FFCLRP-USP Regra de L Hospital e Lista - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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1 FFCLRP-USP Regra de L Hospital e Lista - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr. Jair Silvério dos Santos 1 Teorema de Michel Rolle Teorema 0.1. (Rolle) Se f : [a;b] R for uma função contínua em [a;b] e derivável em a;b) e f(a) = f(b), então existe c (a;b) tal que f (c) = 0. Note que o Teorema de Rolle afirma que, se para uma função f existirem dois valores a e b tais que f(a) = (b) e f for derivável no intervalo aberto (a;b), então f terá um ponto crítico localizado entre os valores a e b. Exemplo 0.1. Seja f : [ 2, 2] R função dada por = 1 4 x4 x Aplique o Teorema de Rolle e encontre um valor c ( 2; 2) que seja ponto crítico de f. Resolução Veja que f é contínua en [ 2, 2], derivável em ( 1, 2) e f( 2) = f(2) = 0. Devemos calcular. Isto é = x 3 2x. O Teorema de Rolle nos assegura que existe c ( 2; 2) tal que = x 3 2x = 0. Vemos que, na verdade, há três valores com esta propriedade, que são eles c 0 = 2; c 1 = 0 e c 2 = 2. Como os três valores satisfazem as condições do Teorema de Rolle, temos três pontos críticos no intervalo dado. Teorema do Valor Médio Teorema 0.2. Se f : [a;b] R for uma função contínua em [a;b] e derivável em (a;b), então existe c (a; b) tal que f(b) f(a) b a = f (c). Exemplo 0.2. Seja f : [1, 3] R função dada por = x 3 5x 2 3x. Aplique o Teorema f(3) f(1) do Valor Médio e encontre um valor c (1; 3) que seja ponto crítico de = f (c). 3 1 Resolução Veja que f é contínua en [1, 3], derivável em (1, 3). Vemos que = 3x 2 10x 3. Ainda, 1 jair 1

2 f (c) = f(3) f(1) 3 1 = 27 ( 7) 3 1 = 20 2 = 10. Agora, 0 Teorema do Valor Médio nos assegura que existe c (0; 2) tal que f (c) = 3c 2 10c 3 = 10. ou seja 3c 2 10c + 7 = 0. (1) Vamos em busca dele. Vemos que, c 0 = 1 c 1 = 7 são raízes da segunda equação em (1). 3 Observe que c 0 = 1 não pertence ao intervalo aberto (1, 3), o que impossibilita este valor de satisfazer as condições do Teorema do Valor Médio. Mas, c 1 = 7 pertence ao intervalo 3 aberto (1, 3), e portanto este é o valor que procurávamos. Exercícios 1. - Use o Teorema do Valor Médio e encontre um valor c, se existir, tal que f (c) = f(b) f(a), quando b a (i) = x 3 + x 2 x, x [1, 3]; (ii) = x 2 3; x [ 1, 2]; (iii) = 100 x 2, x [ 6, 8]; = x2 3x 4, x [ 1, 4]. x + 5 Teorema de Guilluane François de L Hospital ( ) Teorema 0.3. Sejam f;g : [a,b] R diferenciáveis em no intervalo aberto (a;b) exceto possivelmente em um ponto x 0 (a;b). (i) Suponha que para todo x x 0, tem-se g(x) 0. (ii) Suponha que x x0 = 0 e x x0 g(x) = 0. (iii) Suponha que x x0 g (x) = M Então x x0 g(x) = M Exemplo 0.3. Sejam = x 2 x 12, g(x) = x 2 3x 4 e x 0 = 4. Calcule x x 0 g(x). Veja que f e g são funções polinomiais e portanto são funções dife- Resolução renciáveis. 2

3 (a) Escolha um intervalo I aberto contendo x 0 = 4 tal que se x I e x 4 tem-se 0 e g(x) 0. (b) Note que x 2 x 12 = 0 e x 2 3x 4 = 0. x 4 x 4 (b) Veja que x 4 g (x) = 2x 1 x 4 2x 3 = 7 5. Agora temos todas as condições do Teorema de L Hospital satisfeitas. Potanto, x 4 g(x) = 7 5. Exemplo 0.4. Calcule g(x) = x 1 e x. Resolução Veja que é uma função polinomial, g(x) é a diferença entre a função constante e igual à um e a função exponencial. Portanto, f e g são funções diferenciáveis. (a) Escolha um intervalo I aberto contendo x 0 = 0 tal que se x I e x 0 tem-se g(x) 0. (b) Note que x = 0 e 1 e x = 0. (b) Veja que g (x) = 1 e x = 1. Agora temos todas as condições do Teorema de L Hospital satisfeitas. Potanto, x 1 e x = 1. Exercícios 1. Use a o Teorema 0.3 para calcular os ites abaixo sen x a: x ; sen (x π) sen 5x b: ; c: x π x π x. d: x π sen [3(x π)]. x π Teorema 0.4. Sejam f; g : [a, ) R diferenciáveis em no intervalo aberto (a; ). (i) Suponha que existe N > 0 tal que se x > N tem-se g(x) 0. (ii) Suponha que = e g(x) =. (iii) Suponha que g (x) = L Então g(x) = L 3

