Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção

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1 Nível 3 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima terceira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site 20 horas de 04/06/2015 (quinta-feira). a partir das OMRP

2 RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa C 2. Alternativa D 3. Alternativa A 4. Alternativa D 5. Alternativa A 6. Alternativa E 7. Alternativa E 8. Alternativa A 9. Alternativa B 10. Alternativa C 11. Alternativa E 12. Alternativa A 13. Alternativa D 14. Alternativa B 15. Alternativa A 16. Alternativa E 17. Alternativa C 18. Alternativa D 19. Alternativa B 20. Alternativa C 21. Alternativa D 22. Alternativa E 23. Alternativa B 24. Alternativa B 25. Alternativa D

3 1. Os cinco números 17, 98, 39, 54 e n têm média aritmética igual a n. Determine n. a) 46. b) 48. c) 52. d) 72. e) Chico das Contas escolheu um número inteiro e, com esse número, somou os dois números pares imediatamente anteriores a ele e os dois ímpares imediatamente posteriores a ele, obtendo 738. A soma dos algarismos do número escolhido por Chico é: a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) O produto de três inteiros positivos é 50. Qual é a menor soma possível para esses três números? a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) Por ocasião de uma gincana no colégio, Ana Lítica, Gê Ométrica, Chico das Contas, Maicon Binatória e Zé da Álgebra partcicipam de uma corrida em equipe. Todos atingem a linha de chegada, chegando nessa mesma ordem em intervalos de 5 minutos. Sabe-se que Ana corre duas vezes mais rápido que Zé. Quanto tempo Chico das Contas demorou para atingir a linha de chegada? a) 1h. b) 45min. c) 40min. d) 30min. e) 15min. 5. O valor da soma x + y na figura a seguir é: a) 140. b) 144. c) 148. d) 152. e) Se p e q são números primos tais que p + q 2 = 102, então p + q é igual a: a) 96. b) 86. c) 82. d) 62. e) A soma de 42 números inteiros e consecutivos sempre é um número: a) múltiplo de 42. b) múltiplo de 6. c) múltiplo de 7, mas não múltiplo de 3. d) múltiplo de 43. e) múltiplo de 21, mas não múltiplo de Ao escrever o número 3 à direita do número R de dois algarismos, obtém-se outro número que é igual a R aumentado em 246 unidades. O produto dos algarismos de R é: a) 14 b) 15 c) 18 d) 21 e) O desenho a seguir representa um terreno já dividido em quadrados de lado 100 metros. Entretanto é necessário dividi-lo em duas regiões com a mesma área, traçando um segmento de reta a partir do vértice F. Sabendo que AB = BC = CD = DE = 25m, qual é o segmento de reta que divide o terreno em duas partes com igual área? a) AF. b) BF. c) CF. d) DF. d) EF. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3

4 10. Ari Timético, seu pai e seu irmão vão pintar algumas paredes de sua casa, todas de mesmo tamanho. O pai de Ari disse: Como sou mais experiente, pinto metade das paredes mais meia parede. O irmão acrescentou: Então, eu pinto metade das paredes que sobrarem, mais meia parede. Ari então concluiu: Sendo assim, só restou meia parede para eu pintar. Quantas paredes, da casa de Ari, vão ser pintadas? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) Ana Lítica organiza os seus livros, atribuindo a cada um deles um código de três letras. Utiliza esses códigos em ordem alfabética: AAA, AAB, AAC, AAD,..., BAA, BAB, BAC,... e assim por diante. Considerando que o alfabeto tem 26 letras e que Ana tem 2015 livros, qual será o último código utilizado por Ana? a) ZZZ. b) XZZ. c) CZZ. d) CZS. e) CZM. 12. Gê Ométrica corta um quadrado de três dias por três dias da página de um calendário. Se a soma das nove datas desse quadrado é um número divisível por 10 e a data do vértice superior esquerdo é múltiplo de 4, em qual dia da semana o mês não pode ter começado? a) terça-feira. b) quinta-feira. c) sexta-feira. d) sábado. e) domingo. 13. A número 2, pode ser expresso por m, n sendo m e n números primos entre si positivos. A soma m + n é igual a: a) b) c) d) 199. e) Quantos segmentos se encontram na figura abaixo? a) 112 b) 113 c) 114 d) 115 e) Determine o valor de x no quadrilátero abaixo, sabendo que AB = BC = BD. a) 20 o b) 30 o c) 40 o d) 50 o e) 60 o A 40 o D B 16. Na tabela a seguir, são colocados números inteiros e positivos obedecendo ao seguinte padrão: se em uma linha estão escritos os números (a, b, c) então na linha seguinte devem ser escritos os números (b + 1, c + 1, a + 1). Considerando que na primeira fila foram colocados os números (1, 2, 3), que número ocupará a posição central na 2015ª fila? a) b) c) d) e) linha 1 linha 2 linha 3 linha 4 linha 5 x C Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4

5 17. Ana Lítica tem três dados comuns idênticos nos quais a soma dos números em duas faces opostas é sempre igual a 7. Ela cola os dados, de modo que cada par de faces coladas tenham o mesmo número e depois os coloca sobre uma mesa não transparente, conforme indica a figura. A soma dos números em todas as onze faces visíveis é 36. Qual a soma dos números das três faces que estão em contato com a mesa? 19. Na figura abaixo, A é o ponto de tangência e ABD é um triângulo equilátero. Se BF = 2 cm e DF = 4 cm, determine a área do triângulo CDF. a) 7 b) 11 c) 13 d) 14 e) 17 a) 7 2 b) 8 3 c) 9 2 d) 9 3 e) Em um jogo existem 2015 buracos vazios em fila e o jogador deve colocar um pino em cada buraco, de acordo com as seguintes regras: (i) Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos estiverem vazios, o pino permanece. (ii) Se colocar um pino em um buraco e se um dos buracos vizinhos estiver ocupado, o pino deste buraco vizinho deve ser retirado. (iii) Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos estiverem ocupados, então um dos pinos vizinhos deve ser retirado. Qual é o número máximo de pinos que podem ser colocados? a) 1 b) 2010 c) 2012 d) 2014 e) De quantas maneiras diferentes pode-se subir uma escada de 7 degraus, subindo um degrau ou dois degraus em cada passo? a) 14 maneiras. b) 16 maneiras. c) 21 maneiras. d) 23 maneiras. e) 29 maneiras. 21. As duas diagonais de um quadrilátero tem comprimentos 12 e 9, e são perpendiculares entre si. A área desse quadrilátero mede: a) 108. b) 96. c) 72. d) 54. e) 36. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5

6 22. Num trapézio ABCD, a base menor AB mede 4 cm; o lado transverso BC, 11 cm; o ângulo ADC, ^ 70 o e o BCD, ^ 40 o. Determine a medida da base maior CD. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) Chico das Contas escreve na lousa os números 1,1,2,3,5,8,... obtendo cada um deles pela soma dos dois anteriores, exceto para o primeiro e segundo. Se m e n são os números que ocupam a posição 2015 e 2017 respectivamente, determine o máximo divisor comum de m e n. a) 2 b) 1 c) 2015 d) 2017 e) Utilizando um círculo de papel cartão de 10 cm de raio, Gê Ométrica constrói a maior caixa possível, composta por 5 quadrados idênticos, formando uma caixa cúbica sem tampa. Qual o volume da caixa construída por Gê? a) 80 cm 3. b) cm 3. c) cm 3. d) 40 cm 3. e) cm Quantos são os triângulos isósceles tais que as medidas dos seus ângulos internos são dadas por números inteiros? a) 45. b) 60. c) 79. d) 89. e) 90. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 6