Significância do Coeficiente de Correlação

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1 Significância do Coeficiente de Correlação A primeira coisa que vamos tentar fazer nesta aula é apresentar o conceito de significância do coeficiente de correlação. Uma vez entendido este conceito, vocês verão fórmulas matemáticas para o cálculo da significância. Essas fórmulas serão mais difíceis de serem explicadas neste curso, mas espera-se que vocês as aceitem com base no entendimento do que é a significância de um valor de correlação e do porquê da sua importância. Para apresentar o conceito de significância, consideremos o seguinte exemplo. Suponha que a Comissão de Graduação (CG) da Universidade tenha pedido a duas turmas diferentes do curso de psicologia, por exemplo, a turma do segundo ano e a turma do terceiro ano, para avaliar três professores do curso. Vamos supor que cada turma tenha feito duas disciplinas diferentes com cada professor, de maneira que os alunos tenham um bom conhecimento deles e de suas capacidades didáticas. A avaliação consiste de questionários distribuídos entre os alunos, cobrindo temas como dedicação do professor, capacidade de explicação, conhecimento da matéria, educação etc. Vamos supor que os questionários foram preenchidos por todos os alunos (infelizmente, algo raro na realidade) e entregues à CG. Os membros da CG fizeram, então, os cálculos das pontuações dos professores segundo a avaliação de cada turma (que envolveram médias das notas dadas pelos alunos de cada turma). Os resultados estão apresentados na tabela abaixo, tanto em termos da pontuação de cada professor como em termos da sua posição no ranking (vamos supor que as notas de cada professor variam numa escala de 1 a 5 e que dois professores não possam ter notas iguais). Turma do 2 o ano Turma do 3 o ano Professor Nota Posição no ranking Nota Posição no ranking A 3, B 4 1 4,5 1 C 3,

2 Vamos considerar apenas as colunas que dão as classificações dos professores em termos da sua posição no ranking. Observe que as posições dos três professores nos rankings das duas turmas são as mesmas. Isto implica que a correlação das avaliações dos três professores feitas pelas duas turmas é perfeita. De fato, o cálculo do coeficiente de correlação de Spearman nos dá r S = 1 (mostre isso como exercício). A questão que se põe é: o coeficiente de correlação é +1, indicando uma correlação perfeita, mas será que isso não ocorreu apenas por coincidência? Dito de outra forma, quão significante é o valor r S = 1? Em estatística, aborda-se a questão da significância de um resultado usando-se o conceito de hipótese nula. A hipótese nula (H 0 ) simplesmente assume que um dado resultado estatístico foi obtido apenas por acaso, devido a flutuações probabilísticas dos eventos sendo medidos, e não devido a um efeito real que cause o resultado. Sempre que se trabalha com uma hipótese para explicar um dado fenômeno, temos que considerar a possibilidade de pelo menos uma hipótese concorrente a ela. No caso da estatística, a hipótese concorrente é chamada de hipótese alternativa (H A ). No nosso exemplo, o resultado empírico é que a correlação entre as avaliações dos três professores feitas pelas duas turmas é perfeita (r S = 1). Como hipótese nula, vamos considerar que esse resultado é pura coincidência e, portanto, que nada de mais profundo possa ser retirado dele. Já a hipótese alternativa considera o contrário, que o resultado é devido a uma real similaridade das opiniões dos alunos das duas turmas sobre os três professores, ou seja, que a correlação é significante. Uma vez que as duas hipóteses tenham sido enunciadas e os seus significados estejam bem claros na mente do pesquisador, a estratégia usada pela Estatística consiste em atacar a hipótese nula. Isso é feito com a seguinte pergunta: se a hipótese nula estiver correta e o resultado obtido for devido apenas ao acaso, qual a probabilidade de que ele ocorra? No nosso exemplo, se o resultado obtido for apenas obra do acaso, para calcular a probabilidade dele temos que considerar todos os resultados possíveis. 2

3 De quantas maneiras os três professores podem ser ordenados pela turma do 2 o ano? Como temos 3 professores, o número de maneiras é 3! = = 6 (veja abaixo). Professor Possibilidades de rankeamento pela turma do 2 o ano A B C Igualmente, os 3 professores podem ser ordenados pela turma do 3 o ano de 6 maneiras diferentes (as mesmas mostradas acima). Desta forma, como cada turma pode ordenar os 3 professores de 6 maneiras diferentes, o número de possíveis maneiras diferentes em que os 3 professores podem ser rankeados pelas duas turmas em conjunto é 6x6 = 36 (veja abaixo). Maneiras Prof. 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o A B C r S 1 0,5 0,5-0,5-0,5-1 0,5 1-0,5 0,5-1 -0,5 0,5-0, ,5-0,5 Maneiras Prof. 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o 2 o 3 o A B C r S -0,5 0, ,5 0,5-0,5-1 0,5-0,5 1 0,5-1 -0,5-0,5 0,5 0,5 1 A última linha dessa tabela dá os valores do coeficiente de correlação de Spearman r S para cada um dos 36 casos possíveis. Vemos que em seis deles a correlação entre as avaliações das duas turmas é positiva e perfeita (r S = 1). Dadas todas as possibilidades acima, a probabilidade de se obter uma situação como a do exemplo, em que r S = 1 é: p = número de maneiras em que rs = 1 pode ocorrer 6 = = 0,167. número de combinações possíveis 36 3

