Matemática A. Versão 1 RESOLUÇÃO GRUPO I. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio. Duração do Teste: 90 minutos
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- Geovane Leal da Mota
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1 Teste Intermédio de Matemática A Versão Teste Intermédio Matemática A Versão Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 7/00, de 6 de Março RESOLUÇÃO GRUPO I. Resposta (B) A opção (D) é excluída, porque o ponto (0,) não pertence à fronteira da região admissível. Relativamente às restantes opções, tem-se: Opções x y L x + y (A) L + (B) 0 L 0 + (C) L + 7. Resposta (C) Na figura, estão representados o círculo trigonométrico, os lados extremidade dos ângulos cujo coseno p p p é 0,9 e, a ponteado, os lados extremidade dos ângulos que têm -, e radianos de amplitude. y O 0,9 x TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6
2 Como se pode observar: p p no intervalo -,, a equação cos x 09, tem duas soluções; no intervalo 0, p, a equação cos, x 09 tem uma solução; p p no intervalo, p p no intervalo -,, a equação cos x 09, não tem solução;, a equação cos x 09, tem duas soluções.. Resposta (B) Na figura, está representado o triângulo [ABC ] A 0º B 0º 0º C Tem-se AB. AC AB AC cos AB AC 8 8 cos 0º Resposta (B) Recorrendo à calculadora, podemos obter um valor aproximado da amplitude, em radianos, do ângulo pertencente ao intervalo E 0, p ; cuja tangente é igual a Tem-se tg - ( ), 07 Portanto, a, 07 + p, 5 5. Resposta (D) p p Como a + b, tem-se b - a Como a + q p, tem-se q p - a p sena + cosa - sena cosa Logo, sena senb senq sena sen a sen( p a) TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6
3 GRUPO II.. No triângulo [OPQ ], o segmento de recta [PR ] é a altura relativa à base [OQ ] Assim, a área do triângulo [OPQ ] é dada por OQ PR Tem-se: OR OR cosa, pelo que OR 5 cosa e, portanto, OQ 0 cosa OP 5 PR PR sena, pelo que PR 5 sena OP 5 Portanto, a área do triângulo [OPQ ] é 0 cosa 5 sena 5 senacos a f ( a).. f ( a) 5 cos a 5 senacosa 5 cos a senacosa cos a Como a 0, p, tem-se cosa 0 Portanto, para a 0, p, tem-se senacosa cos a sena cosa a p.. f ( q) 0 5senqcosq 5 senq cosq Então ( ) senq + cosq sen q + senq cosq + cos q sen q + cos q + senqcosq + senqcosq Portanto, ( sen cos ) q + q TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6
4 .. A ordenada do ponto P é PR Como o triângulo [OPR ] é rectângulo, por aplicação do teorema de Pitágoras, tem-se PR OP - OR 5-9 Assim, as coordenadas do ponto P são (, ) Vamos determinar a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P por dois processos..º Processo A recta tangente à circunferência no ponto P é perpendicular à recta OP. Como o vector OP tem coordenadas (, ), o declive da recta OP é e, portanto, o declive da recta tangente à circunferência no ponto P é - Assim, a equação reduzida da recta pedida é da forma y - x + b Como o ponto P pertence a esta recta, vem b - + b b Assim, a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P é y 5 - x +.º Processo Um ponto Gxy (, ) pertence à recta tangente à circunferência no ponto P se e só se os vectores OP GP forem perpendiculares, ou seja, se e só se OP GP 0 e Tem-se OP P - O (, ) -(, 00) (, ) GP P - G (, )-( x, y) ( -x, -y) OP GP 0 (, ) ( -x, - y) 0 ( - x) + ( - y) x y y x -5 y - x + Portanto, a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P é 5 y - x + TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6
5 ... Dois planos paralelos admitem o mesmo vector normal. Portanto, uma condição cartesiana do plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial é 5x + y + z 0... Um plano perpendicular à recta QN é paralelo ao plano yoz Portanto, o plano pedido pode ser definido por uma equação da forma x k Como o ponto V tem abcissa, uma condição cartesiana do plano perpendicular à recta QN e que passa no ponto V é x... O plano QTV é definido pela equação 5x + y + z Então, o vector de coordenadas (5,, ) é perpendicular ao plano QTV, sendo, portanto, um vector director da recta de que se pretende escrever uma condição cartesiana. Uma condição cartesiana da recta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U(, -, -) é x - y + z O ponto U tem coordenadas (, -, -), e o raio da superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T é UT Uma equação cartesiana dessa superfície esférica é ( x - ) + ( y + ) + ( z + ) 6.. Seja z a cota do ponto A Então o ponto A tem coordenadas (, -, z) e, portanto, o vector OA tem coordenadas (, -, z) O ponto T tem coordenadas (, 0, -) e, portanto, o vector OT tem coordenadas (, 0, -) OA OT 8 (, -, z)(, 0, - ) z 8 z Portanto, o ponto A tem cota.. O volume do poliedro VNOPQURST pode obter-se como soma do volume do cubo NOPQURST com o volume da pirâmide VNOPQ O cubo tem aresta e, portanto, o seu volume é 6 Para calcular o volume da pirâmide é necessário determinar a sua altura. A altura da pirâmide é igual à cota do ponto V. Este ponto é o ponto do plano QTV que tem abcissa e ordenada - Substituindo x por e y por - na equação do plano QTV, obtém-se: 5 + (- ) + z z 6 z TI de Matemática A Resolução Versão Página 5/ 6
6 Tem-se, então, que a altura da pirâmide é igual a. Como a base da pirâmide é um quadrado de lado, o volume da pirâmide é 6 6 O volume do poliedro VNOPQURST é Tem-se AI AD + DI e AJ AB + BJ Então, AI AJ ( AD + DI ) ( AB + BJ ) AD AB + AD BJ + DI AB + DI BJ 0+ AD BJ + DI AB + 0 AD BJ + DI AB AD AD + AB AB ( AD AD) + ( AB AB) AD + AB AB + AB AB TI de Matemática A Resolução Versão Página 6/ 6
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