4 Exemplo 0.5. Calcule xe x. Resolução Veja que xe x = x e x = g(x), e g(x) = e x = e ((x) = x =. Ainda, g (x) = 1 e x = 0 = L. Portanto, O Teorema 0.4 nos assegura que xe x = 0. Teorema 0.5. Sejam f; g : ( ; b] R diferenciáveis em no intervalo aberto (a; ). (i) Suponha que existe N > 0 tal que se x > N tem-se g(x) 0. (ii) Suponha que = e g(x) =. x x (iii) Suponha que x g (x) = L Então x g(x) = L Exemplo 0.6. Calcule x xex. Resolução Veja que e g(x) = x x e x = e x xe x = x = e x g(x), = x x g (x) = x =. Ainda, 1 = 0 = L. e x Portanto, O Teorema 0.4 nos assegura que x xex = 0. 4

5 DIFERENCIAL Sabemos que a derivada de uma função y = foi definida por f f(x + h) y (x) = = (2) h 0 h x onde x = h. Se for fixado x e tomarmos h como variável, nos definimos a quantidade ǫ por f(x + h) ǫ(h) = = y h x. (3) Segue do fato que é a derivada de f no ponto x que ǫ(h) = 0. h 0 A quantidade y = f(x + h) representa a mudança ou (Incremento) no valor de y (variável dependente) que resulta quando o valor x (variável independente) é mudado pela quantidade x = h. Como y = x + ǫ x, (4) a quantidade y aparece como soma de duas partes; a parte x que é proporcional ao x e a parte ǫ x que pode ser tomada tão pequena quanto se queira, quando comparada ao x que por sua vez deve ser pequeno. O termo dominante ou parte linear em (4) será denominada Diferencial dy de y e escrevemos dy = d = x (5) Para qualquer função diferenciável f e para um ponto fixado x esta diferencial é uma função de h = x. Exemplo 0.7. Se = x 2, nos temos dy = d(x 2 ) ver(5) = 2x x = 2xh. Para o caso em que y = x = cuja derivada é tem valor constante um, nos simplesmente temos dy = dx = x, (logo nossa definição é consistente pois escrevemos dx para x). Assim a diferencial de y = pode também ser escrita como dy = d = dx (6) O incremento da variável dependente fica então escrito da seguinte forma: y = dx + ǫdx = dy + ǫdx, (7) e prendendo nossa atenção nestas igualdades vemos que a diferencial difere do incremento da variável dependente pela quantidade ǫdx, que em geral não é zero. No exemplo 0.7 y = = x 2 temos dy = 2xdx, e 5

6 onde ǫ = dx. Voltando em (2) e fixando x, y = (x + dx) 2 x 2 = 2xdx + (dx) 2 = dy + ǫdx, f(x + h) = + h + ǫh, (8) vemos que f(x+h) considerado como função de h, está em (8) representado por uma função de + h com erro ǫh que é arbitrariamente pequeno se comparado com h, se h for sufucientemente pequeno. A representação (8) aproxima f(x + h) pela função linear + h de h o que geometricamente significa nos substituimos a curva (G(f)) por sua reta tangente no ponto (x,) G(f). Em outras palavras ao tomrmos o valor + h como sendo o valor f(x + h) cometemos um erro ǫh. O valor f(x + h) pode ser calculado em (8) por h + ǫh e pelo Teorema do Valor Médio e é dado por ou seja, o valor de ǫ é dado por ǫ = f(x + h) = f (ξ)h (9) f(x + h) h = f (ξ). Exemplo 0.8. Usando a diferencial podemos calcular um valor aproximado para 98 Resolução O número 98 é próximo de 100, que é um quadrado perfeito ou seja 100 = 10. Tomemos y = = x. Vemo que ao aplicarmos o incremento h = x = dx = 2 na variável x calculado em x 0 = 100 teremos x 0 + h = x 0 + dx = = 98. Vamos aplicar (9) para darsolução ao nosso problema. Veja que = 1 2 x 1 2. Então f (100) = 1 2 (100) 1 2 = Ainda, ou seja f(100 2) f(100) = f (100)( 2), f(100 2) = 98 = = 9, 9 Exemplo 0.9. Usando a diferencial podemos calcular um valor aproximado para 5 33 Resolução O número 33 é próximo de 32, e 5 32 = 2. Tomemos y = = 5 x. Vemo que ao aplicarmos o incremento h = x = dx = 1 na variável x calculado em x 0 = 32 teremos x 0 + h = x 0 + dx = = 33. Vamos aplicar (9) para darsolução ao nosso problema. Veja que = 1 5 x 4 5. Então f (32) = 1 5 (32) 4 5 = Ainda, 6

