Objetivos da aula. 1. Saber usar o ângulo externo de um polígono. 2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida.

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1 Objetivos da aula 1 Saber usar o ângulo externo de um polígono 2 Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida 3 Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono 4 Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos

2 1 Ângulos 12 Ângulos adjacentes 11 Definição É uma região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem

3 2 Bissetriz de um ângulo 21 Definição É a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes 22 Propriedade Um ponto equidista das semirretas OA e OB se somente se ele pertence a bissetriz Demosntração c β β p d Pelo caso ALA de congruência de triângulos temos que os triângulos OBP e OAP são congruentes, então PC = PD

4 Pelo vértice de um ângulo reto, traça-se uma reta r genérica, exterior ao ângulo O Calcule o ângulo X OY, formado pelas bissetrizes dos ângulos agudos que AO e OB formam com r 2α β = 180 α + β = 45 α α β β Objetivo: α β =

5 Os ângulos A OB e B OC são adjacentes e somam 100 OX, OY e OZ são bissetrizes de A OB, B OC e X OY, respectivamente Se B OZ = 10, calcule a medida do ângulo B OC 2a + 2b = 100 a + b = 50 a a - 10 a - 10 = b + 10 a - b = a 10 b + 10 b b a + b = 50 a - b = 20-2b = 30

6 3 Mediatriz de um segmento 31 Definição Dado um segmento de extremos A e B, dizemos r é mediatriz do segmento AB se r passa pelo ponto médio de AB e a sua interseção forma um ângulo reto com o segmento AB 32 Propriedade Se um ponto P está na mediatriz do segmento AB então PA = PB Mediatriz de AB p A m B

7 Três amigos desejam marcar um encontro Para isso desejam se encontrar em um local que equidiste das casas de ambos Esse local deve estar contido sempre no encontro das: a) bissetrizes b) medianas c) mediatrizes d) alturas m2 m1 m3

8 4 Ângulos segundo suas medidas 41 Ângulo agudo: α é agudo se e somente se 0 0 α Ângulo reto: α é um ângulo reto se e somente α = Ângulo obtuso: α é um ângulo obtuso se e somente se α > Dois ângulos positivos α e β são: 51 Complementares se α + β = Suplementares se α + β = Replementares α + β = 360 0

9 (G1 - cftce 2006) Dois ângulos são suplementares Os 2/3 do maior excedem os 3/4 do menor em 69 Determine os ângulos a + b = = 2b + 3b 3 4 a = b 2a 3 = 3b (180 b) b 3 = = 3b b b 3 = 3b = 8b b = 17b = b a = a = 144

10 5 (G1 - cftce 2006) O ângulo cujo suplemento excede de 6 o quádruplo do seu complemento, é: a) 58 b) 60 c) 62 d) 64 e) 68 a + c = 90 a + c = 90 a + 4c = 174 a + s = 180 s = 4c + 6 a + 4c + 6 = 180 a + c = 90-3c = 84 c = 28 a + 28 = 90

11 6 Retas paralelas cortadas por uma transversal β α β α α β α β β α α β B β Ângulos alternos internos têm a mesma medida α C β + α = 180 A α β p M D

12 (FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s Assinale o valor de α α = α =

13 (Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 e o ângulo 2 mede 55 A medida, em graus, do ângulo 3 é: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e)

14 7 Soma dos ângulos internos de um triângulo A soma dos ângulos internos de um triângulo é Demonstração θ β α θ + β + α = 180

15 (G1 - ifpe 2012) Júlia começou a estudar Geometria na sua escola Com dúvida em um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio O enunciado era: As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo Portanto, o valor de x é: a) b) c) d) e) X = 140

16 (UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expresso em graus Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo Determine o valor do ângulo X a a b = b + x = 180 b = a 100 X = 180 X = 15

17 8 Teorema do ângulo externo A medida do ângulo externo de um triângulo é igual a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes Eθ + θ = 180 α + β + θ = 180 Eθ = α + β Eθ

18 8 Teorema do ângulo externo A medida do ângulo externo de um triângulo é igual a medida da soma dos dois ângulos não adjacentes Eθ + θ = 180 α + β + θ = 180 Eθ = α + β Eθ

19 Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC Se DOE é paralelo ao lado BC, AB = 19, AC = 21 e BC = 25, então o perímetro do triângulo ADE vale: a) 38 b) 39 c) 40 d) 44 e) x x y 21 - y 21 DE // BC DOB é isósceles x 2b b c 2c y b b c c 25 2p = 19 - x y + x + y

20 (Eear 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de α é 70 0 = α 15 0 = α

21 9 Polígonos 91 Definições: 913 Arestas:

22 9 Polígonos H ae A ai B C 91 Definições: 913 Arestas: 910 Vértices G D 911 Ângulos internos: 912 Ângulos externos: ai + ae = 180 F E 914 Diagonais

23 9 Polígonos A B 91 Definições: H ae ai C 913 Arestas: 910 Vértices G D 911 Ângulos internos: 912 Ângulos externos: ai + ae = 180 F E 914 Diagonais 915 Obs: o nome do polígono é dado em função do número de lados 916 Polígono regular: é o polígono que possuí todos os lados e todos os ângulos congruentes

24 10 Soma dos ângulos internos de um polígono convexo lados lados Sn = (n-2) lados n - 2 n lados (n-2) 180

25 101 Se o polígono for regular temos que: A B H ai ai ai ai C Sn = (n-2) 180 S8 = (8-2) = ai G ai F ai ai E ai D ai = (n-2) 180 n

26 102 Soma dos ângulos externos de um polígono qualquer A B ai + ae = 180 H ae ai bi be + C ci bi + be = 180 G D (n-2) Σe = n 180 F E n Σe = n 180 Σe = 360

27 9 Polígonos H ae A ai B C 91 Definições: 913 Arestas: 910 Vértices G D 911 Ângulos internos: 912 Ângulos externos: ai + ae = 180 F E 914 Diagonais

28 (Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130 cada um e os demais ângulos internos medem 128 cada um O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 Sn = (n-2) 180 (n-2) 180 = (n-2) 128 n = n n52 = 364 n = 7

29 11 Número de diagonais de um polígono convexo A B d = (8 3) 8 2 = 20 H C d = (n 3) n G D 2 F E

30 A diferença entre o número de diagonais dos dois polígonos é 27 e o primeiro tem 3 lados a mais que o segundo Determine os dois polígonos X : número de lados do que tem mais lados Y : número de diagonais do que tem mais lados Y = Y = [X 3] X 2 X² 3X 2 X² 3X 2 d = (n 3) n 2-27 = 6X/2 = 36 X = 12 R: Dodecágono (12 lados) e eneágono (9 lados) X² 9X X - 3 : número de lados do que tem menos lados Y - 27 : número de diagonais do que tem menos lados Y - 27 = Y - 27 = Y - 27 = [(X 3)- 3] (X- 3) 2 [X 6] (X- 3) 2 X² 9X +18 2

31 12 Número de diagonais que passam pelo centro I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais, então o número de diagonais que passam pelo centro é igual a n/2 II) Se o número n de lados é impar e d é o número de diagonais, então o número de diagonais que passam pelo centro é igual a 0

32 Qual o polígono que tem 6 diagonais passando pelo seu centro? I) Se o número n de lados é par e d é o número de diagonais, então o número de diagonais que passam pelo centro é igual a n/2 n/2 = 6 n = 12 II) Se o número n de lados é impar e d é o número de diagonais, então o número de diagonais que passam pelo centro é igual a 0