BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

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1 BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 10 GABARITO COMENTADO 1) Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos ) que a está para b, assim como 3 está para 8. Da segunda propriedade das proporções temos que: a 3 a b b 8 a 3 Temos que a e b somados resultam em 1, assim como 3 mais 8 resulta em 60. Substituindo-os na proporção temos: a 8 Calculemos o valor de b: b 7 Uma das sacolas pesa 8 kg ao passo que a outra pesa 7 kg x x 7 6x 7 x 1 3) No produto devemos separar todos os múltiplos de 7, logo Temos 1 números e colocando 7 em evidência temos: 7 1 ( ), separando os múltiplos de 7 novamente, temos: 71 ( ), temos 0 números, e colocando 7 em evidência novamente, temos: ( ) onde temos múltiplos de 7, logo a maior potência de 7 é ) z x + y x z z x, logo y x. logo são proporcionais a 1, e ) Observe que Assim N q1 + 3 (divisível por três) N + 3 q + 7 (divisível por sete) N + 1 q3 + 1 (divisível por quarenta e um) Logo K (N + 1) (N + ) (N + ) é divisível por 861 Daí o resto é zero 6) Como sabemos, a partir do enunciado podemos montar as seguintes igualdades: K. 9 / 8 p K. 8 / 3 + p 6 Para encontrarmos o valor da constante K devemos substituir o valor de p 1 e p na última expressão: Portanto: 1. 9 / 8 16 p 1. 8 / 3 38 O primeiro filho ganhou 16 bolas de gude e o segundo ganhou 38.

2 7) Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i, os números ordenados assim: a > b > c > d > e > f > g > h > i. a+ b+ c+ d+ e+ f + g+ h+ i Então,e e 9e a+b+c+d+e+f+g+h+i. Além disso, a + b + c + d + e 68 9 a+b+c+d+e 30, e também temos a seguinte equação, e + f + g + h + i e+f+g+h+i 0. Portanto, somando, obtemos 9e + e 60 e 6. E assim, a soma desejada será 9e 0. 8) x número de condônimos M mensalidade 3 condônimos não pagaram 0 acrescimo/condônimo pagante {100 M * x M100/x {100 (x 3) * (M + 0) 100 xm + 90x 3M xm + 0x 3M 160 (x 3)M + 0x 160 (x 3)[100 / x] + 0x (multiplicar tudo por x) 9) Como a + b + c 011 a < 011 a > 011, a é pelo menos 01. Substituindo a 01, encontramos: e podemos tomar b c b c 011 b c ) Vamos utilizar a desigualdade entre as médias. a + b ab a + c ac b + c bc Multiplicando as três desigualdades, temos: ( a + b) ( a + c) ( b + c) abc 8 ( a + b) ( a + c) ( b + c) abc 8 ( a + b) ( a + c) ( b + c) 8 abc O menor valor é 8. 11) A soma de todas as notas é A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 00 é divisível por e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por, o último número a ser digitado é múltiplo de, ou seja, é 76 ou 80. Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é , que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos que o penúltimo número a ser digitado é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3, absurdo. Logo o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as ordens de digitação 76, 8, 91, 71, 80 e 8, 76, 91, 71, 80) 160x (x 3) x 160 x 100x x 0x + 100x x 0 0x 60x (dividir tudo por 0) x 3x x 1 ou x 1 10 : 1 80

3 3 1) Seja Ni o i-ésimo número, i 1,...,98. temos: (N1 + N N98 + x + y)/100 9,83 (N1 + N N98 + x + y) 983 (I) e (N1 + N N98)/98 8, (N1 + N N98) 833 (II) de (I) e (II) vem: x + y x + y 10 assim: x + y 10 3x y 1 x 8 e y 6 13) A antes 1, bilhão 1 00 milhões T 6 milhões M (1 00*30 + 6*)/( ) M 36 10/1 06 M 9,97 1) Note que como a demanda é linear, para cada decréscimo no valor do rodízio, há um aumento do número de fregueses e esses valores são constantes. Assim, temos: 1, , , ) x + y 3 x + y x ae y b a + b 3 b 3 a a + b a² + (3 a)² a² + 9 6a + a² a² 6a + 0 a² 3a + 0 (a ) (a 1) 0 a ou a 1 Para a temos b 1 e para a 1 temos b. Como queremos o maior valor de y 16) x + 0 x² x² x 0 0 x e x Verificando somente nos servirá x y b y 3 17) Devemos ter c(c + 1) 30 então c. Agora para a + b temos soluções diferentes para o par (a, b). Daí, a resposta correta seria ) Como x+ y > x y e x é inteiro positivo, ( ) x+ y x y 1 x+ y x y x+ y x+ y x y + x y x 1 x y + 1 y x 1 x x x y A única alternativa que contém um número da forma x 1 é a alternativa C.

