SIMULADO DE MATEMÁTICA 2 COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

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1 SIMULADO DE MATEMÁTICA TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 0 A 08 Assinale as proposições verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas. QUESTÃO 0. Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas duas turmas de um curso de Inglês. HOMENS MULHERES Turma A 35 5 Turma B 0 0 Com base nesses dados, é correto afirmar: (0) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é 56,5%. (0) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é 8,5%. (04) A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de aproximadamente 6,6%. (08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a 595. (6) O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual a 95. (3) Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois concorrentes então o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três primeiros lugares é 70.

2 (0) VERDADEIRA. Número de casos possíveis: n(e) = 80. Número de casos favoráveis: n(a) = ,5 p = = = 56,5% (0) FALSA. Número de casos possíveis: n(e) = 80. Número de casos favoráveis: n(a) = ,5 p = = = 56,5% (04) FALSA Número de casos possíveis: n(e) = C 30,3 = = Número de casos favoráveis: n(a) = 0 C 0, = p = = 0, = 46,80% Número de casos favoráveis: n(a) = C 35, = = 595. (6) FALSA Número de casos favoráveis: n(a) = C 5, C 0, = = = = 9950 (3) VERDADEIRA. Número de casos favoráveis: n(a) = = 70. QUESTÃO 0. Sobre Geometria de Posição pode-se afirmar que: (0) Se dois planos são paralelos e uma reta é oblíqua a um deles, então é oblíqua ao outro. (0) Se a reta r é paralela ao plano α, então não existe plano β contendo a reta r e perpendicular ao plano α. (04) Se as retas r e s são reversas, então existe uma reta t perpendicular a essas retas.

3 (08) Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a esses planos é paralela à interseção deles. (6) Se a reta r é perpendicular ao plano α, então as retas contidas em α são perpendiculares ou ortogonais à reta r. (3) Se uma reta é perpendicular a duas retas de um plano, então é perpendicular ao plano. (0) VERDADEIRA. Na figura ao lado β // δ e r é oblíqua a β e obliqua a δ (0) FALSA. A reta r é paralela `reta s α r // α. A reta r β e β α. (04) VERDADEIRA. As retas r e s são reversas e a reta t é perpendicular a essas retas. α β, β α = r, s // α e s // β s // r. (6) VERDADEIRA. Se a reta r é perpendicular ao plano α, então ela é perpendicular a todas retas contidas em α que passam pelo ponto P = r α e ortogonal a todas as retas do plano α que passam fora de P. (3) FALSA A reta pode estar contida no plano. 3

4 QUESTÃO 03 Considerando-se a função real x + 4x; se x < 0 x f (x) = ; se 0 x < 3, pode-se afirmar: x 3; se x 3 (0) f assume valor mínimo para x = 3. (0) A imagem de f é o intervalo [ 7; + [. (04) A função f é crescente no intervalo [ ;7] (08) A reta y = intercepta o gráfico de f em quatro pontos. (6) Se x < 4, então f(x) > 0. Analisando o gráfico tem-se a solução da questão (0) VERDADEIRA. Para x = 3 f(3) = (3) 3 = 7. (0) VERDADEIRA. (04) FALSA. No intervalo [ ; 7] decrescente. (6) VERDADEIRA. Se x < 4, então f(x) > 0. a função f não é crescente nem QUESTÃO 04 Considere os pontos A = (, ), B = (3, 4) e C = (5, ). É verdade que: (0) A distância entre os pontos A e B é u.c. (0) A área do transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão k =, é um 3 triângulo de área 9 7 u.a. (04) A equação da reta AB na forma reduzida é y = x +. 4

5 (08) A altura do triângulo ABC relativa ao lado AB é igual a 7 u.c. (6) Se o ponto P = (p, 3) é tal que o ângulo P ĈB é reto, então p =. (3) A equação da circunferência que tem AB como diâmetro é x + y 4x 6y + = 0. (0) FALSA. ( 3 ) + ( 4 ) = = AB =. (0) VERDADEIRA. A área do triângulo ABC é S =. 3 4 = =. 4 = 7 5 O transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão k =, é um triângulo A B C 3 semelhante a ele. Os lados S deste triângulo medem dos lados do triângulo ABC. A'B'C' SABC 7 = SA'B'C' = = u.a. 3 S (04) VERDADEIRA. 4 y = + 3 ( x ) y = x y = x A = (, ), B = (3, 4) e C = (5, ). A medida do segmento CH é a distância do ponto C = (5, ) á reta AB cuja equação é x y + = 0, logo AH = = = + 7 ABC 5

