma soma ponderada de movimentos nas direções definidas pelos autovetores da matriz A, tem-se que: z = Λ z + B u Ou seja, obtém-se um conjunto de simples equações de 1 a ordem desacopladas: ż 1 = λ 1 z 1 + ( w 1 B u); ż 2 = λ 1 z 2 + ( w 2 B u); ż n = λ n z n + ( w nb u); Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 9

10 Decomposição Modal Podemos então facilmente escrever que, para t 0: z 1 (t) = e λ1t z 1 (0) + z 2 (t) = e λ2t z 2 (0) + z n (t) = e λ nt z n (0) + t 0 t 0 t 0 e λ 1(t τ) ( w 1 B u(τ))dτ, e λ 2(t τ) ( w 2 B u(τ))dτ, e λ n(t τ) ( w nb u(τ))dτ Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 10

11 Decomposição Modal A expressão anterior é equivalente a: z 1 (t) = e λ1t w 1 x(0) + z 2 (t) = e λ2t w 2 x(0) + z n (t) = e λnt w n x(0) + t 0 t 0 t 0 e λ 1(t τ) ( w 1 B u(τ))dτ, e λ 2(t τ) ( w 2 B u(τ))dτ, e λ n(t τ) ( w nb u(τ))dτ, a partir da qual percebemos que, caso u = 0 e x(0) = k v j (desvio inicial na direção do autovetor v j ), somente o modo z j (t) 0, ie será visível Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 11

12 Matriz de Sensibilidade Modal Uma vez que a evolução do desvio x ao longo do tempo depende da evolução dos modos dinâmicos z 1, z 2,, z n ; seria possível quantificar a importância de um dado modo dinâmico z j sobre o desvio inicial de uma variável de estado específica k, supondo que somente esta variável de estado k foi perturbada inicialmente? Matriz de Sensibilidade Modal Para fins dessa análise, vamos supor que u = 0 Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 12

13 Matriz de Sensibilidade Modal Seja o desvio inicial x(0) dado por: x(0) = δ 0 0 = x 1 (0) x 2 (0) x i 1 (0) x i (0) x i+1 (0) x n (0) Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 13

14 Matriz de Sensibilidade Modal Portanto, uma perturbação δ na i-ésima variável de estado, e supondo entradas nulas ( u = 0), produz as seguintes evoluções para os modos dinâmicos: z 1 (t) = e λ 1t w 1i δ z 2 (t) = e λ 2t w 2i δ z j (t) = e λ 2t w ji δ z n (t) = e λ nt w ni δ Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 14

15 Matriz de Sensibilidade Modal Neste caso, a evolução do desvio x i da i-ésima variável, em relação a condição de equilíbrio: x(t) = M z(t) = v 1 z 1 (t) + v 2 z 2 (t) + + v n z n (t), x i (t) = v i1 z 1 (t) + v i2 z 2 (t) + + v in z n (t), poderá ser escrita como: x i (t) = e λ 1t (w 1i v i1 )δ + e λ 2t (w 2i v i2 )δ + + e λ jt (w ji v ij )δ + + e λ nt (w ni v in )δ; Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 15

16 Matriz de Sensibilidade Modal Isto é, a importância do j-ésimo modo dinâmico sobre a evolução temporal da i-ésima variável de estado, supondo uma perturbação inicial somente nesta variável, é determinada pelo fator: w ji v ij = v ij w ji Tais fatores são os elementos da chamada Matriz de Sensibilidade Modal S M : v 11 w 11 v 12 w 21 v 1n w n1 v 21 w 12 v 22 w 22 v 2n w n2 S M = = M {M } 1, v n1 w 1n v n2 w 2n v nn w nn sendo que representa o chamado produto de Schur (produto elemento a elemento de duas matrizes) No MATLAB: Sm = real(m*(inv(m ))); Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 16

17 Exemplo: Dinâmica Longitudinal de uma Aeronave F-16 Suponha um caça F-16 operando na seguinte condição de vôo: Estados (n = 5): 1 Velocidade V T = 1500 km/h; 2 Ângulo de ataque: α = 2,23 o ; 3 Ângulo de arfagem: θ = 2,23 o ; 4 Velocidade angular de arfagem: Q = 0 rad/s; 5 Altitude: H = 10 km Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 17

18 Exemplo: Dinâmica Longitudinal F-16 A matriz A correspondente a esta condição de voo é: A = , ,0008 9, , , , , , , , , , cujos autovalores podem ser associados a diferentes modos dinâmicos: λ 1,2 = 1,2036 ± j4,9788, associados ao modo de oscilações rápidas e mai amortecido, conhecido como período curto; λ 3,4 = 0,0127 ± j0,0338, associados ao modo de oscilações lentas e pouco amortecidas, conhecido como fugóide; λ 5 = 0, associado a integração pura que conduz da velocidade vertical à variável Altitude Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 18

19 Exemplo: F-16 A fim de nos concentrarmos apenas na análise da importância dos modos fugóide e período curto, eliminaremos a variável de estado Altitude H do modelo Isto pode ser feito porque H é obtida pela integração de uma combinação linear das outras variáveis de estado remanescentes, e seu valor não afeta as demais variáveis (última coluna de zeros à direita) Neste caso, passamos a ter um sistema dinâmico de ordem n = 4, com matriz: A red = , ,0008 9, , , ,0000 0, , ,2093 3, 7 5 cujos autovalores são os mesmos λ 1,2 = 1,2036 ± j4,9788 (período curto) e λ 3,4 = 0,0127 ± j0,0338 (fugóide) Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 19

20 Exemplo: F-16 Agora estamos prontos para responder a seguinte pergunta: Para uma dada variação abrupta na condição de voo em t = t 0, ie x(t 0 ) 0, que modos dinâmicos serão mais importantes para explicar as evoluções de cada um dos desvios das variáveis de estado V T, α, θ e Q em relação aos seus valores de equilíbrio, caso aconteça uma perturbação? Para responder esta pergunta, calcularemos a matriz de Sensibilidade Modal S M associada a A red Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 20

21 Exemplo: F-16 Para calcular a matriz de Sensibilidade Modal, obtém-se uma matriz cujas colunas são os autovetores de A red No MATLAB: sendo M a matriz desejada A matriz S M será: S M = real n M M 1 o = [M,D] = eig(a); ,0001 0,0001 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,5001 0,5001 0,5000 0,5000 0,0000 0,0000 O operador real foi usado por questões numéricas, para se obter apenas a parte real do cálculo Isto é, se não houvesse imprecisões numéricas, isto não seria necessário Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 21

22 Exemplo: F-16 Interpretação do Resultado: matriz S M V T α θ Q 0,0001 0,0001 0,4999 0,4999 0,5000 0,5000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,5001 0,5001 0,5000 0,5000 0,0000 0,0000 λ perc 1 λ perc 2 λ fug 3 λ fug 4 Portanto: O modo período curto é o modo dinâmico mais importante para explicar as variações de ângulo de ataque α e de velocidade angular de arfagem Q ao longo do tempo; E o modo fugóide é o modo dinâmico mais importante para explicar as variações de velocidade V T e de ângulo de arfagem θ Dep Eng Eletrônica EEUFMG p 22