CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, PETRÓLEO, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI - Gabarito

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 009 e 1 o semestre letivo de 010 CURSO de ENGENHARIA (CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA, PETRÓLEO, DE PRODUÇÃO e TELECOMUNICAÇÕES) NITERÓI - Gabarito Verifique se este caderno contém: PROVA DE REDAÇÃO com uma proposta; INSTRUÇÕES AO CANDIDATO PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS com questões discursivas, totalizando dez pontos. Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior, notifique imediatamente ao fiscal. No espaço reservado à identificação do candidato, além de assinar, preencha o campo respectivo com seu nome. Não é permitido fazer uso de instrumentos auiliares para o cálculo e o desenho, portar material que sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação. Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito a caneta, com tinta azul ou preta, nos espaços apropriados. O tempo disponível para realizar as provas é de quatro horas. Ao terminar, entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado. Tanto a falta de assinatura quanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova. Certifique-se de ter assinado a lista de presença. Colabore com o fiscal, caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital. Você deverá permanecer no local de realização das provas por, no mínimo, noventa minutos. AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO RESERVADO AOS AVALIADORES REDAÇÃO C. ESPECÍFICOS rubrica: rubrica: 1

2 Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Faça um esboço do gráfico das curvas de equação = a y no plano XOY. Justifique sua resposta. = a y - a + a + y =a ( a ) + y = a é a equação de uma família de circunferências com centro em (a,0) e raio a. São circunferências com centro no eio e que o ponto (0,0) pertence a todos os elementos, conforme a figura a seguir em que são apresentados alguns elementos da família: 4 y

3 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Encontre o vetor tangente unitário da curva de equação r r r r r(t) = ( cost)i + ( sent)j + 5 t k. Encontre também o comprimento da curva para 0 t π. r r r r O vetor tangente a r(t) = ( cost)i + ( sent)j + 5 t k é o vetor r r r r (t) = ( cost) i + ( sent) j + ( 5 t) k que é igual a r r r r (t) = (- sent)i + ( cost)j + 5 k. O vetor unitário é o vetor dividido por sua norma, r r r r r r r (- sent)i + ( cost)j + 5 k (- sent)i + ( cost)j + 5 k ou seja, u r r(t) = = (- sent) + ( cost) sen t + 4 cos t + 5 4(sen t cos t) 5 ( ) r r r r r r r (- sent)i + ( cost)j + 5 k (- sent)i + ( cost)j + 5 k u r r(t) = = (- sent)i + ( cost)j = r r 3 3 O comprimento de arco L é dado por L π π r (t) dt= 3dt=3π = 0 0 3

4 3 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Resolva + y+ z= 0 + 4z = y + z + t = 0 4y + t = 10 utilizando inversa de matrizes. + y+ z = z = y 5. = que é uma equação do tipo AX. = B. Para 4+ y+ z+ t = z 0 4y+ t = t 10 resolvê-la é necessário encontrar a inversa da matriz A e multiplicá-la pelo vetor B. Há 0 1/6 1/3 1/ 6 vários métodos de cálculo de A A 1/ 1/6 0 0 =. Para resolver o 0 1/3 1/6 1/1 1 1/3 0 1/ sistema, é necessário fazer a multiplicação A -1.B: 0 1/6 1/3 1/6 0 5/ A 1 1/ 1/ /6. B=. =. Portanto, = -5/, y = -5/6, z = 5/ e 0 1/3 1/6 1/1 0 5/ 1 1/ 3 0 1/ 10 0 / 3 t = 0/3. 4

5 4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) 1 Faça um estudo completo da Curva de Agnesi, definida por f ( ) =, 1+ apresentando seu domínio, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e um esboço do seu gráfico. a. o domínio da função é o conjunto dos Reais (qualquer número real tem imagem pela f) b. não tem assíntotas verticais (domínio Real). Para determinar as assíntotas horizontais será necessário calcular lim f ( ) = lim f( ) pois a função é par + 1 (ou seja f ( ) = f( ) ). Portanto: lim = 0 e y = 0 é assíntota horizontal c. Para determinar intervalo de crescimento e decrescimento, é necessário analisar 1 o sinal da derivada da função. Assim, f( ) = f ( ) =. Como o 1 + ( 1 + ) denominador é sempre maior que zero, o que definirá o sinal de f será o numerador. Portanto, para < 0 a derivada é positiva, logo a função é crescente e para > 0 a derivada é negativa, logo a função é decrescente. O ponto de abscissa = 0 é um ponto de máimo local. d. Para analisar a concavidade do gráfico, é necessário estudar-se o sinal da + 6 derivada segunda de f. Assim, f ( ) = f ( ) =. O 3 (1 + ) ( 1 + ) denominador será sempre positivo. Devemos, pois, analisar o sinal do 3 numerador. Como é uma função quadrática, será positiva se < -, logo terá 3 3 concavidade voltada para cima para,, será negativa se < <, ou seja, terá concavidade voltada para baio se , 3 3 e será positiva se > 3, ou seja, terá concavidade voltada para cima se 3 3,

6 e. y

7 5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Considere a função f definida por t + 0 e sen d. Calcule sua derivada. t + e sen A função f definida por d é uma função de t. Assim, sua derivada 0 + t t e sen e. e sen t e sen será f () t = d= d = e.. d Portanto, t esen f () t = e. d= f(). t

