Notas sobre primitivas

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1 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 57 Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada em I seja f; isto é, F () f () : Eemplos:. F () é uma primitiva de f () ; pois F () :. F () 5 é uma primitiva de f () ; pois F () 5 :. Sendo a R, F () + a é uma primitiva de f () ; pois F () + a : 4. Sendo a R, F () a é uma primitiva de f () a; pois F () (a) a: 5. F () e + é uma primitiva de f () e ; pois F () (e + ) e : 6. F () arctan é uma primitiva de f () +, pois F () (arctan ) + : 7. F () ln ( + ) é uma primitiva de f () + ; pois F () ln + + : 8. F () n+ n + (n 6 ) é uma primitiva de f () n ; pois F n+ () n : n +

2 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 58 É fácil perceber que a primitiva de uma função não é única. Basta observar os eemplos, e atrás e imaginar muitas situações análogas. As proposições seguintes caracterizam o conjunto das primitivas de uma função num intervalo. Proposição Se, num dado intervalo, uma função f tem uma primitiva F; então f tem nesse intervalo uma in nidade de primitivas. Demonstração: Se F () é uma primitiva de f (), então, 8c R, F () + c também é primitiva de f; pois (F () + c) F () + f () : Proposição Se, num dado intervalo I, F e G são primitivas de uma mesma função f; então F e G diferem por uma constante nesse intervalo, isto é eiste c R tal que F () G () c: Demonstração: Como, 8 I; (F () G ()) F () G () f () f () ; então F () G () é constante em I: (é sabido que se uma função tem derivada nula num intervalo então é constante nesse intervalo). A partir destas proposições conclui-se que o conjunto de todas as primitivas de uma função f num intervalo se pode calcular a partir do conhecimento de uma primitiva. Assim, sendo F () uma primitiva de f () ; o conjunto das primitivas de f () é ff () + c : c Rg Vamos designar o conjunto das primitivas ou integral inde nido de uma função f por P (f) ou por R f () d. Sendo F () uma primitiva de f () temos, então, escrevendo de forma simpli cada, P (f ()) F () + c; c R ou, em notação integral, f () d F () + c; c R: A epressão f () d lê-se "integral de f () relativamente a " e a partícula d, embora possa assumir um signi cado preciso, serve simplesmente para indicar a variável relativamente à qual se está a integrar. Eemplos:. Se f () ; o conjunto das suas primitivas em R é P () + c; c R

3 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 59 ou d + c; c R:. Se f () ; o seu integral inde nido R em é P () + c; c R ou d + c; c R:. Se f (), o conjunto das suas primitivas em R é P + c; c R 4. Se f (t) e t ; o seu integral inde nido é e t dt e t + c; c R: Nem sempre eiste primitiva de uma função f num intervalo I: Quando eiste diz-se que a função é primitivável ou integrável em I: O teorema seguinte dá uma condição su ciente para uma função ter primitiva, apesar de nem sempre ser possível determiná-la analiticamente. Teorema Se f é contínua num intervalo real I; então f é primitivável em I: (O intervalo I pode ser todo o conjunto R) Este teorema garante apenas que as funções contínuas são primitiváveis. Não diz que funções não contínuas não são primitiváveis. Das propriedades das derivadas podem-se inferir propriedades para as primitivas: Proposição Sejam f e g funcões primitiváveis num intervalo I e k uma constante arbitrária. Então:. kf é primitivável e sendo F uma primitiva de f, kf é primitiva de kf; ou seja, P (kf ()) kp (f ()) : Em notação integral, tem-se kf () d k f () d:

