XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

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1 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) D 6) C ) D 6) C ) B ) A 7) B ) B 7) B ) C ) D 8) C ) E 8) B ) B 4) D 9) E 4) D 9) C 4) D ) D 0) A ou B ) C ou D 0) E ) D Cada questão da Primeira Fase vale ponto. (Total de pontos no Nível = pontos). Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: (D) Como AE = BE = CE, então o triângulo ABC é retângulo em B. Dessa forma, podemos escrever α = 90 β. Como CE = CD, obtemos CED = CDE = 80. Logo, como CED é ângulo eterno ao triângulo BEC e ECB = EBC = β, concluímos que CED = β + β β = 80 β = 40 e α = 0. Portanto, α =. β 4. (A) Reescrevemos todos os números de modo que seus numeradores se tornem. Teremos = e =. Agora, o maior número é o que possui menor denominador. É imediato que dentre os + + denominadores apresentados, e ( + ) são os únicos menores que. Logo, o menor denominador é e o maior dos números dados é.. (D) Temos 80 a =, donde a 9 a + = a 6400, = a a 8 e logo a a+ = + + = + = =. a a Assim, 8 a + =, pois a 9 a + > 0. a 4. (D) Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês É fácil ver que. P=. I P= 4 I Além disso, 80 4 I + I. I = 84 I = 0. Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é I = Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

2 . (D) Note que todos os cartões deiam resto na divisão por. Então, para que a soma dos cartões seja 00, que é múltiplo de, precisamos de pelo menos cinco cartões. Rafael pode escolher,,, 8 e, assim a resposta é. 6. (C) Sejam k a velocidade de Penha (em vértices por segundo) e t o tempo decorrido até o encontro entre Nelly e Sônia. Como Nelly gasta segundos até o segundo encontro, temos: 4k 4kt + kt = n e 4k(t + ) + k(t + ) = n. 4k 4k Daí kt = e n =. 7. (B) Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i, os números ordenados assim: a > b > c > d > e > f > g > h > i. a + b + c + d + e + f + g + h + i Então, e = 9e = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Além disso, 9 a + b + c + d + e = 68 a + b + c + d + e = 40, e também temos a seguinte equação, e + f + g + h + i = 44 e + f + g + h + i = 0. Portanto, somando, obtemos 9 e + e = 60 e = 6. E assim, a soma desejada será 9e = (C) É verdade que 4 de junho de 008 é um sábado. Logo, 4 de junho de 009 será um domingo, de 00 será uma segunda-feira, de 0 será uma terça-feira, de 0 (que é bisseto) será uma quintafeira, de 0 será uma seta-feira e, finalmente, de 04 será um sábado. Portanto a próima vez que o dia 4 de junho será num sábado acontecerá daqui a 6 anos. 000 y 9. (E) Temos que 0 + y = 000 =, onde e y são, respectivamente, as quantidade 0 de moedas de 0 centavos e de centavos. Para que seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre e 8. Logo, temos 9 maneiras diferentes. 0. (A) ou (B) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (A) Façamos n = k b, com b ímpar. Seja d(m) a quantidade de divisores de m. Queremos resolver a equação d(n n ) = d(n). Um divisor de n n é um número da forma α, em que 0 α k + n e é um divisor de b. há (k + n + ) modos de escolhermos α e d(b) modos de escolhermos. Logo, d(n n ) = (k + n + ) d(b). De modo análogo, cada divisor de n é da forma β y. Podemos escolher β de k + modos e escolher y de d(b) modos. Com isso, obtemos: d(n n ) = (k + n + ) d(b) = d(n) = (k + ) d(b). Daí, n d(b) = 008, de onde concluímos que n é um divisor de 008 =. Além disso, como b é um divisor ímpar de n, devemos ter b = ou b = (pois os fatores primos de n estão dentre os de 008). Se b =, ficamos com d(b) = e n = 008. Neste caso, n = possui 4 = 8 divisores e n n = 0, que possui 0 = 404 divisores, possuindo 406 divisores a mais que n (absurdo). Se b =, obtemos d(b) = e n = 004. Neste caso, n = possui = 6 divisores e n n = 006, que possui 007 = 04 divisores, possuindo 008 divisores a mais que n. Portanto, n = 004 e a soma de seus dígitos é + 4 =. Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

3 (B) Se considerarmos divisores negativos a argumentação segue: d(n n ) = (k + n + ) d(b) = d(n) = (k + ) d(b). Daí, n d(b)=008 e de modo análogo conseguimos n = 0.. (D) Observe que = (7 + 4 )(7 4 ) = (7 + 4 )(7 + 4)(7 4) (7 + 4 ) 4 0. Como 0 =, claramente este número é múltiplo de,, e. Além disso, como 7 divide 7, claramente 7 não divide (B) O cubo terá um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis. Estas faces contêm um total de 9 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Logo, eatamente 9 7 = cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.. (E) Seja f( ) =. Temos f ( b) = c, f ( a) = ce f ( c) = a. Assim, queremos determinar o número de soluções reais de f ( f( f( ))) =. Se >, f( ) = = > (pois = ( )( + ) > 0). Assim, não há solução real com >. Se [,], podemos escrever = cos θ, para algum θ [0, π ]. Nesse caso, f( ) = 4cos θ = cos θ, f( f( )) = cos4θ e f( f( f( ))) = cos8 θ. Queremos então contar o número kπ kπ de soluções reais de cos8θ = cos θ, as quais vêm de 8θ = θ + kπ, 0 k θ = = cos, 7 7 kπ kπ o que dá 4 soluções e de 8θ = kπ θ, k 4 θ = = cos, o que dá mais 4 soluções. 9 9 Obs. O gráfico de f() para [,] é da forma Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

