Introdução à Lógica Proposicional Sintaxe e Semântica

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1 Bacharelado em Ciência e Tecnologia BC&T Introdução à Lógica Proposicional Sintaxe e Semântica SINTAXE E SEMÂNTICA Prof a Maria das Graças Marietto graca.marietto@ufabc.edu.br 2 LINGUAGEM SIMBÓLICA: COMPONENTES Para uma dada linguagem simbólica podemos sempre estudar dois aspectos: a sintaxe e a semântica. Linguagem: conjunto de símbolos Sintaxe (fórmulas bem formadas) Semântica (significado) Sintaxe determina regras de como se escreve de forma correta em uma linguagem (regras de escrita). Os seguintes países fazem parte do Mercosul: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e enezuela O Brasil está localizado na América Central SINTAXE Frase sintaticamente correta Frase sintaticamente correta 3 4

2 SINTAXE Os serguintes países faz parte do Mercosul: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e enezuela Frase sintaticamente incorreta Se você escrever a palavra seguintes" com a letra "r" (serguintes), este é um erro sintático. Se você não conjugar o verbo com o sujeito em uma frase, terá um outro erro sintático. PROPOSICIONAL Em linguagem natural a sintaxe é conhecida como Gramática 5 6 PROPOSICIONAL Na sintaxe da Lógica Proposicional estudamos os seguintes elementos: o Alfabeto o Fórmulas bem formadas o Ordem de precedência ALFABETO 7 8

3 LÓGICA ALFABETO O alfabeto da Lógica Proposicional é definido pelo conjunto dos símbolos descritos a seguir. Definição 1: O alfabeto da Lógica Proposicional é constituído por: o Símbolos de pontuação: (, ) o Símbolos verdade: true, false o Símbolos proposicionais: p, q, r, d1,... o Conectivos: ~,,,, Observe que o alfabeto da linguagem da Lógica Proposicional é constituído de um conjunto infinito, enumerável, de símbolos. Isso não ocorre na língua portuguesa. Um conjunto é enumerável quando há uma correspondência biunívoca entre seus elementos e os números naturais, ou parte dos LÓGICA ALFABETO Os símbolos proposicionais são utilizados para representar as proposições na linguagem da Lógica. O símbolo p, por exemplo, pode ser utilizado para representar a proposição Está chovendo. Tal fato é representado por: p = Está chovendo Como há um conjunto enumerável de símbolos proposicionais, é possível representar um conjunto enumerável de proposições. números naturais 9 10 FÓRMULAS BEM FORMADAS LÓGICA FÓRMULAS Na língua portuguesa, não é qualquer concatenação de letras que forma uma palavra, como também não é qualquer concatenação de palavras que forma uma sentença. Analogamente, não é qualquer concatenação de símbolos que é uma fórmula na Lógica

4 LÓGICA FÓRMULAS O conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional, que são formadas pela concatenação de símbolos do alfabeto, é definido a seguir. Definição 2: As fórmulas da linguagem da Lógica Proposicional são construídas de forma indutiva, a partir dos símbolos do alfabeto conforme as regras a seguir. O conjunto das fórmulas é o menor conjunto que satisfaz as regras: Todo símbolo de verdade é uma fórmula Todo símbolo proposicional é uma fórmula Se H é uma fórmula, então (~H), a negação de H, é uma fórmula Se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e G, dada por (H G), é uma fórmula Se H e G são fórmulas, então a conjunção H e G, dada por (H G), é uma fórmula LÓGICA FÓRMULAS Definição 2 (continuação): Se H e G são fórmulas, então a implicação de H em G, dada por (H G), é uma fórmula Se H e G são fórmulas, então a bi-implicação de H em G, dada por (H G), é uma fórmula Nesta definição de fórmulas da Lógica Proposicional, cada item define uma regra para a construção de fórmulas a partir de fórmulas mais simples. As fórmulas mais elementares são consideradas nos dois primeiros itens. Elas são os símbolos de verdade e proposicionais LÓGICA FÓRMULAS Em seguida, utilizando as outras regras, é possível obter um conjunto infinito, enumerável, de fórmulas a partir daquelas mais elementares. Além disto, na formação das fórmulas, os símbolos de pontuação são utilizados. A definição de fórmulas da Lógica Proposicional estabelece uma gramática para a construção de formulas bem formadas FÓRMULAS BEM FORMADAS EXEMPLOS 15 16