4 19) Temos 0 níveis. O primeiro nível é constituído de cartas (observe a figura); a razão é 3 (,, 8) Logo, temos que descobrir quantas cartas há no 0º nível: a0 a r a a0 119 Então temos uma P.A. desta maneira: (,, 8.119). R 3. Sendo assim, podemos descobrir quantas cartas há no Ka Kay utilizando a fórmula da Soma de todos os termos: Sn (a1 + an). n/ S0 ( + 119). 0/ S S0 0. 0) Trabalhando h por dia, se ele produz 100 peças em 3 dias, ele trabalhou 1 h para fazer 100 peças. Assim, ele produz 80 peças por hora (100 peças / 1 h). Trabalhando 3 h por dia, ele produzirá 0 peças por dia. Em 7 dias, serão 1680 peças, Faltam 160 peças para a meta (180 peças), equivalente a h de serviço do tear. Assim, necessitamos de horas no oitavo dia para produzir essa quantidade. 1) primeira semana : x casas; segunda semana : y casas; terceira semana : x + y casas; quarta semana : x+ y + y x + y casas; quinta semana : x + y + x + y x + 3y casas; sexta semana : x + 3y + x + y 3x + y casas. Se na segunda semana foram construídas 3 casas, então, y 3. Se na quinta semana foram construídas 1 casas, então, x + 3y x x x 1 9 x 1 x 106 casas. Logo, na sexta semana foram construídas 3x + y ) COMPUTADORES VELOCIDADE TEMPO x x x 900 x 1 3) LIVROS PÁGINAS DIAS MÁQUINAS JORNADA X x Fazendo as devidas multiplicações, temos x 6. ) Supondo que x seja o número de horas por dia, então x também é o número de dias por semana, o número de semanas por mês e o número de meses por ano. Logo, o número de horas por ano é x x x x x x x x. Portanto o número de semanas por mês é 8. ( ) 8

5 ) A solução deve satisfazer a condição de existência x 0 y. Assim, x : x x + c y y c 0, 1+ c e devemos ter 0 para haver solução real. 1+ c 0 c 1/. Deveremos ter uma raiz não negativa em y, o que ocorre porque a equação mostra que a soma das raízes é 1. 6) Inicialmente temos, litros de água e, litros de álcool. Colocados x litros de água, para termos 30% de álcool 30 na mistura, basta que ( 9 + x ),, então x ) De todos os alunos dessa classe, 60%. ( + 18) 0,60. 0 foram prestar trabalho comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando alunos se envolveram, restando assim o mínimo de vagas para as meninas. 8) Vamos representar por A, G e L a quantidade de questões de Álgebra, Geometria e Lógica da Prova e por a, g e l as questões respondidas acertadamente em cada uma destas áreas. As condições do problema fornecem as seguintes equações: a A g i a + i g + l 0, ; 07, ; 08, ; 06, ; 0, 7 g L A + L G + L Substituindo as relações expressas pelas três primeiras equações nas outras duas, obtemos: 0, A + 08, L A + L 3L 06, 0, 1 A 018, L A 07, G + 08, L 3L 07, 0, 0 G 006, L G G + L A porcentagem de questões acertadas é: a + g + l A + G + L 0, A + 07, G + 08, L A + G + L 0,. 3 L + 07,. 3 L + 08, L 3 3 L + L + L 6, 06, 6% 9) Sejam XR x e XQ t. Veja que XQR QPR ½ (arco QR). Portanto, os triângulos XRQ e XQP são semelhantes. Escrevendo a razão de semelhança para esses triângulos, obtemos: x t. Daí, t x x t x 1 x t x x P 3 3 Q R t x X