4 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 6. f + g é primitivável e sendo F uma primitiva de f e G uma primitiva de g, F + G é primitiva de f + g; ou seja, P (f () + g ()) P (f ()) + P (g ()) : Em notação integral, tem-se f () + g () d f () d + g () d: Demonstração:. Para ver que kf é primitiva de kf; basta derivar: (kf ) kf kf:. Para ver que F + G é primitiva de f + g; basta derivar: (F + G) F + G f + g: O primeiro resultado permite que constantes "atravessem" o sinal de integral, o que facilita o cálculo de muitas primitivas, como veremos na secção seguinte. O segundo resultado é facilmente generalizado à soma de qualquer número de funções e permite decompor a primitiva de uma função que inclua somas na soma de várias primitivas o que, novamente, facilita muitos cálculos. Eemplos:. P (5 ) 5P ( ) 5 + c; c R. # : da Prop.. P (cos + sin ) # P (cos ) + P (sin ) sin cos + c; c R. : da Prop.. P ( ) # P ( 5 ) + P ( 4 ) P ( ) + P (4) P (5) + P (6) : da Prop. # P ( 5 ) + P ( 4 ) P ( ) + 4P ( ) 5P () + P (6) : da Prop. # E. 8 da pg c; c R. Proposição 4 Se f é uma função primitivável num intervalo I, a I e b R, eiste uma única primitiva F de f veri cando a condição F (a) b:

5 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 6 Demonstração: Se G () é uma primitiva de f; então a função F () G () G (a) + b é também primitiva de f (proposição ) e F (a) G (a) G (a) + b b; o que prova a eistência de F nas condições do enunciado. Se houver duas funções satisfazendo essas condições, a sua diferença é uma constante (proposição ) e, como no ponto a essa diferença é, as duas funções têm de ser a mesma. Esta proposição permite resolver os chamados "problemas de valor inicial" ou "problemas de Cauchy", dos quais, de seguida, damos um eemplo. Eemplo: Determinar a primitiva F () da função f () que veri ca a condição F () 5. (Enunciados alternativos: ou que para tem o valor 5 ou cujo grá co passa no ponto de coordenadas (; 5)). Neste eemplo a e b 5: Considerando a primitiva G () da função f () (e. da pg. 57), pela demonstração anterior, a função F () G () G () é a primitiva procurada. Alternativamente o problema pode-se resolver determinando o conjunto das primitivas de f e depois calculando a constante c de modo a obter F nas condições requeridas: Como P () + c; c R, a função F () procurada é da forma F () + c: Mas, para F () 5, tem de ser F () 5 ) ) + c 5 ) c ; pelo que F () + :

6 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 6 Primitivas imediatas Designam-se por primitivas imediatas aquelas que podem ser calculadas a partir de derivadas já conhecidas e por "inversão" das regras de derivação. A partir da tabela de derivadas podemos inferir uma tabela análoga para primitivas. Primitivas Se é uma variável: Se f é uma função de :. P ( ) c: (para 6 ) P (f :f ) f + + c: (para 6 ) +. P (e ) e + c: P e f :f e f + c:. P (a ) a ln a + c: (para a R+ ) P a f :f a ln a + c: (para a R+ ) f 4. P ( ) P ln jj + c: P ln jfj + c: f 5. P (cos ) sin + c: P (cos f: f ) sin f + c: 6. P (sin ) cos + c: P (sin f: f) cos f + c: f 7. P tan + c: P tan f + c: cos cos f f 8. P sin cot + c: P sin cot f + c: f! f 9. P p arcsin + c: P p arcsin f + c f! f P p arccos + c: P p arccos f + c: f f. P arctan + c: P arctan f + c: + + f f P arccot + c: P arccot f + c: + + f Há outras primitivas que podem ser calculadas a partir destas, mediante pequenas manipulações envolvendo, por eemplo: os resultados da proposição, que permitem tirar constantes "fora" do integral e decompor uma primitiva numa soma de duas ou mais primitivas; produtos e divisões por constantes de modo a encontrar valores em "falta", mas sem alterar a função; operações com as funções, como dividir o numerador de uma função racional pelo seu denominador, quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. utilização de identidades trigonométricas.

