Conjuntos. Notações e Símbolos

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1 Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas as palavras coleção, seleção, categoria ou classe têm algum significado em comum. Para um tratamento matemático rigoroso, os matemáticos preferem o termo conjunto. Definição Um conjunto é uma coleção de qualquer tipo de objeto - pessoas, animais, plantas, códigos genéticos, números... Um conjunto fica bem definido quando é claro se um objeto pertence ou não pertence ao conjunto, em outras palavras, um conjunto fica determinado por uma propriedade que seus elementos satisfazem. Um conjunto pode ter um número finito ou infinito de membros, ou elementos. Correspondentemente a gente diz que o conjunto é finito ou infinito. Exemplo: O conjunto dos pacientes em um hospital. Este é um conjunto muito vago. Mas de fato podemos particularizar um conjunto, atribuido uma propriedade especial em comum a cada membro do conjunto, como por exemplo o conjunto dos pacientes que sofrem de reumatismo. Notações e Símbolos Representamos os conjuntos por letras maiúsculas tais como A, B, C. O conjunto vazio não contém nenhum elemento e têm um símbolo padrão. Os elementos de um conjunto são reunidos por chaves. Exemplo: {5, 6, 8}. Exemplos de conjuntos finitos: O conjunto dos cinco sentidos: {audição, tato, olfato, paladar, visão}. Conjuntos numéricos: A = {1, 2, }. Podemos representar conjuntos através de diagramas, de acordo com a figura abaixo. 1

2 Exemplos de conjuntos infinitos: Para conjuntos grandes é inconveniente, ou impossível relacionarmos seus elementos. Então caracterizamos os elementos por meio de afirmações matemáticas. Exemplo: Vamos definir o conjunto de todos os números maiores do que 5. Consequentemente, introduzimos um elemento variável x e caracterizamos os elementos requerendo que x > 5. O conjunto é então escrito: {x x > 5} Lemos o conjunto de todos os números x tal que x seja maior que 5. A barra vertical significa tal que. A teoria de conjuntos pode ser utilizada para apresentar as soluções de problemas matemáticos. Por exemplo, x 2 = 4 possui as duas soluções x = 2 e x = 2. Esses valores formam o conjunto solução da nossa equação. Por isso, podemos escrever Da mesma forma, encontramos {x x 2 = 4} = {2, 2} {t 5t + 8 = } = { 1} Exemplo de desigualdades e suas soluções: {x x + 5 < 7} = {x x < 2} Quando escrevemos x T, significa que x é um elemento do conjunto T, em outras palavras, x T é lido como: x pertence a T. Vamos utilizar o símbolo / quando quizermos dizer que um elemento não pertence ao conjunto. Exemplo: 5 2 / N. 2

3 Relações entre conjuntos Inclusão Quando escrevemos A B significa que A está contido em B. A é chamado um subconjunto de B. Isto significa que se eu tomar qualquer elemento de A, então este elemento estará em B. Em símbolos: A B x A x B Exemplo: A = {1, 2}, B = {1, 2, }. Dizemos que A é um subconjunto de B. Operações entre conjuntos Com dois conjuntos arbritários eu posso sempre formar um novo conjunto, simplesmente combinando os membros. Nós chamamos este novo conjunto de união e escrevemos em símbolos: C = A B E lê-se A união com B. A união, C = A B vai conter exatamente aqueles elementos (ou membros) que estão contidos em A ou em B ou em ambos eles. Definição: A B = {x x A ou x B}; Exemplo: A = {1, 2, }, B = {, 1, 5, 4}. A B = {1, 2,, 4, 5}.