6 (6) FALSA. Se o ângulo P ĈB é reto, BP = BC + PC ( p 3) + ( 3 4) = ( 5 3) + ( 4) + ( p 5) + ( 3 + ) p 6p = p (3) VERDADEIRA. 0p p = 60 p = 5 Como AB = (item 0), o raio da circunferência mede e o seu centro é o ponto M =, = (,3) A equação da circunferência é: ( x ) + ( y 3) = x + y 4x 6y + 3 = 0 x + y 4x 6y + = 0 QUESTÃO 05 Considerando-se a função real f(x) = 3 + x e sendo g: A R a sua inversa, pode-se afirmar: (0) A imagem de f é A (0) O gráfico de f está acima da reta y = 4 (04) g = log 5 (08) Se f(h(x)) = 3 + x então h = 0 4 (6) O conjunto solução da inequação f(x + ) < + 3. x é o intervalo ]0,[ (3) O gráfico da função g intercepta o eixo Ox no ponto (,0) Determinação da inversa de f(x); g(x) x g(x) g(x) f ( x) = 3+ x = 3 + = x 3 = x 6 g(x) = log (x 6) (0) VERDADEIRA. Se f(x) e g(x) são funções inversas, o conjunto domínio de f é o conjunto imagem de g e vice-versa. 6

7 (0) FALSA. Fazendo f(x) = 4 3+ de f(x) no ponto (, 4). (04) VERDADEIRA. x = 4 x g(x) = log(x 6) g = log ( 6) = log 5 Se f(h(x)) = 3 + x h(x) h(x) = x = 0 x = a reta y = 4 intercepta o gráfico 3+ = 3+ x = x h(x) = log (x) h(x) = log(x) + = log + = log + = + = h (6) VERDADEIRA. f(x + ) < + 3. x x+ x x x x x 3+ < < < 0. x x x 3± 9 8 x 3± x x As raízes da equação 3. + = 0 são: = = { = ou =. x x x 0 x A solução da inequação 3. + < 0 é: < < < < 0 < x <, logo o intervalo ] 0,[ (3) FALSA. O domínio da função g(x) = log (x 6) é dado para todo x tal que x 6 0 x 6 x 3. QUESTÃO 06 Seja a sequência ( a n ) = (x, x +, 4x,...). É verdade que: (0) Se ( a n ) é uma PA, então sua razão é r = 3. (0) Se ( a n ) é uma PG, então sua razão é q =. (04) Se ( a n ) é uma PA, então a soma dos seus 0 primeiros termos é 300. (08) Se a ) ( n é uma PG, então a soma dos seus 0 primeiros termos é igual a ( 0 ) (6) Se ( a n ) é uma PA, então o primeiro termo que excede 999 é o de ordem (3) Se ( a n ) é uma PG, então a + a = 7

8 (0) VERDADEIRA. 4x + x = (x+) 5x = 4x + x = ( a n ) = (, 5, 8,...) r = 3. (04) FALSA. ( a ) = (, 5, 8,...) a0 = = 9 S0 = ( + 9) 0 n = (0) VERDADEIRA. 4x.x = ( x + ) 4x = 4x + 4x + 4x = x = (a n ) =, 4, (6) FALSA. ( n,... q = S 0 0 ( ) ) = 4 = 4 55 ( a n ) =,,,... q = 4 0 ( ) a n ) = (, 5, 8,...) a > (n ) 3 > 999 3n 3 > 997 3n > 997 3n > 000 n > 666,666.. o primeiro termo que excede 999 é o de ordem 667. (3) VERDADEIRA. a 4 = ( ) 3 e ( ) 9 a = a + a = ( ) 9 ( ) QUESTÃO 07(UFBA006) 4 7 ( + ) = O custo de produção diária e a receita pela venda de um determinado produto fabricado por uma empresa, em milhares de reais, são dados, respectivamente, pelas funções C: [0, + [ [0, + [ e R: [0, + [ [0, + [, com C(x) = + log(x +) e R(x) = x, sendo x o número de centenas de unidades produzidas. Com base nessas informações, é correio afirmar: (0) As funções C e R são crescentes. (0) R é a função inversa de C. (04) Para uma receita igual a R$ 7.000,00, o custo é igual a R$ 4.000,00. (08) Se a produção é de 00 unidades, então um aumento de 00% na produção acarretará um aumento de 00% no custo. (6) A função lucro, definida por L = R C, satisfaz a condição L(0)=L(), mas não é uma função constante. 8