4 Isto quer dizer que caso o resultado obtido no experimento seja fruto de mero acaso, a probabilidade de ele ocorrer é de 16,7%. Se você achar que este valor de probabilidade é suficientemente baixo (onde o critério de definição de suficientemente baixo tem que ser previamente definido), você pode rejeitar a hipótese nula. A idéia é a de que, se a probabilidade de o resultado ser obtido por mero acaso for muito baixa, deve-se considerar que a hipótese do acaso não é suficientemente forte para explicar o ocorrido e, portanto, que a hipótese alternativa tem mais chances de oferecer uma explicação melhor. Normalmente, o limiar do valor de probabilidade abaixo do qual a hipótese nula é rejeitada é 5% (p = 0,05). Se a probabilidade do evento caso a hipótese nula esteja certa for menor que 5%, rejeita-se a hipótese nula; caso a probabilidade for maior que 5%, não se pode rejeitar a hipótese nula. A probabilidade de se obter a classificação dos dois professores do nosso exemplo por mero acaso é de 16,7%, um valor bem maior que 5%. Sendo assim, mesmo com o valor de r S tendo sido máximo, não se pode concluir que ele é significante. A probabilidade de que ele tenha sido gerado apenas pelo acaso é muito grande. O que aconteceria se a CG pedisse para as duas turmas avaliar quatro professores e os dois rankings feitos por elas fossem perfeitamente iguais, de maneira que novamente r S = 1? Neste caso, cada turma poderia ordenar os quatro professores de 4! = = 24 maneiras diferentes e o número de pareamentos possíveis dos dois ordenamentos seria 24x24 = 576. Desses, há 24 deles em que os rankeamentos são exatamente iguais. Desta forma, a probabilidade de se obter um pareamento idêntico por puro acaso é, neste caso, p = 24 = 576 0,042. Este valor é agora menor que o limiar de rejeição da hipótese nula, p = 0,05. Neste segundo caso, o acaso não é suficiente para explicar o resultado obtido (a um nível de significância de 0,05) e, portanto, a hipótese nula deve ser rejeitada. 4

5 Estes dois exemplos são muito simples e tiveram por objetivo apenas ilustrar o conceito de significância. Espero que eles tenham mostrado que um valor alto do coeficiente de correlação, tanto faz se for r ou r S, não é suficiente para se acreditar que existe de fato uma relação entre as duas variáveis. Quando o tamanho n da amostra é pequeno, é relativamente fácil (isto é, muito provável) obter um pareamento perfeito entre as duas variáveis apenas pelo acaso. Em um caso assim, tanto as regras da pesquisa científica como as regras do bom senso nos indicam que não devemos considerar um valor alto de r como significante. Por outro lado, quando n for grande, mesmo valores baixos do coeficiente de correlação (por exemplo, r = 0,2 ou menor) são difíceis de ser obtidos por mero acaso e, portanto, são considerados como significantes. É por isso que é muito comum hoje em dia lermos reportagens em jornais dizendo que algum estudo mostrou que existe uma pequena, mas significante tendência de algo (em geral, associada a uma pesquisa sobre a correlação entre algum alimento e alguma condição da saúde humana). Teste de Significância para o Coeficiente de Correlação de Pearson Agora que já fizemos uma discussão sobre o que é a significância do coeficiente de correlação e de porque é importante testar a significância dele quando se faz um estudo de correlação, vamos apresentar os passos necessários para se fazer um teste de significância para o coeficiente de correlação de Pearson entre duas variáveis X e Y. Primeiramente, vamos definir qual é objetivo do teste. Quando se coleta uma amostra de n pares de valores das variáveis (X, Y) e se calcula o seu coeficiente de correlação r, o que se quer saber é se esse valor de r é significante. Para se fazer isso, vai-se assumir como hipótese nula H 0 que não existe correlação para a população das variáveis X e Y (o que implicaria que o valor obtido para r ocorreu por mero acaso). Costuma-se denotar o coeficiente de correlação para a população das variáveis X e Y por ρ (não confundir com o coeficiente de correlação de Spearman). 5