4 A intersecção, C = A B vai conter exatamente aqueles elementos (ou membros) que estão contidos em A e em B. Definição: A B = {x x A e x B}; Exemplos: A = {1, 2, }, B = {, 1, 5, 4}. A B = {1, }. Conjuntos numéricos Os números reais serão amplamente utilizados na matemática deste curso. De fato, os números reais serão frequentemente operados em equações, inequações que aparecerão naturalmente no desenvolvimento do curso. Vamos começar a aula recordando os diferentes tipos de números com os quais vocês já se familiarizaram no ensino médio. Números Naturais Os números naturais tiveram suas origens na contagem de objetos, começando com o número um. Denotamos o conjunto dos números naturais pela letra N. Este conjunto pode ser escrito por: N = {1, 2,, 4, 5...} 4

5 Números Inteiros Os números inteiros compreendem todos os inteiros positivos e negativos, juntamente com o número real zero. Denotamos o conjutno dos números inteiros pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,,...} Podemos obter alguns subconjuntos do conjunto Z. Conjunto dos números inteiros exceto o número zero Z = {..., 4,, 2, 1, 1, 2,, 4,...} Conjunto dos números inteiros não negativos Z + = {0, 1, 2,, 4,...} Conjunto dos números não positivos Z = {..., 4,, 2, 1, 0} Vamos resumir as regras de sinais associadas à operação de adição a partir do exemplo abaixo: 5 + (+) = 5 + = ( ) = 5 = 2 5 (+) = 5 = 2 5 ( ) = 5 + = 8 Propriedades da adição 1. Propriedade Comutativa. Sejam a e b números inteiros. Então a + b = b + a 2 + = 1 = 2 5

6 2. Propriedade Associativa. Sejam a, b e c números inteiros. Então a + (b + c) = (a + b) + c. Existência do elemento neutro 4 + ( 2 + ) = = 5 = (4 + ( 2)) + Existe um único elemento, denominado neutro, que indicaremos por 0, tal que a + 0 = a, para todo a Z 4. Existência do elemento oposto Para cada inteiro a existe um único elemento que chamaremos oposto de a e indicaremos por a, tal que a + ( a) = ( 2) = 0 o número 2 é o oposto do número 2 Propriedades da multiplicação 1. Propriedade Comutativa. Sejam a, b números inteiros. Então a b = b a 2. Propriedade Associativa. 4 = 1 = 4 ( ) 6

7 Sejam a, b e c números inteiros. Então a (b c) = (a b) c (4 2) = 24 = ( 4) (2). Existência de Elemento Neutro. Existe um único elemento, diferente de zero, denominado neutro multiplicativo, que indicaremos por 1, tal que 1 a = a para todo a Z 4. Propriedade Cancelativa. Sejam a, b, c Z, com a 0, tem-se que, Exemplo: Se a b = a c, então b = c b = 4 b = 12 b = 4 5. Propriedade Distributiva. Sejam a, b, c Z, tem-se que a (b + c) = a b + b c (5 + 2) = 7 = 21 E temos que 5 + ( ) 2 = 15 6 = 21. Logo concluímos que: (5 + 2) = 5 + ( ) 2 Regra de Sinais para a Multiplicação (+) (+) = (+) (+) ( ) = ( ) ( ) (+) = ( ) ( ) ( ) = (+) 7

8 Divisibilidade Múltiplos e divisores Dizemos que um número inteiro a divide um número inteiro b se b = a c, para algum c Z Neste caso diz-se também que a é divisor de b e que b é múltiplo de a. Ou ainda que b é divisível por a. Por exemplo, 2 é divisor de 6 pois 6 = 2. Dizemos que 6 é múltiplo de 2. Números primos: Um número p Z se diz primo se (i) p 0 e p 1; (ii) Os únicos divisores de p são 1 e p ou 1 e p; Por exemplo, o número é um número primo pois admite a única decomposição = 1 O número 2 é primo pois admite a única decomposição Números racionais 2 = 1 2 Um número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros. Nós denotamos o conjunto dos números racionais pela letra Q. O conjunto dos números racionais pode ser escrito como: Exemplos de números racionais: Q = { a b : a Z;b Z } 2, 7 5, 2 5 Existem algumas formas de se representar um número racional. Além de representar um número racional por uma fração, é comum representarmos um número racional na forma decimal. Para se obter a representação decimal de uma fração a basta efetuar a divisão de a por b. b Exemplos 8