5 LÓGICA FÓRMULAS Exemplo 1. A partir das fórmulas p e q obtemos a fórmula (p q) Utilizando a fórmula (p q) e true podemos ter a fórmula; ((p q) true) Esta é uma fórmula válida, uma fórmula bem formada. Outros exemplos de fórmulas válidas, fórmulas bem formadas: o p ~q r o (p ~q) r o ~p q r LÓGICA FÓRMULAS Exemplo 2. As concatenações dos exemplos a seguir NÃO constituem fórmulas: (p q) (p true ) (true (q true )) Não é possível obter estas fórmulas a partir das regras da Definição 2. Exemplo 3. As concatenações dos exemplos a seguir NÃO constituem fórmulas: o ~ p q o p ( q r) o qp o p~ FÓRMULAS BEM FORMADAS NOTAÇÃO LÓGICA FÓRMULAS Neste curso, os parênteses ou símbolos de pontuação das fórmulas são omitidos quando não há problemas sobre sua interpretação. Além disto, as fórmulas podem ser escritas em várias linhas para uma melhor leitura. Assim a fórmula (((p q) true) (r s)) pode ser escrita como (p q) true) r s Ou ainda como ((p q) true) (r s) 19 20

6 LÓGICA FÓRMULAS Observem que até aqui não estamos considerando o significado das fórmulas. Até este momento, cada fórmula é vista apenas como uma concatenação de símbolos. Isso equivale a apresentar a palavra da língua portuguesa saudade a uma pessoa que não sabe Português. A pessoa sabe que saudade pertence à língua portuguesa, porque está no dicionário. Entretanto, é necessário mais informação para que ela saiba o significado desta palavra. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Até aqui as fórmulas estão sendo apresentadas apenas sintaticamente, e seu significado ainda não está sendo considerado PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: MOTIAÇÃO A afirmação O livro é do Carlos ou do Rui pode decompor-se em duas afirmações: o O livro é do Carlos o O livro é do Rui Estas duas afirmações já não se podem decompor Dizemos, então, que a proposição O livro é do Carlos ou do Rui é composta. E as afirmações O livro é do Carlos e O Livro é do Rui são proposições atômicas. 23 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: DEFINIÇÃO As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples As proposições simples se combinam com o uso de cinco conectivos lógicos o e o ou o não o se... então o se e somente se Considere as seguintes proposições compostas: Carlos é magro e José é alto Mário foi ao cinema, Carlos foi ao teatro e Marcelo ficou em casa Maria foi à praia ou ao mercado Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa A Lua não é um satélite da Terra Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar Carlos será aprovado se e somente se estudar 24

7 INTERPRETAÇÃO LÓGICA INTERPRETAÇÃO A interpretação, ou semântica dos elementos sintáticos da linguagem da Lógica Proposicional, é determinada por uma função I denominada interpretação. Essa função associa a cada fórmula da Lógica Proposicional um valor verdade de verdadeiro ou falso, que pode ser representado respectivamente por T e F. Isto significa que na Lógica Clássica as fórmulas possuem apenas dois tipos de interpretação: verdadeiro ou falso (princípio do terceiro excluído) LÓGICA INTERPRETAÇÃO Considere as seguintes proposições: p: Está chovendo q: A rua está molhada Estas proposições podem receber o valor verdadeiro, ou falso Neste curso, a interpretação de p é denotada pori[p]=true oui[p]=false, bem comoi[p]=true oui[q]=false LÓGICA INTERPRETAÇÃO Na Lógica Proposicional há sentenças cuja interpretação não é verdadeira e nem falsa. Considere, por exemplo, a sentença: Esta frase é falsa Nesse caso, o resultado da interpretação da sentença não é verdadeiro e nem falso, pois a frase é auto-referente Dizer se uma proposição é verdadeira ou falsa pode não ser fácil. Há um grande debate filosófico sobre a atribuição do valor verdade a uma proposição 27 28

8 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: CONECTIOS LÓGICOS CONECTIOS LÓGICOS Chamam-se conectivos as palavras e símbolos usados para formar proposições compostas a partir de proposições simples. Temos um conectivo unário, e quatro binários PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: CONECTIOS LÓGICOS Construímos proposições compostas a partir de proposições atômicas, ligando-as por conectivos PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: EXEMPLOS Considere as seguintes proposições simples: p: O sol é uma estrela q: 4*3=20 E as proposições compostas: o O Sol é uma estrela e 4*3 = 20 p q o O Sol é uma estrela ou 4*3 = 20 p q o O Sol é uma estrela então 4*3 = 20 p q o O Sol é uma estrela se e somente se 4*3 = 20 p q o O Sol não é uma estrela (não é verdade que o Sol é uma estrela) ~p o 4*3 20 ~q 31 32

