MEDIÇÃO DE GRANDEZAS. Ana Maria Torres da Silva Engenharia Civil Rafael Santos Carvalho- Engenharia Civil

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA MEDIÇÃO DE GRANDEZAS Ana Maria Torres da Silva Engenharia Civil Rafael Santos Carvalho- Engenharia Civil

2 Medindo Grandezas Medimos cada grandeza física em unidades apropriadas por comparação com um padrão. A unidade é um nome particular que atribuímos as medições dessas grandezas. Ex.: O metro é uma unidade da grandeza comprimento e foi padronizada pela distância que a luz percorre no vácuo em uma certa fração de segundos.

3 Medindo Grandezas Felizmente, não precisamos definir padrões para todas as grandezas, pois muitas delas estão interligadas e assim podemos definir as unidades desta grandeza em decorrência dos padrões já estabelecidos. Ex.: A velocidade é a razão entre comprimento e o tempo.

4 Sistema Internacional de Unidades O SI foi estabelecido em 1971 na 14ª Conferencia Geral de Pesos e Medidas, onde foi estabelecido sete grandezas fundamentais: Grandeza Unidade Símbolo Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Corrente elétrica Ampere A Temperatura termodinâmica Kelvin K Quantidade de matéria Intensidade luminosa Mol mol 12 candela cd

5 Sistema Internacional de Medidas Para expressar as grandezas muito grandes ou muito pequenas usamos a notação cientifica, que emprega potencias de 10. Ex.: m = 3,56 x 10 9 m 0, s = 4,92 x 10 7 s

6 Sistema Internacional de Medidas Também para facilitar a notação de grandezas muito grandes ou muito pequenas, trocamos as potencias de 10 por prefixos já estabelecidos pelo SI. Fator Prefixo Símbolo 10 9 giga- G 10 6 mega- M 10 3 quilo- k 10 2 centi- c 10 3 mili- m 10 6 micro- µ 10 9 nano- n

7 Conversão em Cadeia Nesse método multiplicamos o valor original por fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual a unidade). Por exemplo: 1min 60s = 1; 60s 1min = 1

8 Conversão em Cadeia Exemplo 1: Converta 2 minutos em segundos: 2min = (2min)(1) = (2min)( 60s 1min ) = 120s1

9 Conversão em Cadeia Exemplo 2: Quando segundo a lenda, Feidípides correu de Maratona até Atenas, em 490a.C., para levar a notícia da vitória dos gregos sobre os persas, ele provavelmente correu a uma velocidade de cerca de 23 rides por hora (rides/h). O rides é uma antiga unidade grega para comprimento, como o stadium e o plethron. 1 ride valia 4 stadia, 1 stadium valia 6 plethra e, em termos de uma unidade moderna um plethron equivale a 30,8 metros. Qual foi a velocidade de Feidípides em quilômetros por segundo (km/s)?

10 Conversão em Cadeia Exemplo 2: 23 rides/h = (23 rides x ( stadia 6 pletra )(4 )( ) 1 ride 1 stadium 30,8m 1km 1 )( )( ) 1 pletron 1000m 3600s = 4,7227 x 10 3 km/s.

11 Ordem de Grandeza A Ordem de Grandeza de um número é a potência de 10 que aparece quando o número é expresso em notação cientifica. Ex.: A = m A = 2,8 x 10 4 m Logo a ordem de grandeza de A em metros é igual a 4.

12 Massa Específica Massa especifica ρ de uma substancia é massa por unidade de volume. ρ = m V As massas especificas são normalmente expressas em quilogramas por metro cúbico ou em gramas por centímetro cúbico.

13 Conversão em Cadeia Exemplo 3: A massa específica do ferro é 7,87 g/cm³, e a massa de um átomo de ferro é 9,27 x kg. Se os átomos são esféricos e estão densamente compactados, qual é o volume de um átomo de ferro?

14 Conversão em Cadeia Exemplo 3: 9,27 x kg ( 1000g 1kg ) = 9,27 x g V= 9,27x10 23 g 7,87 g/cm³ = 1,18 x cm³ = 1,18 x m³

15 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Cinemática I Ana Maria Torres Engenharia Civil Rafael Santos Carvalho- Engenharia Civil

16 Cinemática Na cinemática vamos estudar os movimentos sem levar em consideração suas causas. Isso quer dizer que vamos determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante, sem nos preocuparmos com suas causas. 16/67

