As funções quadráticas são usadas em diversas aplicações: - Equacionamento do movimento de um ponto com aceleração constante.

Transcrição

1 Módulo 4 FUNÇÕES QUADRÁTICAS 1. APRESENTAÇÃO As funções quadráticas são usadas em diversas aplicações: - Equacionamento do movimento de um ponto com aceleração constante. - Modelagem de trajetórias na Astronomia. - Problemas de máximos e mínimos aplicados a todas as ciências. - Construção de antenas parabólicas. As funções quadráticas definem parábolas. Mas qual a definição de parábola? Na figura, F é uma árvore e r a margem de um rio. rio? É possível o gato se deslocar de forma a sempre estar equidistante da árvore e do A trajetória descrita pelo gato é uma curva chamada de parábola. A margem do rio é uma reta chamada de diretriz. Rio Rio O ponto onde a árvore se encontra é chamado de foco. 63

2 A superfície gerada pela revolução de uma parábola em relação ao seu eixo de simetria é chamada de parabolóide elíptico. Eixo F As antenas parabólicas são tais que, quando uma onda incide sobre a sua superfície interna, a mesma é refletida no foco. Um sensor colocado no foco capta um sinal amplificado. 64

3 O sapo da figura é real. Está sobre um vidro e se encontra acima da superfície preta. Todas as afirmações são falsas. Esta imagem é formada por um conjunto de pontos de luz que são refletidos no foco de um espelho parabólico. O sapo real está sobre o parabolóide elíptico, abaixo da superfície preta. Veja parte dele na parte inferior em posição invertida. Não há vidro algum e nada, absolutamente nada, acima da superfície preta. É um holograma. Se tentarmos tocar no sapo, o nosso dedo irá atravessá-lo. 2. FUNÇÃO QUADRÁTICA Colocando uma parábola em um sistema de eixos cartesianos, com o eixo da parábola paralelo à OY, cada ponto da curva passa a ser representado por um par de coordenadas (x, y). y Haverá uma mesma relação entre x e y para todos os pontos da parábola. Esta relação será do tipo x y = ax 2 + bx + c, para a, b e c reais, com a 0, que definirá uma função quadrática. 65

4 Função quadrática é toda função f: R R definida por f(x) = ax 2 + bx + c, com a R*, b R, c R. EXEMPLOS: a) y = 2x 2-2x + 1 b) y = x 2-4 EXERCÍCIO: Esboçar o gráfico da função y = x 2-4x + 3. y x x y 3. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES A posição da parábola y = a x 2 + bx + c depende dos coeficientes a, b, c. a) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE a a é positivo a parábola tem concavidade voltada para cima (convexa). a é negativo a parábola tem concavidade voltada para baixo (côncava). a > 0 a < 0 Função convexa Função côncava 66

5 b) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE b Vamos imaginar um ponto, percorrendo a curva de forma que a sua projeção sobre OX movimente-se no sentido do eixo. Ao cruzar OY, temos: b é positivo o ponto está subindo. b é negativo o ponto está descendo. Obs.: b > 0 b < 0 b < 0 b > 0 (1) Para demonstrar esta interpretação geométrica necessitamos do conceito de derivada. (2) Para a função y = ax 2 + bx + c abaixo, b é positivo ou negativo? y V x c) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE c Para f(x) = ax 2 + bx + c, f(0) vale... Quando x=0, temos y=c, ou seja, (0,c) pertence à parábola. c é o ponto em OY onde a curva o intercepta. c c 0 c 0 c 67

6 Obs.: (1) Para a função y = a x 2 + bx + c, o termo c informa onde o gráfico corta OY e o termo b informa como corta OY. (2) Um móvel em movimento retilíneo sobre um eixo, parte do ponto d 0, com velocidade constante v 0 e aceleração constante a 0. A função que a cada instante t, associa a posição do ponto neste instante é a função quadrática definida por d(t) = d 0 + v 0 t + a 0 t 2 /2, chamada de equação horária. 0 d 0 Comparando com a função y=at 2 +bt+c, o deslocamento inicial é c, a velocidade inicial é b e a aceleração é 2a. EXERCÍCIOS: 1) A curva do gráfico é definida por y = ax 2 + bx + c. Determinar o sinal de a b c. y x 2) Um móvel em movimento retilíneo percorre até o instante t 0 o espaço e(t) = t 2-2t + 4. Qual o deslocamento inicial e a velocidade inicial?