9 (3) A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função C. (0) VERDADEIRA. Tanto em C(x) quanto em R(x) as bases das respectivas funções são números maiores que. Veja a representação gráfica: (0) FALSA. C(x) = +log (x +) x = + log (y +) log (y +) = x y + = x C (x) = x R(x). (04) VERDADEIRA. R(x) = x = 7 x = 8 x = 3. Substituindo este valor em C(x), tem-se: +log (3 +), logo + = 4 (08) FALSA. Considerando a produção de centena e a produção com um aumento de 00% igual a 3 centenas e calculando os custos: C(x) = + log (x+) C() = + log = 3 e C(3) = +log 4= 4 um aumento de no custo, que equivale a = 0,3333 = 33,33% 3 9

10 (6) VERDADEIRA. L(x) = x [ + log (x+)] = x 3 log (x+). L(0) = 3 log (0+).=. L() = log =. A função L(x) é dependente de x, logo não é constante. Graficamente: (3) VERDADEIRA. Vide gráfico apresentado na resolução do item (0) QUESTÃO 08 (UFBA-0) Uma micro-empresa fabrica um determinado bem de consumo e o coloca à venda, no mercado. O custo de fabricação do produto é composto de uma parcela fixa, correspondendo a R$ 300,00, e mais R$ 3,00 por unidade fabricada. A quantidade vendida depende do preço da unidade e obedece à lei de uma função afim. Quando o preço da unidade é de R$ 6,00 são vendidas, mensalmente, 00 unidades do produto. Aumentando-se o preço em R$,00 por unidade, passam a ser vendidas 00 unidades mensais. Com base nessas informações, pode-se concluir: (0) A quantidade vendida em relação ao preço unitário é uma função decrescente. (0) Se o preço unitário for de R$ 3,00, serão vendidas exatamente 50 unidades. (04) O custo de fabricação de 000 unidades do produto é igual a R$ 3.300,00. (08) A receita máxima pela venda do produto é igual a R$.50,00. (6) Sendo L(x) o lucro em função das unidades vendidas, então L(x) = 0,0x + x 00. (3) Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente. (0) VERDADEIRA. Sendo p a quantidade de produtos vendidos e x o valor unitário: p(x) = ax + b que é satisfeita pelos pares ordenados (6, 00) e (8, 00). Logo: a = 00 6a + b = 00 a = 50 p(x) = 50x a + b = 00 b = 500 0

11 (0) FALSA. p (3) = = 350 (04) VERDADEIRA. C(000) = = R$ 3.300,00. ( 50x + 500) = 50x + 500x R(p(x)) = x a receita máxima pela venda do produto é igual a: ( 50000) = R = = R$.50,00. 4a 00 (6) FALSA. Sendo L(x) = 50x + 500x [ 3( 50x + 500) + 300] (3) FALSA. L(x) = 50x + 650x 800. Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente. 650 ± 50 = = 6500 = 50 x = x = 4 ou x = 9 x v = 6,50 00 Sendo o coeficiente de x um número negativo, a função se comporta conforme o gráfico abaixo e portanto, quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será decrescente. QUESTÕES 09 E 0 Efetue os cálculos necessários e marque os resultados na Folha de Respostas. QUESTÃO 09. Seja S a soma dos termos da sequência ( a n ) = (,,3,6,5,0,7,4,9,8,...,8) S Calcule o valor de. 00 S 9 0 = = 60 e S9 = 8 36 = 45 a0 = S0 S = = 5 RESPOSTA: 5

12 QUESTÃO 0 Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {, 4, 5, 6, 7}, o número 4567 ocupa a posição número, o número 7654 ocupa a posição número 0 e o número 6754 ocupa a posição número x. Calcule x. Começando por, 4 ou 5 tem-se: = 7 números distintos. DM UM C D U números distintos. 6 5 ou 4 = 4 DM UM C D U números distintos Total de números: = 78 RESPOSTA: 78.