Propostas de resolução. Capítulo 1 Números racionais

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1 Capítulo Números racionais F Pág... O número não é divisível por, pois não se pode aplicar qualquer um dos critérios de divisibilidade por. Por outro lado, o resto da divisão inteira entre e é diferente de zero. Vejamos se 9 96 é divisível por, utilizando um dos seguintes critérios: 6 é divisível por, logo 9 96 é divisível por é divisível por, logo 9 96 é divisível por... Critério de divisibilidade por : Dado que é um número múltiplo de, então 697 é divisível por. Critério de divisibilidade por : Dado que 7 é divisível por, então 697 é divisível por. Uma vez que o número 697 é divisível por e por, então também é divisível por, ou seja, por. Repara que, 697 8, pelo que 697 é divisível por... Sabe-se que Ora, ( 8 8), pela propriedade distributiva Portanto, é divisível por... Ora, Efetuando a divisão inteira de 696 por, obtém-se Como o resto da divisão é zero, confirma-se que 696 é divisível por... Ora, Portanto, + 0 é divisível por. Capítulo Página

2 .6. Ora, Efetuando a divisão inteira de 66 por, obtém-se: Como o resto da divisão inteira é zero, confirma-se que 66 é divisível por. Pág a) Os números 98 e são divisíveis por 9, pois a soma dos seus algarismos é um número múltiplo de e são números múltiplos de 9. Sabe-se que, 98 q + r, onde q e r representam respetivamente o quociente e o resto da divisão inteira de 98 por. Assim, r 98 q. Como cada um dos dois termos da subtração é divisível por 9 (pela alínea a)), então r também é divisível por 9. c) Determinando o resto da divisão inteira de 98 por, obtém-se: 98 Ora, é um número divisível por 9, dado que a soma dos seus algarismos, + + 9, é um número múltiplo de 9. Conclui-se, portanto, que r é divisível por 9... a) Efetuando a divisão inteira, obtém-se: 0 8 Portanto, o quociente é 8 e o resto é. Se um número divide e (o resto e o divisor), divide também o dividendo,. Por outro lado, se um número divide e, (o divisor e o dividendo), divide também o resto,. Portanto, os divisores comuns a e a são os mesmos que os divisores comuns a e a... a) Apliquemos o algoritmo de Euclides para determinar o m.d.c. (8, 70) Capítulo Página

3 70 8 Os divisores comuns a 70 e a 8 são os mesmos que os divisores comuns a 8 e a. 8 0 Os divisores comuns a 8 e a são os mesmos que os divisores comuns a e a. 0 Os divisores comuns a e a são os mesmos que os divisores comuns a e a. 0 Os divisores comuns a e a são os divisores de, ou seja, e. Portanto, os divisores comuns de 70 e 8 são e, pelo que m.d.c. (8, 70). Apliquemos o algoritmo de Euclides para determinar o m.d.c. (9, 70) Os divisores comuns a 70 e a 9 são os mesmos que os divisores comuns a 7 e a Os divisores comuns a 7 e a 9 são os mesmos que os divisores comuns a 7 e a. 7 Os divisores comuns a 7 e a são os mesmos que os divisores comuns a e a. 0 Os divisores comuns a e a são os divisores de, ou seja, apenas. Logo, m.d.c. (9, 70). c) Os números 9 e 70 dizem-se primos entre si, pois o seu máximo divisor comum é. Nesse caso, m.m.c. (9, 70) Pág. 7.. Apliquemos o algoritmo de Euclides para determinar o m.d.c. (000, 0): Logo, m.d.c. (000, 0) Capítulo Página