7 ou seja f(32 + 1) f(32) = f (32)(1), f(32 + 1) = 5 33 = = = Se usarmos uma calculadora veremos que 5 33 = , portanto há um erro razoavelmente pequeno. Exemplo Suponha que C(x) = x x seja o consumototal (em bilhões de unidades de moeda) e x é o rendimento disponível total (em bilhões de unidades de moeda). Se x = 25 com um erro máximo de 0, 3, encontre o erro máximo aproximado no consumo total. Resolução Podemos usar (9) para oferecer uma resposta com uma certa precesão a este problema. Veja que por (6) a diferencil de C é dada por dc = [ ] 5 dx x onde dx é o incremento de erro máximo 0, 3 quando se estima que o rendimento disponível total é x 0 = 25. Portanto [ 5 dc = ] 5 (0, 3) = 0, Se du for o erro em u, então du u será o erro relativo em u, e 100du u em u. Então, o erro relativo em C é dado por será o erro percentual dc C 0, 186 = = 0, Portanto, o erro percentual em C é dado por 1, 297. Exercício 0.1. Se a equação de demanda de um certo comodity for dada por x = 16 y 4, onde x é a quantidade de unidades demandadas e y éo preço em unidades de moeda, suponha que y seja igual a 200, com um erro máximo de 10. Determine o erro relativo máximo aproximado em x. Resolução Na expresão da demanda x = 16 calcule o logarítmo na base e em ambos y4 o membros, isto é Diferenciando a expressão acima teremos ln x = 16 4 lny. dx x = 4dy y. 7

8 Para y 0 = 200, dy = 10, e o erro relativo em x é dado por dx x = = 1 5. Portanto, o erro percentual em x é 20. O sinal negativo indica que os erros ao se estimar erro em x e erro4m y eles têm sinais opostos. Aplicando novamente o Teorema do Valor Médio para f teremos f (ξ) = (ξ x)f (η), onde η (x,ξ) (intervalo aberto) e portanto η (x + h,x), (intervalo aberto) se h < 0 ou η (x,x + h), (intervalo aberto) se h > 0. Portanto ǫ = (ξ x)f (η) = (ξ x) f (η) hm, onde M é o um extremo superior para o valor absoluto de f (η) para η (x h,x + h) 1. Caucule as derivadas de primeira e segunda ordem de quando (i) = e (x2 +1) (ii) = 3 (x2 +1), (iii) = ( 1 2 )(x2 +1), (iv) = log e (x 2 + 4) (v) = log 2 (x 2 + 4), (vi) = log 0.5 (x 2 + 4). Em cada caso anterior encontre os intervalos de crescimento descrecimento, pontos de máximos, mínimos locais e absolutos, intervalos de concavidade para baixo e/ou para cima do gráfico de f e assíntotas ao G(f). 2. Calcule os ites abaixo a: x 2 e x b: (x +x 3 )e x c: x [x2 +x 4 ]e x d: [x 3 x 2 ]e x 3. Use o teste da primeira derivada os pontos de Máximo ou Mínimos locais de f em cada um dos casos abaixo: a: = x 2 e x b: = (x+x 3 )e x c: = xe x2 d: = [x 3 x 2 ]e x2 4. Use o teste da segunda derivada para encontrar os pontos de máximos e/ou mínimos locais. Encontre também os intevalos de crescimento decrescimento da função indicada e de posse destes dados encontre os valores máximos e/ou mínimos absolutos das funções em cada um dos ítens abaixo. (i) = x 4 x 3 ; x [ 3, 4); (ii) = 2x 3 x 2 +3x 1, (iii) = x x 1 3 ; (iv) = 2x 3 x; (vi) = x 5 5x 3 20x 2; x [ 2, 3]. 5. Seja f uma função derivável em um intervalo aberto contendo c. Então (i) - Se f (c) > 0 o gráfico de f será côncavo para cima em (c, f(c)). (ii) - Se f (c) < 0 o gráfico de f será côncavo para baixo em (c, f(c)) 8

