MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel

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1 MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

2 Programa do curso: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral. 2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores. 3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos. 4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações. 5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança. 6 Prova 7 Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla. Multicolinearidade e seus efeitos. 8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas. 9 Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas. Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância. 10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores. 11 Experimentos fatoriais 2 k. Pontos centrais. 12 Experimentos em blocos casualizados. blocagem em experimentos 2 k. 13 Prova 14 Experimentos fatoriais fracionados. 15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta. 16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

3 INTRODUÇÃO AO PROJETO DE EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel

4 Processo de experimentação: Experimentação pode ser visto como um teste, ou uma série de testes, nos quais mudanças propostas são aplicadas nas variáveis de entrada de um processo ou sistema, para então se observar e identificar as mudanças ocorridas nas variáveis de saída. A experimentação é feita de forma seqüencial: 1. O primeiro experimento em um sistema complexo (possui muitas variáveis de controle) é um piloto (screening experiment). É utilizado na identificação das variáveis mais importantes. 2. Experimentos subseqüentes são feitos para refinar a informação e determinar quais ajustes nas variáveis críticas são necessários para melhorar o sistema. 3. Otimização: é o objetivo final da experimentação. Consiste em determinar os níveis ótimos das variáveis críticas (resultarão no sistema com a melhor performance possível).

5 Importância em engenharia (PROCESSOS): Normalmente, os processos podem ser descritos utilizando variáveis de controle (exemplos: temperatura, pressão, viscosidade). Assim, utilizando experimentação é possível determinar qual subconjunto das variáveis de processo tem maior influência na sua performance. Como resultado é possível obter: Melhoria da performance de processos de manufatura Redução da variabilidade e maior conformidade (target requirements) Desenvolvimento de novos processos Detecção das causas de falhas Redução no custo de operação

6 Importância em engenharia (PROCESSO): Entrada Fatores Controláveis x 1 x 2 x 3 x 4 x p... Processo Saída y 1 y 2 y 3 y 4... z 1 z 2 z 3 z 4 z q... y m Fatores Incontroláveis (ruídos) Que fatores (controláveis ou não) mais influenciam nas saídas (y 1,,y m )? Como ajustar os fatores controláveis de modo que as saídas tenham o valor desejado (valores ótimos)? Como ajustar os fatores controláveis (x) de modo que os efeitos de dos fatores incontroláveis (z) sobre as saídas (y) sejam mínimos?

7 Importância em engenharia (PRODUTOS): Em desenvolvimento de novos produtos, a utilização de técnicas de experimentação permite: Avaliar e comparar configurações de projetos Avaliar e comparar diferentes materiais Selecionar parâmetros de projeto para que o produto funcione bem em diferentes condições de operação (projeto mais robusto) Determinar os parâmetros de projeto chave que afetam a performance do produto. Como resultado, busca-se desenvolver produtos mais simples de fabricar, com maior performance, mais confiáveis e projetados, desenvolvidos e produzidos em um menor tempo.

8 Processo de experimentação: Atividades de um processo de experimentação: 1. Conjectura: a hipótese original que motiva o experimento 2. Definir os objetivos do experimento (piloto, refinamento, otimização) 3. Escolha dos fatores controláveis e seus níveis 4. Seleção da(s) variável(is) de resposta 5. Projeto do experimento: forma de coleta dos dados 6. Realização do experimento: coleta dos dados 7. Análise dos dados: métodos analíticos (estatísticos) e de otimização aplicados aos dados 8. Conclusões e recomendações: o que foi aprendido em relação a conjectura.

9 EXPERIMENTOS INTEIRAMENTE CASUALIZADOS e ANÁLISE DE VARIÂNCIA Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

10 Introdução: Quando há apenas 1 fator a ser testado e este possui mais de 2 níveis, emprega-se o chamado experimento inteiramente casualizado e os dados coletados são analisados (verificar se há diferença entre as médias) por análise de variância (ou ANOVA). A análise de variância pode ser vista como um teste de hipóteses utilizado para comparar as médias de mais de duas populações. Exemplos: O rendimento de uma reação química executada com diferentes concentrações de catalisador. A eficiência de diversas marcas de remédios para o tratamento de uma mesma doença. A vida útil de componentes produzidos utilizando diferentes processos de fabricação.

11 Conceitos da ANOVA: Objetivo: Avaliar se as diferenças entre as médias das amostras são estatisticamente significantes, ou seja, se uma variação de médias das amostras pode ser conseqüência da variação amostral ou é uma boa evidência da diferença entre as médias das populações. Sejam k: número de populações ou tratamentos sendo comparados m i : média da população ou do tratamento i, i = 1,...,k y ij : valor da j-ésima medida da i-ésima população(tratamento), j=1,...,n y i. : média da i-ésima população (tratamento), i=1,...,k y.. : média geral k y k1 y k2 y kn y k. y k.