4 .. Dividindo ambos os termos da fração pelo máximo divisor comum, obtém-se a fração irredutível equivalente à fração dada, ou seja, a) Determinemos o m.d.c. (8, ), aplicando o algoritmo de Euclides Logo, m.d.c.(8, ). Assim, :! : Determinemos o m.d.c. (0, 90), aplicando o algoritmo de Euclides Logo, m.d.c.(0, 90) 0. Assim, :0! :0 c) Determinemos o m.d.c.(, 86), aplicando, agora, a decomposição em fatores primos: Logo, m.d.c.(, 86). Assim, :! 86 : Capítulo Página

5 .. Para a resolução do problema, precisamos de determinar o m.m.c. (,,, 6). Ora, m.m.c. (,,, 6). Assim, os quatro amigos podem encontrar-se duas vezes por mês. Pág. 8.. Determinemos o m.m.c. (6, 9). Ora, 6 e 9. Logo, m.m.c. 6, 9 8. Os carros voltam-se a encontrar novamente no ponto de partida 8 segundos após o início da corrida... a) Para resolvermos o problema devemos determinar o m.d.c. (8, 0, ). Ora, 8, 0 e 7 Assim, m.d.c. (8, 0, ). É possível formar no máximo dois grupos. Cada grupo será constituído por trabalhadores da linha de produção, trabalhadores do armazém e quatro dos serviços administrativos. Os serviços administrativos passaram a ter nove funcionários. Ora, 9, pelo que m.d.c. (9, 0, ). Portanto, é possível formar, no máximo, três grupos. c) Dado que a empresa tem cinco funcionários nos serviços administrativos e 0 no armazém, para ser possível formar cinco grupos, é necessário obter um número divisível por cinco superior a, ou seja,. Logo, é necessário admitir, no mínimo, três funcionários para a linha de produção... Determinemos o m.d.c. (, 6, 8, 0): Ora, 7 ; ; 8 ; Logo, m.d.c. (, 6, 8, 0). 0. Assim, é possível formar dois grupos, sendo que cada grupo será constituído por nove livros de Números e Operações, dez livros de Geometria, oito livros de Estatística e sete livros de Funções... Sabe-se que, dados dois números naturais a e b, m.d.c.( a, m.m.c.( a, a b. Assim, a e b são dois números naturais, tais que a b Como m.d.c. (a,, então a e b são números não inferiores a. Por outro lado, dado que m.m.c. (a, 0, então a e b são inferiores a 0. Portanto, a e b 0. Capítulo Página

6 F Pág a) Abateu o alvo de tipo A; falho o alvo; falho o alvo; abateu o alvo do tipo B; abateu o alvo do tipo C; abateu o alvo do tipo A. ; ; + 0; ; a) A ; B ; C 0; D ; E ; ; ; 0 0; + ; + > > 0 > > Pág. 0.. a) a ) Guarda a ) Aveiro b ) Porto b ) Guarda b ) Braga, Coimbra e Lisboa.. Variação da temperatura entre o. dia e o. dia Guimarães Braga Porto Aveiro Coimbra Lisboa Guarda Capítulo Página 6

7 F Pág... Soma Construção geométrica Sinal da parcela de maior valor absoluto Diferença entre o maior e o menor valor dos valores absolutos das parcelas + ( ) ( + ) - + ( ) 0 As parcelas têm o mesmo valor absoluto ( ) - + ( + ) O sinal da soma é igual ao sinal da parcela de maior valor absoluto. O valor da soma é igual à diferença entre o maior e o menor valor dos valores absolutos das parcelas... A soma de dois números simétricos é zero. Capítulo Página 7

8 Pág... Soma Construção geométrica Sinal das parcelas Soma dos valores absolutos das parcelas + ( ) - + ( ) - + ( ) ( + ) ( ) O sinal da soma de dois números inteiros de sinal é igual ao sinal das parcelas. O valor da soma é igual à soma dos valores absolutos das parcelas..6. a) a + ( a) 0 ( a) + a 0 c) a + 0 a d) 0 + a a ( ) ( ).. + ( + ).. ( 0 + 0) + ( 0) ( + ( + 0) ) + ( ) ( 8).6. ( ) ( ) + ( + ( 0) ) 0 + ( ) + ( 8) 0 ( 9) ( + 8) + ( 0 + ( ) ) ( + + ) ( ) Capítulo Página 8

