Teoria Básica e o Método Simplex. Prof. Ricardo Santos

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1 Teoria Básica e o Método Simple Prof. Ricardo Santos

2 Teoria Básica do Método Simple Por simplicidade, a teoria é desenvolvida para o problema de PL na forma padrão: Minimizar f()=c T s.a. A=b >= Considere o seguinte eemplo: + <=6 <= + >= >=, >=

3 Teoria Básica do Método Simple Considere o seguinte eemplo: + <=6 <= + >= >=, >= Com a adição de variáveis de folga e ecesso temos: =6 ( + ) = ( ) 5 =( + )

4 Teoria Básica do Método Simple Com a adição de variáveis de folga e ecesso temos: =6 ( + ), >= = ( ), >= 5 =( + ), 5 >= O problema é então transformado na forma A=b, >= + + = 6 + = + 5 = >=, >=, >=, >=, 5 >= Importante: observe que a partir de e podemos determinar unicamente os valores de cada uma das variáveis

5 Teoria Básica do Método Simple Observe a região factível obtida pelas restrições do sistema Quais são os valores de,,, e 5 nos pontos D e C? C D + = = + =6

6 Teoria Básica do Método Simple Se tivermos pontos E e F tal que: Ponto E: = e =5 Ponto F: =6 e =6 Os pontos estão dentro da região factível? C D + = = + =6

7 Teoria Básica do Método Simple Na resolução gráfica, já observamos que podemos encontrar a solução ótima em um dos vértices da região factível Note que tais pontos são determinados pela intersecção de retas, significando que duas variáveis se anulam Observe o ponto D! C D + = = + =6

8 Teoria Básica do Método Simple O sistema A=b anterior tem m= (equações) e n=5 (variáveis) variáveis independentes Se considerarmos = e = obtemos um sistema m m nas variáveis restantes (, e 5 ) Resolvido com algum método de solução de sistemas lineares Pergunta: Podemos fiar quaisquer variáveis em zero e mesmo assim obteremos soluções factíveis? Eemplifique.

9 Teoria Básica do Método Simple Se considerarmos fiar as variáveis e, o sistema A=b pode ser equivalentemente reescrito como: = + = B B N N b

10 Teoria Básica do Método Simple Ou em notação matricial = + 6 B B N N b

11 Teoria Básica do Método Simple O sistema A=b pode ser escrito como: A=b < > B B +N N =b Se fiarmos = =, então temos: B B =b

12 Teoria Básica do Método Simple Definição (partição básica): Uma reorganização nas colunas da matriz da seguinte forma: A=[B N] Em que: B m n, chamada matriz básica, é formada por m colunas da matriz A e é invertível, dada por B=[a B a B... a Bm ], isto é, B, B,..., Bm são os índices das colunas da matriz A que pertendem a B, chamados índices básicos N m (n m), chamada matriz não básica, é formada pelas n m colunas restantes de A (isto é, colunas de A que não estão em B), dada por N=[a N a N... a N(n m) ], isto é, N, N,..., N(n m) são os índices das colunas da matriz A que pertendem a N. Essa partição é chamada de partição básica e introduz uma partição no vetor =[ B N ]

13 Teoria Básica do Método Simple Essa partição é chamada de partição básica e introduz uma partição no vetor =[ B N ] Em que: B é chamado de vetor de variáveis básicas N é chamado de vetor das variáveis não básicas Considerando uma partição básica A=[B N], o sistema A=b pode ser reescrito de forma equivalente como A=b < > [B N] [ B N ]=b ou B B +N N =b, de forma que: B =B b B N N é a solução geral do sistema

14 Teoria Básica do Método Simple Definição (solução básica): Considere uma partição básica A=[B N] e a seguinte solução obtida ao se fiar as n m variáveis de N em zero, isto é: B =B b e N = A solução obtida é chamada solução básica. Se B =B b>= (todas as variáveis não básicas) são não negativas, diz se que é uma solução básica factível Se B =B b> (todas as variáveis são positivas), diz se que a solução básica factível é não degenerada

15 Teoria Básica do Método Simple Considera se novamente o eemplo onde Se fiamos = =, temos: B B =b cuja solução é: B =[ 5 ]=[5 ] = + 6

16 Teoria Básica do Método Simple Considera se novamente o eemplo onde Se reorganizarmos, temos que: =[ B N ]=[ 5 ]=[5 ] Veja que resolve o sistema A=b e não fere a condição de não negatividade = + 6

17 Teoria Básica do Método Simple Pela visualização gráfica podemos notar que os vértices de S correspondem às soluções básicas factíveis Uma região factível S tem um número finito de vértices, pois há um número finito de partições básicas dado por C n m =n!/m!(n m)! Propriedade dos problemas de PL: Se um problema de PL tem solução ótima, então eiste um vértice ótimo Assim, se eiste uma solução ótima, então eiste uma solução básica factível ótima. Para isso: Determinar todas as K soluções básicas factíveis Determine a solução ótima j tal que f(j)=mínimo {f(k), k=,,..., K} K pode ser muito grande! Simple inicia com uma solução básica factível e melhora essa solução a cada iteração