Guilherme Martini Gustavo Schmid de Jesus Luís Armando Bianchin Márcio José Mello da Silva

Transcrição

1 Guilherme Martini Gustavo Schmid de Jesus Luís Armando Bianchin Márcio José Mello da Silva

2 Formatos Representações Especiais Arredondamentos Operações Exceções rev

3 O padrão (ANSI /IEEE Std , New York, IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic) contém normas a serem seguidas pelos fabricantes de computadores e construtores de Softwares no tratamento da aritmética binária para números de ponto flutuante relativo ao armazenamento, métodos de arredondamento, ocorrência de underflow e overflow, além, da realização das operações aritméticas básicas. 3

4 A norma determina números da forma: [(-1) s ] (2 E )(b 0 b 1 b 2 b p-1 ), onde s é o bit de sinal E qualquer inteiro entre E min e E max. Bi bits que representam a mantissa (0 ou 1) Obs: Pelo padrão o 1º bit da mantissa é 1, por isso o mesmo fica implícito. 4

5 Polarização do expoente é feita para evitar expoentes negativos. O expoente é polarizado pela expressão 2 e-1-1, Onde e é o número de bits que são usados para representar o expoente. Exemplo: -126 (representado no formato single) -> [ ] = = 1 Os valores 0 e 2 e-1 são usados para a representações especiais. 5

6 Single-Precision (32 bits) 1 bit para o sinal 8 bits para o expoente 23 bits para a mantissa Single-Precision Extended (>=43 bits) 1 bit de sinal 11 ou mais bits para o expoente 31 ou mais bits para a mantissa 6

7 Double-Precision (64 bits) 1 bit para o sinal 11 bits para o expoente 52 bits para a mantissa Double-Precision Extended (>= 79 bits) 1 bit de sinal 15 ou mais bits para o expoente 64 ou mais bits para a mantissa 7

8 Comparativo 8

9 Alguns resultados de operações aritméticas não são suportadas pela máquina Ex: divisão por zero, overflow etc Desta forma, eles são representadas de forma especial. 9

10 Como configuração especial temos: i. representação para o 0 (zero); ii. número com menor expoente possível iii. Infinitos ± iv. NaN (não número), sinalizado ou não 10

11 Expoente Mantissa Significado i) e = E min -1 f = 0 ± 0 ii) e = E min -1 f 0 ± 0.f * 2 E min iii) e = E max + 1 f = 0 ± iv) e = E max + 1 f 0 NaN ( Not a Number ) 11

12 ± Sempre exato Surge a partir de operandos finitos em caso de overflow ou divisão por zero É operando inválido. NaN Dispõe de valores que não são do contexto do padrão A norma não interpreta o sinal 12

13 Bit do Sinal Por padrão não se interpreta sinal de NaN Sinal do produto depende exclusivamente do sinal dos operandos Em somas em que o resultado é zero, o sinal é +, exceto em caso de arredondamento para -. 13

14 O padrão permite números desnormalizados, que são números com expoente igual a (E min 1) e zeros no início da mantissa. Ex: Número Normalizado: 1.f 1 f 2 f 3... f p x 2 e Número Desnormalizado: 0. f 1 f 2 f 3... f p x 2 E min 14

15 Operações produzem um resultado intermediário que deve ser posteriormente arredondado Arrendondamento para mais próximo (padrão) Arredondamentos Direto: Em direção a + Em direção a - Em direção a 0 15

16 Especifica operações a serem implementadas Devem produzir um resultado intermediário e que somente é arredondado Aritméticas Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão REM: resto da divisão, não necessita de arredondamento Raiz Quadrada 16

17 Conversões entre formatos de PF Conversões para Inteiro Arredondamento para Inteiro Conversão Binário <--> Decimal Comparações 17

18 Define que exceções devem ser sinalizadas quando ocorridas. A implementação deve prover flags de status para cada tipo de exceção Deve permitir que essas flags possam ser testadas, alteradas, salvas e restauradas Também deve permitir a criação de traps para a chamada de subrotinas para tratamento 18

19 Operações Inválidas Operações com NaN Adição ou Subtração - ex: (+ ) + (- ) Multiplicação - 0 x Divisão - 0/0 ou / x REM y, onde y é zero ou x é infinito Raiz quadrada com operando negativo... 19

20 Operações Inválidas Divisão por zero Overflow Underflow Inexatidão Pode ocorrer junto com Overflow e Underflow 20

21 O que foi feito? União entre (1985) + IEEE 854(1987) Adição de novos formatos e regras (i.e. IEEE 854) Revisada toda a edição anterior(1985), com algumas modificações e adições. 21

22 IEEE (Standard for radixindependent floating-point arithmetic) Padrão para ponto flutuante com base "independente Formalizado apenas para base 2 e 10 Adicionado 3 novos formatos: 1 para base 2 2 para base 10 22

23 Formatos adicionados pela IEEE 854 (1987): Formatos básicos: Nome do Formato: binary128 (quad) decimal64 (double) decimal128 (quad) Base: Dígitos(bits) da mantissa: Maior expoente:

24 Formatos adicionados pela IEEE 854 (1987): Formatos extendidos: Nome do Formato: binary128 (quad) decimal64 (double) decimal128 (quad) Base: Dígitos(bits) da mantissa: Maior expoente: 2 >= >= >=

25 Outras modificações: Arredondamento para o mais próximo, longe do zero necessário apenas para operações em base 10 Adicionada a operação FMA Fused multiply-add: (axb+c) Adicionada a operação min(x,y) e max(x,y) min(x,nan) = min(nan,x) = x max(x,nan) = max(nan,x) = x 25

26 Outras modificações: Adicionado 3 tópicos extras: Outras operações recomendadas Expression evaluation Reproducibilidade de programas 26

27 IEEE standard for binary floating-point arithmetic, IEEE Std , 1985 IEEE standard for radix-independent floatingpoint arithmetic, IEEE Std , 1987 IEEE standard for binary floating-point arithmetic, Revision of , IEEE Std ,