9 F Pág... Operações Construção geométrica Conclusão + + ( ) + + ( ) ( 8) ( ) ( ) a) a b a + ( c) 8 + ( 8) Pág... a) ( ) + ( ) ( ) c) ( ) ( ) 0.. Consideremos a reta numérica e os pontos A, B e C. a) ( 8) + 8. A distância de A a B é A distância de B a C é 8. c) 8. A distância de A a C é. Capítulo Página 9

10 .. A distância de A a C é igual à soma das distâncias entre A e B e B e C... Ora, 8 :. Portanto, o ponto pretendido está a quatro unidades de B e de C, ou seja, a sua abcissa é... Ora, :,. Portanto, a abcissa do ponto equidistante aos pontos A e B é 6, que não é um número inteiro. F Pág... a) ( ) ( 7) c) + 0 ( + 7) d) e) ( ) ( + 8) 8 8 f) g) ( ) ( ) ( + 7) + 7 h) i) ( 0) ( 7) + ( + ) j) ( ) ( 0) + ( 8) ( + ) Pág. 6.. a) Para b, tem-se: 0 + b 0 + e b 0 0 Como + ( ) 0, os números são simétricos. ( ( b 0) 0 + b + (( b ) + ( 0) ) 0 ( 0) b ( Como a soma dos números é nula, então 0 + b e b 0 são simétricos... a) + a é simétrico de a ( a 0) + é simétrico de 0, pois ( a) ( a) a +, pois ( a + 0) + ( a + 0) ( a 0) ( a 0) c) + ( a) é simétrico de + a, pois ( ( a) ) ( a).. a) ( + 6) c) ( + ) + ( + ) 0 d) e) ( ) 0 f) 7 ( ) Capítulo Página 0

11 .. a) 7 ( + ) 7 + ( 7) + ( ) 0 c) ( ) ( ) d) ( + 7 ) e) + ( + + ) + 9 f) ( ) g) ( ) h) 0 + ( + 6) + ( 6) i) ( ) + ( ) 0 j) ( + + ) ( + ) 0 k) ( ) l) ( ) m) ( ) n) + a a + a a + 0 o) ( ) p) ( 7 + ) ( 7) q) ( ) r) + ( ) F6 Pág N Z Q 0, Q N Q Z Z N Q N Q π Q.. A ; B ; C ; D 7 6 ; E 9 6 Capítulo Página

12 .. Pág. 8.. a) e e c) 0 e d) 7 e a) > 7 c) d) 6 < > < 9 e) 0 e f) e g) e 7 h) e) f) 6 e g) < 7 h) 0 < a) Efetuemos a divisão inteira de 7 por : Efetuemos a divisão inteira de 0 por 9: c) Efetuemos a divisão inteira de por 8: Capítulo Página

13 .. a) f) Efetuemos a divisão inteira de 8 por : c) d) > > > > > > >, 7 F7 Pág. 9.. a) C) d).... a), + 0,7 + 0, 6 Capítulo Página

14 c) + d) 0,8 0,.. Por exemplo, e Pág. 0.. < 8.6. a) c) d) e) a) a) c) d) ou ( + ) e) f) 8 +, + 0, +, 0,8, 0,8,6 0 Capítulo Página

15 g) h) i) , + +, j) a) Representa a parte do percurso efetuada no. dia. F8 Pág... a) + + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) c) (, ) (, +, +, +, +, ) (, ) 7, d) e).. a) , 0, d),, c) ( ) + e) Capítulo Página