6 Portanto, temos dois coeficientes de correlação: um para a população de valores de X e Y, denotado por ρ, que é puramente teórico; e o outro para uma amostra de n pares (x i, y i ), i = 1,..., n, retirada da população, denotado por r. A figura abaixo ilustra a situação. O valor de r é usado para estimar o coeficiente de correlação ρ e o teste de significância desse valor consiste em assumir como H 0 que ρ = 0 (ausência de correlação) para verificar se sob tal hipótese o valor obtido para r é muito ou pouco provável. Se a probabilidade de se obter o valor de r for menor que um certo valor crítico (por exemplo, 0,05), rejeita-se H 0 e assume-se como mais provável a hipótese alternativa, segundo a qual ρ 0. Os passos para se fazer um teste de significância para o coeficiente de correlação de Pearson serão apresentados aqui na forma de uma receita. Embora eles sejam dados como uma receita, vocês devem ter em mente que eles, na verdade, podem ser justificados matematicamente de maneira rigorosa, desde que a condição na qual eles se baseiam seja satisfeita. Condição para o teste de significância do coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y: a distribuição de probabilidade conjunta para a população das variáveis X e Y é normal bidimensional. Não se assuste com o enunciado acima. Ele apenas quer dizer que se tivéssemos acesso à população das variáveis X e Y e fizéssemos um gráfico das freqüências de ocorrência conjunta de pares de valores (x, y), esse gráfico seria bem aproximado pela função teórica que generaliza a função normal para duas dimensões, cujo gráfico é mostrado abaixo. 6

7 Em geral, quando se trabalha com amostras de n pares de valores (x, y) onde n 30, a condição de normalidade das duas variáveis é satisfeita. Assumindo que a condição acima é válida, temos as seguintes hipóteses: H 0 : ρ = 0; H A : ρ 0. Siga, então, os passos: 1. Escolha um valor crítico α para a significância. Por exemplo, α = 0,05; 2. Como a amostra contém n pares de dados, consulte uma tabela da distribuição t de Student e obtenha o valor de t(gl) para o valor de α escolhido, onde gl = n 2; 3. Calcule a variável, t 0 = r n 2 ; 2 1 r 4. Se t 0 > t(gl) ou t 0 < t(gl), rejeita-se H 0. Caso contrário, não se rejeita H 0. a. Se H 0 for rejeitada, deve-se concluir que o valor de r obtido para a amostra é significante e que existe correlação r entre as variáveis X e Y com nível de significância igual a α (a probabilidade p de se errar é menor a α); b. Se H 0 não for rejeitada, deve-se concluir que o valor obtido de r não é significante: tanto pode haver correlação r como não haver correlação (ρ = 0). 7

8 Quando se apresenta o resultado de um teste como este em um artigo científico, a norma recomendada pela Associação Americana de Psicologia é a seguinte: Quando o resultado do teste (por exemplo, r = 0,243) dá que o valor de r é significante: r = 0,243 *, p < 0,05. Quando o resultado do teste dá que o valor de r não é significante: r = 0,243, ns. Teste de Significância para o Coeficiente de Correlação de Spearman O coeficiente de correlação de Spearman é um tipo de medida estatística que os estatísticos chamam de não-paramétrica. O coeficiente de correlação de Pearson, ao contrário, é uma medida chamada de paramétrica. O significado disso é que não há restrições para o teste de significância do coeficiente de correlação de Spearman, ao passo que o teste de significância para o coeficiente de correlação de Pearson depende da condição de normalidade da distribuição bidimensional de X e Y (ou de se tomar uma amostra com n > 30). Como não há restrições para o teste de significância do coeficiente de correlação de Spearman, ele pode ser aplicado sempre. Os passos para o teste são os mesmos apresentados acima para o teste de significância para o coeficiente de correlação de Pearson: A hipótese nula é H 0 : ρ = 0; e a hipótese alternativa é H A : ρ 0. Escolhe-se um nível de significância α; Consulta-se uma tabela da distribuição t de Student para se obter o valor de t(gl) para o valor de α escolhido, onde gl = n 2; n 2 Calcula-se a variável t0 = r ; 2 1 r Se t 0 > t(gl) ou t 0 < t(gl), rejeita-se H 0 ; caso contrário, não se rejeita H 0. 8

9 Um resumo do procedimento recomendado quando se quer fazer um teste de significância para o coeficiente de correlação entre duas variáveis X e Y está dado no diagrama abaixo. 9

