Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

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1 GEOMETRIA PLANA

2 TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dois segmentos determinados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

3 Exemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

4 Ângulos Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo, e seus submúltiplos são o minuto e o segundo. Temos que 1º (grau) equivale a 60 (minutos) e 1 equivale a 60 (segundos).

5 Tipos de Ângulo Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90. Neste caso, cada um é o complemento do outro. Na ilustração temos que: α + β = 90

6 Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o suplemento do outro. Na ilustração temos que: α + β = 180

7 Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360. Neste caso, cada um é o replemento do outro. Na ilustração temos que: α + β = 360º

8 1. Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças abaixo ( ) 80º e 10º são suplementares. ( ) 30º e 70º são complementares. ( ) 120º e 60º são suplementares. ( ) 20º e 160º são complementares. ( ) 140º e 40º são complementares. ( ) 140º e 40º são suplementares.

9 Dadas duas ou mais retas paralelas, cada reta transversal a essas retas formam ângulos opostos pelo vértice.

10 2. As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x para que r e s sejam paralelas é: a) 20 b) 26 c) 28 d) 30 e) 35

11 Ângulos de um Polígono A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

12 Diagonais de um polígono Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

13 3. Dada a figura abaixo, analise as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que (A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa. (C) somente a III é falsa. (D) são todas falsas. (E) são todas verdadeiras.

14 Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. Assim podemos equacionar

15 Exemplo Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

16 Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a:

17 4. Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros. (A) 7. (B) 5. (C) 8. (D) 6. (E) 9.

18 Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados. A soma dos ângulos internos é sempre 180.

19 Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: üa, B e C são os vértices. üos lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c. üos triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.

20 Quanto à medida do seu lado Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida. Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida. Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes.

21 Quanto à medida dos ângulos Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos. Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90 º ou obtuso. Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90 o.

22 TRIÂNGULO RETÂNGULO

23 Área de Triângulos A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

24 5. Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

25 6. A área do triângulo sombreado da figura abaixo é

26 TRIGONOMETRIA no TRIÂNGULO RETÂNGULO

27 Composição do Triângulo Retângulo Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto. Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o maior lado do triângulo retângulo.

28 Relações Trigonométricas

29 PRINCIPAIS ÂNGULOS

30 Casos Especiais ØCaso : Coisa, 2Coisa e Coisa

31 Casos Especiais ØCaso : Triangulo Retângulo Isósceles

32 Exemplo Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

33 Exemplo Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.

34 Exemplo No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas. (Use: sen 65 = 0,91; cos 65 = 0,42 ; tg 65 = 2,14)

35 7. Uma escada utilizada para ajustar o ar condicionado de uma sede da Secretaria da Fazenda tem 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: a) 0,5 m b) 1 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 2 m

36 QUADRILÁTEROS

37 Quadriláteros Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes. Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360.

38 Algumas Propriedades dos quadriláteros: 1. A soma dos seus ângulos internos é A soma dos seus ângulos externos é Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.

39 Classificação Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios. ØParalelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. Exemplos: Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado. Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais. Losango, paralelogramo.

40 Exemplo Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: a) MN e NP b) x e y

41 ØTrapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Exemplos: Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas. Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos. Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

42 Principais Quadriláteros Trapézio Características: Apresenta 2 lados paralelos apenas.

43 Paralelogramo Características: Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.

44 Losango Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são perpendiculares entre si.

45 Retângulo Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.

46 Quadrado Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.

47 FIGURAS CIRCULARES

48 DEFINIÇÃO De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a ilustração a seguir:

49 A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

50 E o famoso valor E O FAMOSO π? Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π: Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale aproximadamente 3,14. Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação: π rad = 180

51 CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA

52 Exemplo Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:

53 SETOR CIRCULAR

54 COROA CIRCULAR

55 8. Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

56 Comprimento ou Perímetro

57 1 TRIÂNGULO RETÂNGULO

58 2 TRIÂNGULO EQUILÁTERO

59 3 QUADRADO

60 4 - RETÂNGULO

61 5 - LOSANGO

62 6 - CÍRCULO

63 ÀREA Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. Para não haver erro, lembre-se: Área é o que eu posso pintar

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75 9.No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1 justapostos. A área do quadrado ABCD é: (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.

76 10. Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: (A) 98. (B) 102. (C) 108. (D) 112. (E) 120.