9 2 4 = 0.75 (decimal finita) = (decimal infinita de período 6) 7 = (decimal infinita de período 6) 11 Como as decimais infinitas periódicas, também conhecidas como dízimas periódicas, representam números racionais, isto significa que certamente podemos a partir das decimais infinitas periódicas obter uma fração. Vamos mostrar que a dízima periódica é igual a 2, ou seja, queremos mostrar essencialmente a seguinte igualdade Para isso, chame = 2 9 (1) x = (2) Multiplicando por 10 ambos os lados da Equação (2) temos que: 10 x = () 10 x = (4) Vamos subtrair a Equação (4) da Equação (2). Fazemos isso subtraindo o primeiro membro da Equação (4) do primeiro membro da Equação (2) e subtraindo o segundo membro da Equação (4) do segundo membro da Equação (2). Vejamos como fica: 10x x = (5) 9x = 6 (6) x = 6 9 (7) x = 2 (8) Então, de fato, é um número racional e pode ser escrito como a fração 2. Considere a seguinte situação: 9

10 Uma pessoa viaja 120 Km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa para percorrer 180 Km com a mesma velocidade? Note que a grandeza velocidade é definida por: v = variação da distância variação do tempo = 180? Dizemos que a igualdade acima é uma proporção, e os números que representam as distâncias e o tempo são proporcionais. Para determinar o denominador da fração do segundo membro da equação nós usamos o fato: Em uma proporção, os produtos do numerador de uma fração pelo denominador da outra fração são iguais Representamos o denominador que se quer descobrir pela variável x e aplicamos o fato enunciado acima, ou seja, Então = 180 x 120 x = x = x = 60 x = x = Logo a pessoa dispenderá três horas para percorrer 180 Km, viajando a uma mesma velocidade. Encontramos: = 180 Lê-se 120 está para 2 assim como 180 está para Exercício: Numa sala existem 0 alunos, dos quais 12 são meninas: (a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma? (b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma? (c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos? 10

11 Operações com frações Adição de frações A adição e subtração de frações que têm denominadores iguais, são efetuadas simplesmente conservando o denominador e realizando a operação com os numeradores. Por exemplo: (a) = (b) = 5 8 = 8 7 = 2 8 Frações equivalentes são as frações que têm o mesmo valor, mas cujos termos são diferentes. Por exemplo, 2 = 4 6 De fato para obter a fração equivalente 4 nós multiplicamos o numerador e o denominador da fração 2 pelo mesmo número, que no caso é o número 2. Considere 6 a seguinte adição de frações: O número 6 é múltiplo comum a 2 e a. Então ele será o denominador das frações equivalentes às frações dadas, ou seja, = Multiplicamos o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo número para obter o denominador = 5 6 Similarmente podemos usar o mesmo procedimento para simplificar uma fração; dividimos cada termo da fração pelo mesmo número. Por exemplo = = Pois dividimos tanto o numerador quanto o denominador pelo número 4. Portanto, a fração é a forma simplificada da fração

12 Para somar frações usamos o mínimo múltiplo comum, MMC. Apresentamos um dispositivo prático para o cálculo do MMC, que considera a decomposição em fatores primos, no exemplo abaixo: Exemplo: Calcular Temos que o MMC entre 12, 15 e 4 é igua a 60. Então = = =

13 Multiplicação de frações Considere a figura abaixo. quarto da figura. Observe que a parte hachurada representa um Para representar 1 da parte hachurada, ou seja, 1 de 1, nós dividimos a parte 4 hachurada em três partes iguais e estendemos a divisão para toda a figura. Observe que com esta divisão, cada parte da figura corresponde a 1 da figura 12 toda. Ou seja, 1 1 de 4 = = = 1 12 Concluímos que para multiplicar frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Na operação de multiplicação de frações podemos simplificar a operação usando o processo de cancelamento = 5 9/ / 8 =