10 Exemplo. Estatística II Antonio Roque Aula 15 Vários trabalhos indicam que estudantes universitários lidam com stress diariamente e que isso pode ter um impacto em sua saúde. Para pesquisar a relação entre stress e saúde foi feito um estudo de correlação com um grupo de estudantes universitários voluntários. Os sujeitos eram 50 estudantes universitários, 25 do sexo feminino e 25 do sexo masculino. A cada um foi entregue um questionário, para ser preenchido em casa e devolvido ao pesquisador em dois dias. O questionário era composto de duas partes. A primeira era um questionário sobre stress que pedia ao sujeito para indicar, de uma lista de 31 situações estressoras, quais ele tinha vivenciado nos últimos 12 meses. Cada situação estressora tem um escore, conhecido apenas pelo pesquisador, e a soma deles resulta no escore geral de stress do sujeito; quanto maior este escore, mais estressante foi a vida do sujeito nos últimos 12 meses. A outra parte do questionário era um questionário de avaliação de saúde, que testa 8 critérios de saúde de uma pessoa. Os critérios são: (1) funcionamento físico, (2) limitações nas atividades diárias devido a problemas físicos, (3) limitações nas atividades diárias devido a problemas emocionais, (4) fadiga/falta de energia, (5) bem-estar emocional, (6) funcionamento social, (7) dor e (8) saúde geral. Quanto maior o escore do sujeito em cada um dos critérios desse questionário, mais saudável ele está neste critério. Os dois questionários usados (para medir stress e para medir saúde) estão disponíveis na internet (em inglês): Stress survey (2001). Morehead State University Life Enhancement Office. Site: RAND 36-item Health Survey 1.0 (1995). RAND Health Organization. Site: 10

11 Os escores obtidos na pesquisa estão mostrados na tabela abaixo. Estatística II Antonio Roque Aula 15 Escores Sujeito Sexo Stress F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M

12 Os coeficientes de correlação de Pearson para as correlações entre o escore de stress e cada um dos escores de saúde estão mostrados na tabela abaixo. Podemos usar o coeficiente de correlação de Pearson neste caso porque a amostra é grande (contém mais de 30 dados) Correlação Stress x 1 Stress x 2 Stress x 3 Stress x 4 Stress x 5 Stress x 6 Stress x 7 Stress x 8 r 0,030-0,177-0,171-0,094 0,166-0,011-0,114-0,001 t 0 0,211-1,247-1,205-0,654 1,166-0,079-0,793-0,006 n 2 48 A última linha da tabela acima dá os valores de t0 = r = r 2 2 necessários para o 1 r 1 r teste de significância (note que gl = 50 2 = 48). Consultando uma tabela para a distribuição t de Student (por exemplo, a tabela da próxima página), vemos que (para α = 0,05) em todos os casos acima t(48) < t 0 < t(48). Portanto, nenhuma dessas correlações é significante para um valor de α = 0,05. A tabela da distribuição t de Student dada na próxima página não mostra os valores de t para o valor de gl do problema (48), mas note que para gl = 40 o valor de t associado à probabilidade p = 0,05 é 2,0211. Este valor já é maior (em módulo) que qualquer um dos valores de t 0 listados na tabela, de maneira que o valor de t(48) será maior ainda (note que os valores de t(gl) crescem com gl). Como, para α = 0,05, os valores de t 0 estão entre t(48) e t(48), a probabilidade de eles serem obtidos não é menor que α e, portanto, não devemos rejeitar a hipótese nula. Concluímos, portanto, que os valores dos coeficientes de correlação obtidos não são significantes. 12

13 Tabela. Distribuição t de Student A primeira coluna indica o número de graus de liberdade (gl). Os cabeçalhos das outras colunas dão a probabilidade (p) de que t exceda numericamente o valor da casa (o valor da área pintada). g.l. p 0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0, , ,4142 6, ,706 25,542 63, ,32 2 0, ,6036 2,9200 4,3027 6,2053 9, , , ,4226 2,3534 3,1825 4,1765 5,8409 7, , ,3444 2,1318 2,7764 3,4954 4,6041 5, , ,3009 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4, , ,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4, , ,2543 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4, , ,2403 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3, , ,2297 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3, , ,2213 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3, , ,2145 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3, , ,2089 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3, , ,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3, , ,2001 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 3, , ,1967 1,7530 2,1315 2,4899 2,9467 3, , ,1937 1,7459 2,1199 2,4729 2,9208 3, , ,1910 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3, , ,1887 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3, , ,1866 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3, , ,1848 1,7247 2,0860 2,4231 2,8453 3, , ,1831 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3, , ,1816 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3, , ,1802 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3, , ,1789 1,7109 2,0639 2,3910 2,7969 3, , ,1777 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3, , ,1766 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3, , ,1757 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3, , ,1748 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3, , ,1739 1,6991 2,0452 2,3638 2,7564 3, , ,1731 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3, , ,1673 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 2, , ,1616 1,6707 2,0003 2,2991 2,6603 2, , ,1559 1,6577 1,9799 2,2699 2,6174 2,8599 0, ,1503 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,