7 4. ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Zero de uma função, seja quadrática ou não, é todo elemento do domínio cuja imagem é zero. A x x f B 0 EXEMPLO: f definida por f(x) = x 2-5x + 6. Obs.: x = 2 é zero da f, pois f(2) =... (1) f(x) = x 2-5x + 6 é a lei de uma função e x 2-5x + 6 = 0 é uma equação. Se x é um zero da função f, então x é uma raiz da equação f(x) = 0. As expressões corretas são: "zero da função f" e "raiz da equação f(x)=0". Mas também é usada a expressão raiz da função f. (2) Para achar os zeros de y = ax 2 + bx + c basta, pela fórmula de Báscara, encontrar as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0. (3) =b 2-4ac (expressão sob a raiz na fórmula de Báscara) é chamado de discriminante. (4) Vamos ver quantas raízes reais tem a equação x 2 2x + 1 = 0. -b b 2 4ac x = = 2a Temos: > 0 há duas raízes reais distintas. = 0 há uma raiz dupla. < 0 não há raiz real. Como os zeros reais são os x que possuem altura y nula, estes são os pontos do eixo OX onde a curva o intercepta. 69

8 Temos as seguintes situações: x x x > 0 = 0 < 0 2 zeros reais e distintos 2 zeros reais e iguais não tem zeros reais ou um zero real duplo Obs.: (a) Quando = 0, a única raiz é a abscissa do vértice: x V = b± 2a = b± 0 2a = b 2a (b) A função quadrática, na forma fatorada f(x) = (x-2).(x-3), tem raízes 2 e 3. f(x) = x 2-3x -2x + 6 = x 2 5x b = 5 = e c = 6 = 2 3. Conclusão: Se x e x são as raízes da equação quadrática 1.x 2 + bx + c = 0, então: x + x = -b e x. x = c EXERCÍCIOS: 1) Determinar as raízes de y = x 2 + 2x + 1 e esboçar o gráfico. 70

9 5. VÉRTICE O vértice V(x v, y v ) da parábola definida por uma função quadrática f(x)=ax 2 +bx+c pode ser obtido por fórmulas ou pela análise gráfica. As fórmulas são: b x V 2a e y V 4a Pela análise gráfica, temos: x x V x y V x v está no ponto médio dos zeros x e x da função quadrática, ainda que imaginários. y v é a imagem de x v. x V x' x" e y V f ( x V ) 2 EXERCÍCIO: Determinar a imagem da função definida por y = x 2-2x + 2. y x 71

10 6. SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Determinar o sinal de uma função é obter os afastamentos x com y é positivo e os afastamentos x com y negativo. f(x) f é positiva em (0, ) e negativa em (,2 ) 0 2 x Como veremos em trigonometria, no círculo trigonométrico, temos: / /2 EXERCÍCIO: Quais os sinais das funções quadráticas? a) b)

11 2) O conjunto solução de x 2 4 é (a) {x R / x ± 2} (b) [-2, 2] (c) (-, -2] [2, + ) (d) [2, + ) (e) (-, -2] 73

12 74 Mottola

13 Exercícios Obrigatórios 1) (UFRGS) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x 2x 2-1 e g(x) = 3-2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x)=g(x) é (a) -4. (b) -2. (c) 0. (d) 3. (e) 4. 2) (UFRGS) Se p é um número real, a equação x 2 + x + 1 = p possui duas raízes reais distintas se, e somente se, (a) p 3/4 (b) p 3/4 (c) p 4/3 (d) p 0 (e) p é um número real qualquer 3) (CESGRANRIO) O valor mínimo do polinômio y = x 2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é y (a) -1 (b) -2 (c) -9/4 (d) -9/2 (e) -3/2 0 3 x 4) (UFRGS/2015) Considere os gráficos das funções f, g e h, definidas por f(x)=2, g(x)= x 2-5x + 6 e h(x) = x 2-11x + 30, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. O número de pontos distintos em que o gráfico de f intercepta os gráficos de g e h é (a) 1. (b) 2. (c) 3. (d) 4. (e) 5. 75