7 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 6 Eemplos:. Funções cuja primitiva é um logaritmo - linha 4 da tabela de primitivas. Este caso surge quando se primitiva um cociente que no denominador tenha uma determinada função e no numerador a sua derivada. Por vezes é necessário "ajustar" as constantes: (a) P P P ( P ) ln + c sin sin ( + cos ) (b) P P P ln j + cos j + cos + cos + cos. Funções cuja primitiva é a potência de uma função - linha da tabela de primitivas. Este caso surge quando se primitiva um produto de uma potência de uma função pela derivada desssa função. Por vezes é necessário ajustar as constantes para se veri car essa situação: (a) P ( 5) 4 P ( 5) ( 5) 4 (b) P ( 5) 4 P ( 5)4 P ( 5) (! 5) 4 ( 5) c ( 5)5 5 + c ( 5)5 + c 5 ln (c) P P ln (ln ) (ln ) + c (d) P :e e: P ( P ) e e. Casos de aplicação de outras fórmulas da tabela: (a) q sin A (cos ) q sin A (cos ) q (cos ) A (cos ) arcsin (cos )

8 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 64 (b) P +! P + p p p! P + p p p! P + p p arctan p (c) P + P + P + C A P + r r + r P +! C A r r! C AA r! r r arctan + c: r! A C A 4. Casos em que se efectua uma decomposição em várias parcelas: (a) P + + P + + P + +

9 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 65 P () P + arctan + c: (b) P + cos cos P ( + cos ) ( cos ) cos P cos cos P sin cos P sin + P sin cot + sin + c 5. Utilização de identidades trigonométricas Sabendo que cos + cos ; torna-se fácil calcular a seguinte primitiva: P (cos ) + cos P cos P + cos P + P cos P + P 4 + sin + c 4 Primitivação por partes O método de primitivação por partes permite transformar o cálculo de primitivas não imediatas no cálculo de primitivas imediatas ou de primitivas já conhecidas. Pela fórmula de derivação do produto de duas funções, sabe-se que, sendo f e g duas funções de ; (fg) f g + fg Desta fórmula sai que P (fg) P (f g + fg ),, fg P (f g) + P (fg ),, P (fg ) fg P (f g) A última fórmula é, então, utilizada para o cálculo de primitivas não imediatas, habitualmente envolvendo o produto de duas funções. Para a aplicar é necessário escolher, entre as

10 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas 66 duas funções, uma para ser derivada, que tomará o lugar de "f" e outra para ser primitivada tomando o lugar de "g ": Eemplos:. P (e ) : Fazendo f e g e ; tem-se f e g e : Assim P (e ) {z } {z} e fg fg P (e ) {z } f g e e + c. Por vezes o método também se usa quando só está envolvida uma função, considerando para função g a função constante. P (ln ) P (ln :) Fazendo f ln e g ; tem-se f e g : Assim P (ln :) {z } ln{z :} P : fg fg {z} f g ln : P () ln + c. Para n N, P ( n ln ) : Neste caso, f ln, g n ; f e g n+ n + n+ P ( n ln ) ln : {z } {z n + } fg fg ln : n+ n + ln : n+ n + P : n+ n + {z } f g n + P (n ) n+ (n + ) Para facilitar a aplicação do método pode ser usado um esquema no qual gurem as várias funções implicadas no processo como, por eemplo, o seguinte: f! f j g g

11 Matemática - 8/9 - Notas sobre primitivas P (arctan ) P (arctan :) A escolha de f e g é indicada no esquema seguinte: Então, P (arctan ) arctan P + arctan P + arctan ln ( + ) + c f arctan! f + j g g 5. Em certos casos é necessário, no cálculo da mesma primitiva, usar mais de uma vez o processo de primitivação por partes: P (e ( 8 + 5)) Fazemos uma primeira escolha das funções f e g : f 8 + 5! f 8 j g e g e Fica: P (e ( 8 + 5)) e ( 8 + 5) P (e ( 8)) Para calcular P (e ( 8)) repetimos o processo: f 8! f j g e g e Então: P (e ( 8 + 5)) e ( 8 + 5) P (e ( 8)) e ( 8 + 5) (e ( 8) P (e )) e ( 8 + 5) e ( 8) + e + c e ( + 5) + c