Limite e continuidade

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1 Limite e continuidade Noção intuitiva de ite Considere a função f qualquer que seja o número real o Eemplo Se f ( ) Esta função está definida para todo R, isto é, f está bem definido, o valor ( ) o então f ( ) f ( ) o Dizemos que a imaem de o é o valor o Graficamente: Considere aora uma outra função ( ) Esta função está definida R {} Isto sinifica que não podemos estabelecer uma imaem quando assume o valor ()??? Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a a 6 c bc a Por eemplo, 6 b Se fizermos, para qualquer valor de R, isto é, infinitos valores de Daí a indeterminação no valor de simboliza uma indeterminação matemática Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante Álvaro Fernandes

2 Como a variável não pode assumir o valor na função, vamos estudar o comportamento desta função quando está muito próimo de, em outras palavras, queremos responder a seuinte perunta: Qual o comportamento da função quando assume valores muito próimos (ou numa vizinhança) de, porém diferentes de? A princípio o estudo do ite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio) No caso da função f, qualquer valor atribuído a determina imaem única, sem problema alum Mas na função, eiste o ponto que era a indeterminação Estudemos os valores da função ( ) quando assume valores próimos de, mas diferente de Para isto vamos utilizar as tabelas de aproimações Observação: Podemos nos aproimar do ponto : por valores de pela direita: por valores de pela esquerda: Tabelas de aproimações As tabelas de aproimações são utilizadas para aproimar o valor da imaem de uma função (se eistir) quando a variável se aproima de um determinado ponto Atribuindo a valores próimos de, porém menores (pela esquerda) do que : (tabela A),5,75,9,99,999,9999 (),5,75,9,99,999,9999 Atribuindo a valores próimos de, porém maiores (pela direita) do que : (tabela B),5,5,,,, (),5,5,,,, Observe que podemos tornar () tão próimo de quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos suficientemente próimo de De outra forma, convencionaremos: O ite da função () quando se aproima de (tende a) é iual a Simbolicamente escrevemos: ( ) ou Álvaro Fernandes 4

3 Observação: Os dois tipos de aproimações que vemos nas tabelas A e B são chamados de ites laterais Quando tende a por valores menores do que (tabela A), dizemos que tende a pela esquerda, e denotamos simbolicamente por Temos então que: ( ) ou Obs: O sinal neativo no epoente do n o simboliza apenas que se aproima do número pela esquerda Quando tende a por valores maiores do que (tabela B), dizemos que tende a pela direita, e denotamos simbolicamente por + Temos então que: ( ) + ou + Obs: O sinal positivo no epoente do n o simboliza apenas que se aproima do número pela direita Definição intuitiva de ite (para um caso eral) Seja f uma função definida num intervalo I R contendo a, eceto possivelmente no próprio a Dizemos que o ite de f() quando se aproima de a é L R, e escrevemos f L, se, e somente se, os ites laterais à esquerda e à direita de a são iuais à L, isto é, f ( ) f L Caso contrário, dizemos que o ite não eiste, em + símbolo f Ainda com relação à função ( ), podemos então concluir, pela definição, que:, porque os ites lateriais + e são iuais a De forma equivalente, ( ) porque ( ) ( ) + Será necessário sempre construir tabelas de aproimações para determinar o ite de uma função, caso ele eista? Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seuir Álvaro Fernandes 5

4 Cálculo de uma indeterminação do tipo Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo, deveremos simplificar * a epressão da função envolvida Loo após, calculamos o ite da função substituindo, na epressão já simplificada, o valor de * Para simplificar a epressão você deve utilizar fatoração, conjuado de radical, dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc Vejamos os eemplos seuintes Eemplo Determine ( ), onde ( ) Observe que substituindo por na função obtemos () que é uma indeterminação matemática! Quando a variável está cada vez mais próima de, a função está cada vez mais próima de quanto? Devemos então simplificar a epressão da função e depois fazer a substituição direta ( )( + ) ( ) ( + ), Então: ( )( + ) ( + ) + Loo, Cheamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproimações, porém de uma forma mais rápida e sistemática Não mais utilizaremos as tabelas de aproimações para casos semelhantes a este!! Vale lembrar que a epressão sinifica que a função ( ) está tão próima de assim como está suficientemente próimo de, porém diferente de Graficamente podemos verificar isso: Gráfico da função ( ), Álvaro Fernandes 6

5 Eemplo Determine + + (observe a indeterminação matemática no ponto ) ( ) ( )( + )( + ) ( + )( + ) 4 Se você construir as tabelas de aproimações, constatará que a função y está cada vez mais próimo de /4 a medida que se aproima de pela esquerda e pela direita 8 Eemplo 4 Determine 8 ( ) ( 4) (observe a indeterminação matemática no ponto ) ( )( + + 4) ( )( + ) ( + + 4) ( + ) 8 Constate através das tabelas de aproimações que se então y Eemplo 5 Determine (observe a indeterminação matemática no ponto ) Vamos resolver este ite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini Precisaremos antes do Teorema de D Alembert: Um polinômio f é divisível por ( a) é uma raiz de f, isto é, f ( a) f ( a) r q, a R, se, e somente se, a Como o ponto anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por Assim, f ( a) q + r Assim, f ( a) r( a) ( ) ( ) () * () + () () + 5 () * Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios -5 5 resto resto a + b + c a + b 4 + Obs: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio Álvaro Fernandes 7

6 Alumas fórmulas que auiliam as simplificações nos cálculos dos ites Produtos notáveis: º) Quadrado da soma: ( ) a + b a + ab + b º) Quadrado da diferença: ( ) a b a ab + b a + b a b a b º) Produto da soma pela diferença: ( )( ) 4º) Cubo da soma: ( ) a + b a + a b + ab + b 5º) Cubo da diferença: ( ) a b a a b + ab b Fatorações: 6º) Fator comum: a ± ay a( ± y) 7º) Diferença de quadrados: a b ( a + b)( a b) 8º) Trinômio do º rau: a b + c a( ' )( '' ) +, onde ' e b ± fórmula de Bháskara, onde b 4ac a a + b a + b a ab + b 9º) Soma de cubos: ( )( ) º) Diferença de cubos: a b ( a b)( a + ab + b ) '' são as raízes obtidas pela Conjuado de radicais: º) Conjuado de a b é b º) Conjuado de a b é a +, pois ( a b ) ( a + b ) a b a + ab + b, pois ( ) ( ) a b a + ab + b a b Proposição (unicidade do ite) Se f L então ele é único e f L, então L L Se o ite de uma função num ponto eiste, Principais propriedades dos ites Se f e a) [ f ] f ± eistem, e k é um número real qualquer, então: ± b) kf k f c) [ f ] f d) f e) k k f, Álvaro Fernandes 8

7 Eemplo 6 Calcule usando as propriedades ( + ) () + ( 7) Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto diretamente na epressão, obtendo loo 6 6 Atividades (rupo ) Calcule os ites abaio: a) 4 + b) c) d) e) 8 f) ) + + h) 7 49 i) Atividades (rupo ) Calcule os ites indicados: a) f, +, >, calcule: f ( ), f ( ) e f b) ( ),,, calcule: ( ) c) h ( ) 4, <, calcule: h ( ) 5, > d) l, <, < 6,, calcule: l, l, l e l + Álvaro Fernandes 9