12 Conceitos da ANOVA: A variabilidade total das amostras pode ser dividida em duas partes: A primeira parte de variabilidade é proveniente das médias das populações (tratamentos) serem diferentes, denominada variabilidade entre (quanto maior for a variabilidade entre, mais forte é a evidência das médias das populações serem diferentes) A segunda parte de variabilidade é causada pelas diferenças dentro de cada amostra, denominada variabilidade dentro (quanto maior for a variabilidade dentro, maior será a dificuldade para concluir se as médias das populações são diferentes) i 1,..., k Assim, yij mi ij j 1,..., n ou k n k k n 2 2 SQT = SSTr + SSE yij y.. nyi. y.. yij yi. i1 j1 i 1,..., k yij m i ij j 1,..., n com i 0 i1 i i1 j1 2

13 Procedimento da ANOVA: O teste de hipóteses para a níveis de um fator é estabelecido da seguinte forma: H 0 : m 1 = m 2 = m 3... = m k H A : Nem todas os tratamentos (níveis) têm a mesma média Estatística do teste: F calculado Variabilidade entre Variabilidade dentro SSTr k 1 SSE n k T QMTr QME ~ F, gl Tr, gl E A distribuição F conduzirá a decisão de rejeitar a hipótese nula, ou não, comparando o F calculado com o F crítico, F c, correspondente ao nível de significância adotado.

14 Tabela ANOVA: Análise de variância pela tabela ANOVA: SS k n y ij y.. i1 j1 2 SST n 2 y y n y k k. y.. SSE n 1 2 y 1 j y1. ykj yk. j1 n k j1 2 n T n 1 n k nk OBS: As fórmulas estão segundo a notação da tabela

15 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Conjectura, objetivo, variável resposta e fator controlável: Um fabricante de papel está interessado em aumentar a resistência à tração de seu produto. De acordo com engenheiros de produto, a resistência à tração de papéis está relacionada a concentração lenhosa do papel. Fator controlável, seus níveis e projeto do experimento: A equipe de engenheiros responsável por este estudo decidiu investigar 4 níveis de concentração lenhosa: 5%, 10%, 15% e 20%. Eles decidiram fazer seis coletas de dados para cada nível de concentração. A resistência à tração de todas as 24 amostras foram medidas, sendo a seqüência inteiramente casualizada.

16 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Projeto do Experimento: Concentração lenhosa Replicação Amostra % % % % Aleatório 0,2383 0,2004 0,7198 0,3921 0,7419 0,9203 0,7278 0,4475 0,7510 0,6384 0,3158 0,9478 0,8914 0,3203 0,7741 0,0763 0,6893 0,8473 0,9819 0,4575 0,3899 0,0930 0,8727 0,2245 Sequência de mensuração Amostra Aleatório 16 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9819

17 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Dados coletados: Análises: - Análise de variância (ANOVA) - Análise de regressão

18 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Análises: ANOVA C5% C10% C15% C20% Anova: fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância C5% C10% , , C15% ,2 C20% , , ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Entre grupos 382, , , ,59258E-06 3, Dentro dos grupos 130, , Total 512,

19 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Análises: análise de regressão Concentração lenhosa Replicação Amostra Resistência à tração C10% C15% C20% C10% C15% C20% % % % %

20 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Análises: análise de regressão RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Erro padrão 2, Observações 24 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 3 382, , , ,59258E-06 Resíduo , , Total , Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 15, , , ,76548E-18 14, , C10% -0, , , , , , C15% 1, , , , , , C20% 5, , , ,19204E-05 3, ,

21 Resíduo Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Análise dos resíduos: gráfico de dispersão Gráfico de dispersão dos Resíduos Y previsto

22 Resíduo Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Análise dos resíduos: verificação da normalidade QQ Norm 2,5 2 1,5 1 0, ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-0,5-1 -1,5-2 -2,5 Esperado

23 Planejamento e análise dos Experimentos: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) Conjectura e objetivo: Um fabricante de papel está interessado em aumentar a resistência à tração de seu produto. De acordo com engenheiros de produto, a resistência à tração de papéis está relacionada a concentração lenhosa do papel. Conclusão e recomendações: A conjectura está correta (a resistência à tração está relacionada a concentração lenhosa do papel) e é possível especificar a concentração necessária para atender requisitos de resistência.

24 Comparações múltiplas: Apesar da ANOVA testar a homogeneidade de um conjunto de médias, se rejeitarmos a hipótese nula não é possível saber quais, dentre as médias, são diferentes. Se for aplicado o teste de diferença entre médias de duas populações estaremos subestimando o erro do tipo I = 1-(1-) r em que r é o número de médias comparações par a par (=k(k-1)/2). Ex: k=4 r=6 e Erro tipo I = 1-(0,95) 6 = 0,26 Teste de Tukey: permite a formação de intervalos de confiança 100(1-)% simultâneos para todas as comparações em pares. Estatística do teste: há diferença significativa entre as médias se yi. y j. q, k, k n 1 ˆ n

25 Comparações múltiplas: CASO 1: Experimento inteiramente casualizado (1 fator, k=4 níveis, n=6 replicações) q ˆ 2,55 2,55, k, kn 1 q0.05,4,20 3,96 4, 12 n 6 6 y y y 5% 5% 5% y y y 10% 15% 20% 5,67* 7,00* 11,17* y y y 10% 10% 15% y y y 15% 20% 20% 1,67 5,50* 4,17* * significativas a 5% Desta forma, apenas a diferença entre as médias de 10% e 15% de concentração lenhosa não são significativamente diferentes (=5%).

26 Para casa: Laboratório 6 (site: Leitura: Walpole et al. cap. 13 (13.1 a 13.3 e 13.6): Exper. com 1 fator: geral Montgomery e Runger cap.13 (13.1 a ): Desing and...