8 6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dois móveis A e B são lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo ponto. O móvel A é lançado no instante t = 0 e o móvel B é lançado,0 s depois. Adote g = 10 m/s e despreze a resistência do ar. A partir do ponto de lançamento: a) determine o instante e a posição do encontro dos móveis A e B. b) diga se, no instante do encontro, os móveis A e B estão subindo ou descendo. v 0 v 0 s = 0 A B t = 0 s depois Na figura, B está deslocado para a direita, apenas para visualização; o lançamento é do mesmo ponto. Móvel A : v A = v 0 gt ; v A = 15 10t s A =v 0 t ½ gt ; s A =15t 5t Móvel B : v B = v 0 g(t ) ; v B = 15 10(t ) s B =v 0 (t ) ½ g(t ) ; s B =15(t ) 5(t ) a) No encontro : s A =s B 15t - 5t = 15(t ) 5(t ) 3t t = 3t 6 t +4t 4 ; 0 = 4t 10 ; 4t = 10 ; t =,5 s s A = 15,5 5,5 ; s A = s B = 6,5 m b) Móvel A : para atingir a altura máima, v A = 0 v A = 15 10t ; 0 = 15 10t ; t = 1,5 s Logo, no encontro (t =,5 s ), o móvel A está DESCENDO. Móvel B : para atingir a altura máima, v B = 0 v B = 15 10(t ) ; 0 = 15 10(t ) ; t = 1,5 ; t = 3,5 s Logo, no encontro (t =,5 s ), o móvel B está SUBINDO. 8

9 7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um garoto pua um caiote de massa igual a 5,0 kg por 10 m ao longo de uma superfície horizontal, com velocidade constante. Ele eecuta essa tarefa fazendo uma força F de módulo constante, a 45 com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a superfície e o caiote vale 0,0. Calcule o trabalho realizado: F sen α F a) pela força F; b) pelo peso do caiote. N Α F c os α fα P D = 10m a) V constante Resultante = 0 f at = µc. N F cosα = f at F cosα = µc. N P = F senα + N P = F senα + F cosα µc P. µc = F (µc senα + cosα ) 50 0, = F (0, 0,707+ 0,707) ; F 0,707 = 10 / 1, W F = F. cosα. d ; W F = F 0, = (10/ 1, ) 10 ; W F = 83 J b) A força Peso é perpendicular ao deslocamento d ; logo, W P = 0 9

10 8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um corpo de massa m é lançado com velocidade v 0 com ângulo α em relação à horizontal. O módulo da velocidade do corpo no ponto B( v B ), ponto de altura máima, é 6 7 do valor do módulo da sua velocidade no ponto A (v A), ponto onde a altura é metade da altura máima. Despreze a resistência do ar. Determine o valor do ângulo α. A H/ θ O B H v B = 6/7 v A ; v B = 6/7 v A v A = 7/6 v B cos = v / v 0 Na horizontal o movimento é uniforme; logo v B = v cos = v B / v 0 Pela Conservação da Energia : EMB = EMA 1/mvB + mgh = 1/m va + mgh/ ; vb + gh = va + gh ; vb+ gh = 7/6 vb + gh 6vB+ 1gH = 7 vb + 6 gh ; vb = 6 gh ; vb = 6 gh EMB = EM0 1/mvB + mgh = 1/m v0; vb + gh = v0 ; v0 = 6gH + gh ; v0= 8gH v0= 8gH cos = 6 gh / 8 gh ; cos = 3/ ; = 30o 10

11 9 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Uma rolha cilíndrica de cortiça, cuja massa específica vale, kg/m 3 flutua, em repouso, num tanque com água, cuja massa específica vale 1, g/cm 3. a) Qual percentagem do volume da rolha está submerso? b) Caso essa rolha seja solta num ponto da água onde ela esteja totalmente submersa, qual a relação entre a força resultante sobre a rolha e o seu peso, no instante em que ela é solta? a) P = E ; mg = Vs. µl. g; Vc. µc.g = Vs. µa. g Vs = µc / µa. Vc ; Vs = 0, Vc µc = 00 kg/m 3 = 0, g/cm 3 Logo, 0 % do volume da rolha está submerso. µa = 1,0 g/cm 3 b) µc / µa = 0, ; µa = 5 µc R = E' P ; R = 5P P ; R = 4P R/P = 4 E'= Vs'. µa.g ; E'= Vc. 5 µc. g ; E'= 5 m. g ; E'= 5 P 10 a QUESTÃO: (1,0 ponto) pressão 1p O B Um sistema termodinâmico realiza o ciclo A B C D A conforme o gráfico pressão volume da figura. 3p O C p O A 11 D V O IIV O Volume

12 No ciclo A B C D A, calcule: a) O trabalho realizado pelo sistema. b) A quantidade de calor recebida pelo sistema. a) O trabalho realizado pode ser calculado pela área do trapézio de vértices ABCD. Área = ( B + b ) h / W= ( 11 p 0 + p 0 ) 10 V 0 / W=13 p 0 10 V 0 / W = 65 p 0 V 0 b) Num ciclo, U = 0; Q W = U ; Q = W ; Q = 65 p 0 V 0 1