16 Pág... a) : :,, c),.. a) : c) : ! * - 0! * a) c),,, 6 6 6, d) e) f) : : g) h) i), ( + ), 7, j) : Capítulo Página 6

17 k) l) m) n) 0 + : o) F9 Pág... a) ( ) ( ) 0 c) 8 ( ) 8 0 d) ( + ) ( ) e) 0 0 f), ( ), g) 0, 0, 0,0 0, 0 0 h) i) a) 6 0, 0, ou 0, 0,, 0, ou 7 Capítulo Página 7

18 c) ou * 7 * - +, : 0,8 + -,6 Cálculos auxiliares: 7 7 +, 0, +, 0, , : : 0,8 + 0,8 + 0,8,6 Pág... a) , 0 7,, ou 0 ( + ) c) d), : : : 0, : : + : Capítulo Página 8

19 e) : 9 : : 8 8 f) 9 : a) O inverso de c) O inverso de 9 e) O inverso de é 7 0. O inverso de é 7, ou seja, 7 6. é 9. d) O inverso de 7 é, ou seja,. 7 é 0, ou seja, 0,,. f) O inverso de é 7 8, ou seja, a) c) , 0, 0, 0, 7 7 F0 Pág... a) c) 8 9 d) 7 e) f) 0 00 g) ( ) 9 h) i) 9 9 Capítulo Página 9

20 j) 8 7 l) m) ( ) 6 o) 7 k) 0 00 n) p) ( 0,) ( 0,) q) a) r) (, ) 6, c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) 8 i) ( ) é um número positivo, pois a base é positiva. 8 ( ) Portanto, ( ) 8 representa um número positivo ( ) (( ) ) ( ). Portanto, ( ) 7 representa um número negativo... Os números negativos são: 7 60 ( ),, e Pág. 6.. a) c) d) e) + 6 : f) Capítulo Página 0

21 g) : : + : 6 h) i) 9 ( ) ( 9 6) j) 0 : ( ) ( ) + ( ) k) : 9 9 : : + : l) m) n) + : 6 : O número de ovos é dado pela expressão: As filhas levaram 0 ovos nos cestos para Viseu... Após minutos: Após 0 minutos: Após minutos: Após 0 minutos: Passados 0 minutos após a Antónia ter contado o segredo à Helena e à Sofia, 6 amigas já conheciam o seu segredo. F Pág fatores fatores Capítulo Página

22 .... fatores fatores fatores fatores 8 m n n n n q q q q n vezes fatores ( q q q) ( q q q) ( q q q) n vezes n vezes n vezes m vezes n Existem n m fatores iguais a q neste produto, obtendo-se a igualdade m n m q q. n.. ( q r ) ( q r ) ( q r ) ( q r ) q q q r r r n q n vezes r n n vezes.. ( ) m m vezes m n vezes ( ) ( ) ( ) n vezes n m n.6. a) (, ),, c) d) e) f) g) h) Pág a) 9 : Capítulo Página

23 c) : 6 7 d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 6 f) ( ) : ( ) ( ) g) h) : : : : i) ( ) ( ) : ( ) : ( ) ( 9) j) 0 k) l) m) : : 8 6 n) o) p).8. a) 0, : : : : , : 0, 0, 0, 0 ou 0, : 0, 0, ( 0,6) 0, 0,6 0, ( ) : : c) ( ) : + : : + : + : + 0 d) Capítulo Página

24 e) f) : : 0 0 : g) : : : 0 0 : h) 0 0 : a) (por exemplo) c) : e) d) : 7 F Pág A área do quadrado de lado [OA] é 9 unidades quadradas. A área do quadrado de lado [OB] é unidades quadradas... Uma vez que o quadrado de lado [OB] tem maior área que o quadrado de lado [OA], então < 9. q q q 0, 0, 0 q 00 9, 0, 9 00 Capítulo Página