9 (iii) - Se (c,f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f e existir f (c), então f (c) = 0. Use estas informações e o teste da primeira derivada para fazer um esboço do gráfico de f quando, (i) = x 4 x 3 ; (ii) = 2x 3 x 2 + 3x 1 (iii) = x 5 5x 3 20x 2; (iv) = 9x x ; (v) = x 1 x 2 + 2x x 9 ( x + 11 ) x 6. (a) Calcule (i) x 2 x 2 ; 2 x (ii) (iii) x x + 2 x a: Dada f : [ 2, 2] R dada por = 1 10 x x2, determine os extremos absolutos e relativos de f. Faça um esboço do gráfico desta função. b: Faça um esboço do gráfico de = x2 + 1 x 2 x, h(x) = x x, α(x) = x2 e x, γ(x) = xe x e β(x) = x 2 e x, F(x) = log 2 (x 2 + 1) e Γ(x) = log 12 (x 2 + 1). 8. Use a diferencial para calcular um valor aproximado para Use a diferencial para calcular um valor aproximado para 4 80 e Se a equação de demanda de um certo comodity for dada por d = 16 p 5, onde d é a quantidade de unidades demandadas e p é o preço em unidades de moeda, suponha que p seja igual a 200, com um erro máximo de 10. Determine o erro relativo máximo aproximado em d. 11. Se a equação de oferta de um certo comodity for dada por s = 16, onde s é a quantidade p3 de unidades demandadas e p é o preço em unidades de moeda, suponha que y seja igual a 200, com um erro máximo de 5. Determine o erro relativo máximo aproximado em s. 12. Dada = x 2 a 2 x 2, com ( a número real positivo e a x a, encontre a a 2 reta tangente ao G(f) no ponto,f( a )) Supondo que C(x) seja o custo (em alguma unidade de moeda) de produção de x unidades de uma certa mercadoria, a função C será denominada Função Custo Total. Se x = 0 for um ponto do domínio de C, então C(0) representará os Gastos Extras do custo de produção. O Custo Médio, Q(x) de produção será obtido dividindo o Custo Total de Produção pela quantidade de unidades produzidas àquele custo, isto é Q(x) = C(x) x, onde Q será denominado Função Custo Médio. 9

10 Fixada uma produção, seja x 0 a quantidade de unidades produzidas e suponha que esta quantidade foi alterada por x unidades. Esta alteração causa uma variação no custo total de produção que é calculada da segunte forma: C(x 0 + x) C(x 0 ), x em Economia é utilizado o termo Custo Marginal para o ite desta razão quando x tende a zero. Em Nosso curso de Cálculo I reconhecemos o ite C(x 0 + x) C(x 0 ), x como a derivada da função C (Custo Total de Prodoção) calculada no ponto x 0. Ou seja, se C(x) for a Função Custo Total então C (x) será a Função Custo Marginal. Se Q(x) for o Custo Médio da Produção de uma unidade de mercadoria, então o Custo Médio Marginal quando x = x 0 será dado por Q (x 0 ), se existir e Q será denominada Função Custo Médio Marginal. Para o nosso curso de Cálculo Q (x 0 ) será a derivada de Q calculada em x 0. 4a Suponha que C(x) seja o cuso total de produção de x molduras para fotos (x 10) e que C(x) = x Encontre a Função Custo Marginal; O Custo Marginal x quando x = 50; O Custo ao se produzir a quinquagézima primeira moldura, O Custo Médio da Produção, O Custo Médio Marginal. Faça um esboço do grafico de cada uma destas funções. 4b Suponha que C(x) seja uma função linear, ou seja C(x) = mx + b,para x 0 com m e b coonstantes reais. Encontre a Função Custo Marginal; O Custo Marginal quando x = 50; O Custo ao se produzir a quinquagézima primeira moldura, O Custo Médio da Produção, O Custo Médio Marginal. Faça um esboço do grafico de cada uma destas funções. Boa Sorte. 10