4 Assim, os gráficos de f ( f( f( ))) e da reta y = são como abaio, donde se conclui que a equação f ( f( f( ))) = tem 8 soluções reais. 4. (D) Vamos contar o número de distribuições em que Arnaldo não recebe nenhuma carta de espadas. 9 Como há 9 cartas não-espada, temos modos de escolhermos as cartas de Arnaldo. Depois disso, 9 temos também modos de escolhermos as cartas de Bernaldo (as cartas dele podem ser de espadas) e 6 modos de escolhermos as cartas de Cernaldo. Por último, só teremos maneira de escolhermos as 6 cartas de Dernaldo (ele ficará com as cartas que sobraram). Logo, há distribuições em que Arnaldo não recebe cartas de espadas. De modo análogo, contando as distribuições em que nem Arnaldo 6 6 nem Bernaldo recebem cartas de espadas, obtemos um total de distribuições. Logo, a probabilidade é: !!! 6!6! = = =. 6 9! 9!!!6! 4 Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

5 . (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do eemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode 4 ser feito de = 6 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se 4 verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 6 = 0 cartões diferentes. (D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes. 6. (C) Temos AB = BC e o ângulo eterior ABC é igual a ADC. Isso implica que o ponto B é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ADC. Dessa forma, DBC = DAC = 0. 0 B A C D 7. (B) Sejam XR = e XQ = t. Veja que XQR = QPR = ½ (arco QR). Portanto, os triângulos XRQ e t XQP são semelhantes. Escrevendo a razão de semelhança para esses triângulos, obtemos: = + =. t t 4 Daí, = = =. t P Q R t X Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

6 8. (B) Inicialmente, observe que o triângulo ABC é retângulo em B. Veja figura a seguir. A B R C 4 R Veja que o centro da circunferência de raio R está sobre a bissetriz interna do ângulo A. Logo, pelo teorema R 4 R da bissetriz interna, temos =, de onde obtemos R =. Por outro lado, a área de ABC é dada por p R, em que p é o semi-perímetro. Daí, segue-se que R =, de modo que R =. Portanto, R =. R 9. (C) Graficamente, podemos representar cada uma das equações dadas, obtendo eatamente duas soluções em comum. Solução algébrica: Se < 0 e y < 0 temos < 0 e y y < 0, de modo que + y y < 0 e não há soluções. Se < 0 e y > 0 temos + y y = + y = ( y )( y + ) =. Como y > 0, temos + y > 0; considerando ainda que y > y +, temos ( + y) < ( + y)( y ) = + y < + y < e novamente não há soluções. Por simetria, se > 0 e y < 0, também não temos soluções. Se > 0 e y > 0 temos + y y = + y =, o que implica 0 < < e 0 < y <, de modo que + y = 0 e novamente não temos soluções. Finalmente, falta considerar o caso em que ou y é igual a zero. Substituindo por zero, obtemos das duas equações que y = ; analogamente, obtemos a solução (,0). Deste modo, o sistema admite duas soluções: (0,) e (,0). 0. (E) Seja abcd um número paladino. Temos 9 possibilidades para escolhermos o dígito a, 9 para escolhermos b e 9 para escolhermos c. Uma vez escolhidos esses dígitos, devemos escolher o dígito d de modo que o número formado seja múltiplo de 9. Mas, só haverá um modo de escolhermos d: se a + b + c deiar resto r na divisão por 9 (com 0 r 8), devemos escolher d = 9 r. Logo, a quantidade de números paladinos é = Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008

7 c c c. (B) Veja que f ( f ( )) = + = = se, e somente se, c (c + 6) devemos ter c = 9 e c + 6 = 0, o que nos dá a única solução c =. c = (c + 6) + 9. Daí, ) (C) Sejam V o volume do cone e v o volume da areia, indicado na figura. Fazendo semelhança entre os v dois cones, de alturas cm e cm, obtemos =. Na figura, temos semelhança entre dois cones, de V alturas ( h) cm e cm, e volumes V v e V, respectivamente. Temos: 98. h V v v 98 h 98 = = = = h = V V. (B) Como AC é um número de dois algarismos então AC = 0A + C. Com isso, 4.(0A + C) = 4C, e daí C = A. Em particular C é par. Temos agora um novo tabuleiro X 4 6C C 4 Agora, 4X = 4. 6C, então X = 6C. Com isso, o produto mágico será (6C). Fazendo C =, temos que o produto será 78 e assim a soma será 8. Note que nesse caso A = = C/. Para valores de C maiores ou iguais a 4 o número procurado terá mais que 4 algarismos. O único quadrado mágico que satisfaz as condições do enunciado é: ) (D) Formaremos a fila da seguinte maneira: inicialmente, posicionamos a pessoa mais alta. Então, a segunda pessoa poderá ocupar qualquer um dos dois lados em relação à primeira pessoa, de modo que há modos da segunda pessoa ser posicionada. A terceira pessoa mais alta pode ser colocada em ambos os lados da fila então formada, tendo também modos de entrar na fila. De um modo geral, cada pessoa terá dois modos de se posicionar na fila, escolhendo uma das duas etremidades. O total de posicionamentos feitos dessa forma é 9 =.. (D) Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e, e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b ( a + c + d + e) = =., onde e são primos, temos que b = e a + c + d + e =. Portanto, a+ b+ c+ d + e= + = 6. Obs. Note que a = 4, b =, c = 7, d = 9 e e = é solução do sistema. 7 Gabarito Oficial Nível Primeira Fase 008