25 .6. a) Apenas o número q. Os números racionais inferiores a q têm quadrados inferiores a racionais superiores a q têm quadrados superiores a 9. Apenas o número. 9 e os.7. q q q q q, c.q.m. Pág ,69, ,000 0, 0, 0,0.. 0,06 0, 0,.. A medida do comprimento do lado do quadrado é dada por 6 cm 6 cm. A medida do comprimento do lado do quadrado é 6 cm... P quadrado ( 6 ) cm 6 cm. O quadrado tem 6 cm de perímetro Logo, a medida do comprimento do lado é igual a 8 cm... O perímetro iria duplicar. Repare-se: P 6 Se duplicássemos a medida do comprimento do lado, obter-se-ia: P ( 6) ( 6) Logo, a medida do perímetro do quadrado seria 8 cm. Por sua vez a área seria: A A medida da área do quadrado seria 0 cm. Capítulo Página

26 Temos oito parcelas. De acordo com a questão., a soma é dada por 8. Logo, F Pág..... O cubo de aresta [OA] tem maior volume... Como o volume do cubo de aresta [OA] é igual a.. aresta [OB] é igual a 0 < 0. unidades cúbicas e o volume de unidades cúbicas, então pela questão.., conclui-se que q q q 0, 0, 0 q 000, , Pág..7. a) Apenas o número q. Não existe nenhum número racional negativo cujo cubo é igual a 7. O cubo de um número negativo é um número negativo. Capítulo Página 6

27 .8. q q q q q, c.q.m ,008 0,.. 0,07 0, , 78.. A medida da aresta do cubo é dada por 6 cm cm... Por exemplo,.. ATotal Abase Alateral + + O cubo da figura tem 96 cm de área total O perímetro de uma face do cubo da figura é ( ) cm ou 6 cm. Se duplicássemos a medida do comprimento da aresta, obteríamos 8 cm, pelo que o perímetro seria cm. O volume do cubo da figura é 6 cm e é dado pelo cubo da medida do comprimento da aresta. Duplicando esse comprimento, obteríamos: V cubo cm cm 6 cm 8 6 cm cm O volume do cubo seria cm. Capítulo Página 7

28 F Pág... a) n m a b ( a. Como a b Suponhamos que Assim, n é um número natural, então n e m. + m não é um quadrado perfeito. a b é um quadrado perfeito. Através deste contraexemplo mostrámos que a afirmação dada á falsa... a) ( 6 ) 6 6 q r Assim, q r é o quociente de dois quadrados perfeitos. q r Assim, q r ( 6 0) é o quociente de dois quadrados perfeitos... a) ( a c) a c a c q r b d b d b d a b r c b c b c b c d q a d a d ( a d ).. a) c) d) Pág..... ( ) q r Assim, o produto q r é um quociente de cubos perfeitos. q r ( 6) Assim, o produto q r é um quociente de cubos perfeitos. Capítulo Página 8

29 .. a) ( a c) a c a c q r b d b d b d a b r c b c b c b c d q a d a d ( a d ).. a) c) d) , , , , ( 0 ).. 6 : : 8 : : : : 6 : : : : : : : : : , 0, 00 0, 0 0, : : : 0, 0 + 0, Capítulo Página 9

30 .9. : 7 + 0, A Pág..... a) a).. a) Capítulo Página 0

31 ( ) , +, + 0, : Capítulo Página

32 , ,07 0, Pág , : : : 0, +, 0 0 : : : : Capítulo Página

33 .. : , : : : : : :.. + : : 6. Comprimento da aresta Área da face do cubo cm cm cm cm 6 cm 8 cm cm 6 cm 0 cm 00 cm cm (8 : 6) cm 6 cm Área total 6 6 cm 96 cm 6 00 cm 600 cm 6 cm 0 cm 8 cm Volume cm 6 cm 000 cm cm cm 8 cm cm 7. Determinemos o comprimento da base da piscina: 00 m 0 m. Como a proteção vai ser colocada de forma que fique livre um passeio com um metro de largura, pretende-se determinar o perímetro de um quadrado com m. Assim, são necessários m, ou seja, 8 m de vidro. Capítulo Página