17 Conceitos de Movimento Referencial: Corpo de referência para ver se outro corpo está ou não em movimento; Ponto Material: Todo corpo cujas as dimensões não interferem no estudo. (depende do referencial) Corpo Extenso: Não pode ter massa desprezada. (não depende do referencial) 17/67

18 Praticando... Leia com atenção a tira da Turma da Mônica mostrada a seguir e analise as afirmativas que se seguem, considerando os princípios da Mecânica Clássica. 18/67

19 Praticando... I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo Cebolinha. II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha. III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais pode estar em repouso. Estão corretas: a) apenas I b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 19/67

20 Conceitos de Movimento Movimento: Distância entre o corpo e o referencial varia com o tempo. Repouso: Distância entre o corpo e o referencial não varia com o tempo. Trajetória: Linha determinada, caminho percorrido por um corpo ao decorrer do tempo. 20/67

21 Conceitos de Movimento Posição Escalar: Distância do corpo até a origem das posições. 21/67

22 Deslocamento Escalar É a diferença entre espaço final (S f ) e o espaço inicial (S i ) do móvel. Digite a equação aqui. s= S f S i 22/67

23 Conceitos de Movimento Espaço percorrido: Todo o caminho percorrido. Deslocamento: Distância entre dois objetos. 23/67

24 Distância Percorrida É a soma de todos os deslocamentos. d = d 1 + d 2 24/67

25 Praticando... Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, onde, mudando o sentido do movimento, vai até o km 32. O deslocamento escalar e a Distância efetivamente percorrida são, respectivamente: a) 28 km e 28 km d) 18 km e 18 km b) 18 km e 38 km e) 38 km e 18 km c) -18 km e 38 km 25/67

26 Velocidade Média É a razão entre o deslocamento ( s ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ): V m = s t 26/67

27 Praticando... Maria saiu de Mosqueiro às 6 horas e 30 minutos, de um ponto da estrada onde o marco quilométrico indicava km 60. Ela chegou a Belém às 7 horas e 15 minutos, onde o marco quilométrico da estrada indicava km 0. A velocidade média, em quilômetros por hora, do carro de Maria, em sua viagem de Mosqueiro até Belém, foi de: a) 45 d) 80 b) 55 e) 120 c) 60 27/67

28 Aceleração Escalar Média É a razão entre a variação da velocidade escalar instantânea ( v ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ). A m = v t 28/67

29 Praticando... Um carro de corrida é acelerado de forma que sua velocidade em função do tempo é dada conforme a tabela. Determine o valor da aceleração média desse carro. R: 6,66 m/s² 29/67

30 Praticando... Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x).

31 Equações do Movimento com Aceleração Constante Equação Grandeza que falta v = v 0 + at x x 0 x x 0 = v 0 + at v v 2 = v a(x x 0 ) x x 0 = 1 2 v 0 + v t t a x x 0 = vt 1 2 at² v 0

32 Equações: Função horária do espaço Função horária da velocidade Torricelli 32/67

33 Movimento Vertical QUEDA LIVRE No vácuo, todos os corpos soltos simultaneamente de uma mesma altura chegam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. 33/67

34 Movimento Vertical Aceleração da gravidade(g) = 9,8m/s² Como a aceleração da gravidade de queda livre é vertical e para baixo, podemos representá-la pelo vetor: 34/67

35 Praticando... Uma bola é abandonada do repouso de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s². Determine: a) A função horária do espaço, a função da velocidade e a equação de Torricelli para o movimento da bola, considere a trajetória orientada para baixo com a origem no ponto em que o corpo foi abandonado. b) O tempo em que a bola demora para chegar ao solo. R.: a) s = 5t², v= 10t, v²=20(s-s0) b) t = 4s 35/67

36 Lançamento Vertical A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical reside nas condições iniciais. No lançamento vertical a velocidade inicial não é nula, mas continua valendo a propriedade de que os corpos, sob ação exclusiva da atração gravitacional, têm a mesma aceleração. Subida: retardado uniformemente, pois a velocidade e a aceleração tem sinais diferentes. Descida: acelerado uniformemente. 36/67

37 Equações: Altura máxima: (v = 0) em Torricelli O tempo de subida = tempo de descida O tempo total = tempo de subida + tempo de descida 37/67

38 Praticando... Do alto de uma torre, a uma altura de 35m em relação ao solo, um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s. Despreze a resistência do Ar e considere g=10m/s². Determine: a) O tempo até o corpo atingir o ponto de altura máxima; b) A altura máxima atingida pelo corpo,em relação ao ponto de lançamento e ao solo. R: a) 3,0 s b) 45 m, 80m 38/67

39 Obrigada pela atenção! /67