Mecânica Quântica. Veremos hoje: Dualidade onda partícula Princípio da Incerteza Formulações da MQ Equação de Schrodinger Partícula numa caixa

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1 Mecânica Quântica Veremos hoje: Dualidade onda partícula Princípio da Incerteza Formulações da MQ Equação de Schrodinger Partícula numa caixa

2 Limitações do modelo de Bohr A teoria de Bohr não era capaz de: Explicar os espectros de átomos multieletrônicos Proporcionar uma explicação para ligações químicas

3 Limitações da ciências no séc. XIX Dois fatos são mal explicados: Conflito entre o modelo ondulatório e corpuscular para a luz Quantização da energia Para tal, houve um desenvolvimento de uma nova teoria para a mecânica

4 Dualidade onda partícula Ao tentar explicar o modelo de Bohr e os osciladores quantizados de Planck, de Broglie propôs que uma partícula de massa m e velocidade v pode ser como uma onda de matéria cujo comprimento de onda seja:

5 Dualidade onda partícula Qual o comprimento de onda de uma bola de 100g a uma velocidade de 20m/s? 3x10-22pm!!! Não é possível experimentos de ondas nessa escala e, portanto, não vemos as características de onda.

6 Dualidade onda partícula Qual o comprimento de onda de um elétron num gás de elétrons a 300K? -31 Sabendo que a massa é de 9x10 kg e velocidade média de 105m temos o comprimento de onda de 7000pm. Ou seja, é possível fazer um experimento de onda para observar o comportamento de onda do elétron nesse gás.

7 Dualidade onda partícula Podemos ver um comportamento ondulatório ao passar os elétrons por uma dupla fenda.

8 Dualidade onda partícula O padrão de intensidade de elétrons no anteparo é como o elétron fosse uma onda. E a detecção do elétron no anteparo é como fosse uma partícula.

9 Princípio de incerteza Ao fazer uso das leis de Newton para uma partícula, temos o conhecimento de sua trajetória conhecendo a posição e a velocidade inicial da partícula.

10 Princípio de incerteza Entretanto, para o mundo atômico e sub-atômico não é bem assim, pois não podemos determinar a posição e a velocidade do elétron simultaneamente.

11 Princípio de incerteza No experimento proposto por Heisenberg para determinar a posição e a velocidade do elétron, haveria a colisão de um fóton cujo comprimento é λ. Entretanto, tal colisão ocorreria em uma distância mínima de Δx=±λ e poderia transferir quantidade de movimento de Δp=±h/λ. O produto dessas duas grandezas será: Δp.Δx=h

12 Princípio de incerteza Utilizando argumentos mais elaborados, obtemos o princípio de incerteza de Heisenberg como:

13 Princípio da incerteza Para ver o efeito, vamos considerar a posição do elétron com uma precisão de 5pm. Isso cairia bem para descrição da órbita no átomo de Bohr. Usando a fórmula da incerteza, teremos um erro na medida do momento de 10-23kg.m/s E sabendo que Δp=m.Δv temos: Δv=107m/s. O erro é quase a velocidade da luz, a máxima possível

14 Formulação da mecânica quântica No início da década de 1920, era necessário ter uma teoria que levasse em conta o comportamento ondulatório da matéria e essa teoria deveria dar valores quantizados as medidas obtida. A essa teoria ficou conhecida como Mecânica Quântica.

15 Formulação da MQ De início houveram dois conjuntos de equações que descrevessem essa mecânica. Equação de Schrodinger resultava em funções de ondas e suas respectivas energias Equação de Heisenberg resultava em matrizes e valores esperados para a quantidade de movimento e a posição. Ficou claro que as duas equações eram equivalentes.

16 Formulação da MQ Vamos considerar a equação de Schrodinger, Hψi=EiΨi Onde H é o operador hamiltoniano Ψi é a função de onda da partícula Ei é a energia da partícula correspondente

17 Equação de Schrodinger Schrodinger descobriu o método de obter a função de onda da partícula em questão (ex.: o elétron) conhecendo o potencial que essa partícula sente, a energia do sistema ou a função de onda inicial do sistema. Assim para encontrar a função de onda, basta solucionar a equação de Schrodinger. A saída é uma função de onda que depende da posição

18 Equação de Schrodinger Podemos exemplificar o método de obter a função de onda como uma máquina

19 Equação de Schrodinger A função de onda, Ψ, obtida não tem nenhum significado físico. Porém o quadrado da função de onda, Ψ 2 é a probabilidade de encontrar a partícula numa determinada região do espaço.

20 Onda estacionária Uma onda estacionária é aquela em que a crista, ou a posição de maior amplitude não se move. Da mesma forma, pontos em que a amplitude é nula, conhecidos como nodos, não se move.

21 Onda estacionária Podemos descrever a onda estacionária em uma corda através do deslocamento que ela faz em relação ao equilíbrio.

22 Onda estacionária Porém, há vários modos em que uma onda estacionária pode estar na corda do violão. Podemos escrever a equação do deslocamento para cada modo como sendo:

23 Onda estacionária O comprimento de onda de uma onda estacionária numa corda depende do comprimento da corda e e do número de ventres e é dado por:

24 Elétron confinado numa caixa Vamos supor que um elétron esteja confinado em uma caixa.

25 Elétron confinado numa caixa Visto como onda, o que temos é o mesmo problema da corda de violão. Devido a impossibilidade da partícula estar fora da região do poço, afirmamos que nessas posições a função de onda é nula. Havendo, portanto, ondas estacionárias.

26 Elétron confinado numa caixa A ligação desse mundo imaginário de ondas com a nossa realidade é feita tomando o quadrado da função de onda. Esse quadrado dessa função tem o sentido físico de ser a probabilidade de, ao fazer uma medida, detectar o elétron na posição.

27 Elétron confinado numa caixa Ao considerar o elétron confinado como uma onda, por debroglie:

28 Elétron confinado numa caixa Representamos a quantização de energia pelo Diagrama de Níveis de Energia e o número n passa a ser o número quântico.

29 Partícula numa caixa Assim podemos observar que no problema de uma partícula em uma caixa: Os níveis de energia quantizados aparecem quando o movimento da partícula é restrito. O espaçamento da energia aumenta na medida que a massa e o espaço disponível da partícula diminuem. As funções podem ter sinais positivos em uma região e negativo em outra. O ponto ou o plano na qual a função de onda é nulo é o nó da onda e a onda que tiver mais nós terá mais energia.

30 Elétron confinado numa caixa O exemplo que podemos tomar como um experimento é o Curral Quântico.

31 Elétron confinado no átomo Na próxima aula veremos que o elétron é confinado no átomo e, portanto, pode ser descrito como uma função de onda estacionária em 3D. Isso irá permitir uma descrição completa do átomo de hidrogênio.