14 5) (UFRGS/2015) Dadas as funções f e g, definidas respectivamente por f (x) = x 2-4x + 3 e g(x) = - x 2-4x - 3 e representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a distância entre seus vértices é (a) 4. (b) 5. (c) 5. (d) 10. (e) ) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = -40x x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a (a) 6,25 m, 5 s (b) 250 m, 0 s. (c) 250 m, 5 s. (d) 250 m, 200 s. (e) m, 5 s. 7) (PUC) Se uma das raízes reais da equação 2x 2 + kx - 2 = 0 é ½, então a outra raiz é (a) -4 (b) -2 (c) -1 (d) 2 (e) 4 8) (UFRGS) O domínio da função real de variável real definida por f(x) = (1 - x)(3 + x) é o intervalo (a) (-, -3] (b) [-3, -1) (c) (-3, 0) (d) [-3, 1] (e) [1, + ) 76

15 9) (PUC) A função real f é definida por f(x) = g(x). A representação gráfica de g está na figura abaixo: 4 (a) [-12; 4] (b) [0; 4] (c) (0; 4) (d) (-2; 2) (e) [-2; 2] O domínio da função f é 10) (UFRGS) Na figura, estão representados três quadrados. A área do quadrado maior é 25, e a soma das áreas dos quadrados hachurados é A(x). x x A função A(x) é crescente no intervalo (a) (0, 3/2) (b) (0, 5/2) (c) (5/2, + ) (d) (3/2, 5) (e) (5/2, 5) 11) (UFRGS) Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 satisfaz p(1)=-1, p(2)=-2 e p(3)=-1, é correto afirmar que a soma de suas raízes é (a) 0. (b) 1. (c) 2. (d) 3. (e) 4. 77

16 12) (UFRGS-2016) Considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = 10x x 2 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico da função g intercepta o gráfico da função f em dois pontos. O gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é (a) 14. (b) 28. (c) 49. (d) 63. (e) ) (CESCEM) A expressão ax 2 + bx + c, onde b 2-4ac > 0 e a < 0, é estritamente positiva se x for (a) positivo (b) não nulo (c) igual às raízes (d) exterior às raízes (e) interior às raízes 14) (UFRGS) Considere, na figura abaixo, a região sombreada limitada por uma reta e pelo gráfico de uma função quadrática. As coordenadas dos pontos (x, y) dessa região verificam as desigualdades (a) x 2-4x + 1 y 1 - x. (b) x 2 - x + 4 y 1 - x. (c) x 2-2x + 1 y 1 - x. (d) x 2-4x 1 y 1 - x. (e) x 2-2x + 1 y 1 - x. 78

17 15) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f(x)=x 2 + x 2 e g(x)=6 x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo. A distância entre os pontos A e B é (a) 2 2. (b) 3 2. (c) 4 2. (d) 5 2. (e) ) (UFRGS) A parábola na figura abaixo tem vértice no ponto (-1, 3) e representa a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. y x (a) -3 (b) -2 (c) -1 (d) 0 (e) 1 Portanto, a + b é 79

18 17) Dada a função f, definida por f(x)=x x, o número de valores de x que satisfazem a igualdade f(x)=-f(x) é (a) 0. (b) 1. (c) 2. (d) 3. (e) 4. 18) (UFRGS) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x)=ax 2 +bx + c está representado abaixo. Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades (a) a > 0; b < 0; c < 0. (b) a > 0; b < 0; c > 0. (c) a > 0; b > 0; c > 0. (d) a > 0; b > 0; e < 0. (e) a < 0; b < 0; c < 0. 80

19 19) (VUNESP) Sabendo-se que x significa módulo de x ou valor absoluto de x, 2 as raízes da equação x x 6 0 (a) são positivas. (b) têm soma igual a zero. (c) têm soma igual a 1. (d) têm produto igual a 6. (e) têm produto igual a ) (MOTTOLA) Com uma corda de 4 m quer-se construir um retângulo com a maior área possível. Pode-se afirmar que este retângulo (a) é impossível de ser determinado. (b) tem um lado medindo o dobro do outro. (c) tem um lado medindo o triplo do outro. (d) tem lados adjacentes medindo 0,5 e 1,5. (e) é um quadrado de lado 1. 81

20 RESPOSTAS 1) C 2) A 3) C 4) C 5) E 6) C 7) B 8) D 9) E 10)E 11) E 12) C 13) E 14) A 15) E 16) A 17) B 18) A 19) B 20) E 82