14 Para dividir duas frações, nós conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração. Exemplo: = = 24 4 = 6 Números Irracionais Os números irracionais se caracterizam por terem representações decimais infinitas e não periódicas. Por exemplo, podemos citar o número π =, Note que estes números não podem ser representados sob a forma de fração, senão teriam representações decimais finitas ou periódicas. Números reais O conjunto dos números reais é constituído dos números racionais e dos números irracionais. A reta Podemos construir de maneira intuitiva o conjunto dos números reais a partir dos números racionais. Considere uma reta formada por números racionais com uma origem 0 e orientação positiva para a direita: Nós conseguimos representar como pontos todos os números racionais como podemos observar na Figura acima. Mas note por-exemplo que existe um buraco onde deveria estar o número irracional π. O conjunto dos números reais completa esta reta tapando, com números irracionais, todos os buracos de modo que a reta real fica dividida em duas semi-retas. Neste sentido podemos estabele- 14

15 cer uma correspondencia biunívoca entre os pontos de uma reta orientada (reta a qual se atribui um sentido positivo) e os elementos de R. Em outras palavras, podemos representar qualquer número real como um ponto da reta. Propriedades dos Números Reais Potenciação Seja a um número real (chamado base) e m, n inteiros positivos (chamados expoentes), então: a 1 = a; a n = a a a a...a; (com n fatores) Propriedades 1. a m a n = a m+n ; = 8 4 = 2 E temos que 2 +2 = 2 5 = 2; Logo, = a m a n = am n, a 0; E temos que, = 7 2 = 49. Logo,. (a m ) n = a m n ; 7 4 = = =

16 (2 2 ) = 4 = 64 E temos que Logo, 2 2 = 2 6 = 64 (2 2 ) = (a b) n = a n b n ; ( 2) 2 = 6 2 = 6 E temos que = 9 4 = 6 Logo, Observação: a 0 = 1; a n = 1 an, a 0; ( 2) 2 = (Por exemplo: 2 2 = = 1 4 ) Expressões Aritméticas Uma expressão aritmética é uma expressão que envolve uma sequência de operações matemáticas com números. Exemplo { [ ( ) 2 ] } ( ) O a sequência do cálculo de uma expressão numérica deve obedecer à ordem das operações: (potenciação, radiciação); (multiplicação, divisão); (soma, multiplicação), e resolvendo primeiramente a quantidade dentro do: parênteses, ( ), depois colchetes [ ] e por fim chaves{ }. 16

17 Radiciação Seja b um número real e n um número natural, dizemos que a raíz n-ésima de b é um número real a, e denotamos por n b, quando n b = a a n = b. Temos que b é o radicando; n é o índice; é o radical; n é a raíz n-ésima de b; Observação: Quando n é um índice par, devemos ter b 0. Raíz quadrada 4 = 2 pois 2 2 = 4 Raíz cúbica 8 = 2 pois ( 2) = 8 Propriedades Se a R +, b R, m Z, n N p N, temos: 1. n am = n p a m p Considere n = 2, m = 6 e p = 2 26 = 2 = 8 E temos que Logo concluímos que = = = n a b = n a n b 17

18 = 100 = 10 E temos que 4 25 = 2 5 = 10 Logo concluímos que = 4 25 n a n a. b = n, b 0 b E temos que Logo concluímos que 64 8 = 8 = = 4 2 = = 8 4. ( n a) m = n a m ( 2 2) 4 = = = = = 4 5. E temos que: Logo concluímos que p n a = p n a 2 24 = 16 = 4 ( 2 2) 4 =

19 = 4 = 2 E temos que Logo concluímos que 2 64 = 6 64 = = 64 Potência de expoente racional Definição: Dados a R, a > 0 e p q Q, (p Z e q N), define-se potência de base a e expoente p q pela relação: a p q = q a p Exemplos 1 2 = ; 2 1 = 2; ( 2 ) 1 = ( 2 ) 1 = 2 Observação: As propriedades de radiciação enunciadas anteriormente também se verificam para potências de expoente racional. 19