9 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: ALOR ERDADE Ele foi ao cinema e eu vou à praia Como podemos determinar o valor lógico de uma proposição composta? CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO CONJUNÇÃO Em função dos valores lógicos das proposições simples que compõe a proposição composta, e do conectivo que as liga CONECTIO CONJUNÇÃO A interpretação do conectivo é o da conjunção de duas proposições. Este é um conectivo/operador binário. Se p e q são proposições, a expressãop q é chamada conjunção. Uma conjunção corresponde a p e q. O valor lógico do resultado da operação de conjunção está apresentado na tabela a seguir: CONECTIO CONJUNÇÃO Em Português a conjunção é expressa pelas palavras e, mas, todavia, ainda, ainda que, entretanto, contudo, etc. Observe que, em Português, os signifcados de e, mas, todavia não são exatamente os mesmos. As nuances que diferenciam tais significados são perdidas quando as sentenças são traduzidas para a Lógica Clássica Ele foi ao cinema e eu vou à praia 35 36

10 CONECTIO CONJUNÇÃO Considere um outro caso em que p e q representam, respectivamente, Tiago pulou na piscina e Tiago se molhou. Mas, conforme a semântica do conectivo, se I[p q]=t, então I[q p]=t. Observe que o conectivo é comutativo. Entretanto, se é verdade que Tiago pulou na piscina e se molhou, nada podemos concluir a respeito da sentença Tiago se molhou e pulou na piscina. Isso ocorre porque a interpretação do conectivo não considera as relações temporais presentes no Português. Isto é feito no contexto da Lógica Temporal, não no contexto da Lógica Clássica. A comutatividade do conectivo nem sempre está presente nas linguas naturais. As representações na Lógica Clássica fazem abstrações dos elementos temporais. CONECTIO CONJUNÇÃO A palavra e tem outros usos, além o de interligar enunciados. Por exemplo, o enunciado Luis e Geraldo são contemporâneos não é uma conjunção, mas um simples enunciado que expressa uma relação CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO DISJUNÇÃO OU INCLUSIO 39 CONECTIO DISJUNÇÃO: OU INCLUSIO A interpretação do conectivo é a da disjunção de duas proposições. Neste sentido, ele é um operador/conectivo binário. Se p e q são proposições, a expressão p q é chamada disjunção. Uma disjunção corresponde a p ou q. O valor lógico do resultado da operação de disjunção está apresentado na tabela a seguir: OU inclusivo Eu passei em Processamento da Informação OU eu reprovei em Cálculo Numérico Pelo menos uma das possibilidades pode ocorrer, mas também pode ocorrer ambas 40

11 CONECTIO DISJUNÇÃO: OU EXCLUSIO (XOR) CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO DISJUNÇÃO OU EXCLUSIO OU exclusivo Eu vim de carro ou eu vim de ônibus para a UFABC Está fazendo sol ou está chovendo hoje Somente uma das possibilidades pode ocorrer CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO NEGAÇÃO CONECTIO NEGAÇÃO A interpretação do conectivo ~ é o da negação de uma proposição. Este é um conectivo/operador unário. p é uma proposição, a expressão~p é chamada negação de p A negação inverte o valor verdade de uma expressão: o se p for verdadeira, ~p é falsa o se p for falsa, ~p é verdadeira A tabela da operação de negação está apresentada a seguir p: a porta está aberta (p) = F ~p: a porta está aberta (~p) = 43 44

12 CONECTIO NEGAÇÃO Em Português a conjunção é expressa pelas palavras não, não é verdade que, é falso que, etc. Ou ainda usando prefixos tais como in- e a-. Um problema em linguagens naturais, como o Português, é que nem sempre existe uma correspondência entre negações. Dizer, por exemplo, que alguém não é feliz não significa necessariamente dizer que a pessoa seja infeliz. Há vários graus de felicidade. Também, é comum aceitar que não ser rico não implique necessariamente em ser pobre. Aqui há um meio-termo. Tais situações de meio-termo não são consideradas na Lógica Clássica CONECTIO NEGAÇÃO Portanto, devemos ter cuidado na tradução da negação do Português para a linguagem da Lógica. A negação da Lógica Clássica não corresponde exatamente à negação da linguagem natural. Neste processo de tradução, o objetivo é preservar ao máximo o significado da expressão original da linguagem natural EXERCÍCIOS PROPOSIÇÕES: EXERCÍCIOS Sejam as proposições: p: 7 é um número primo q: Cristóvão Colombo descobriu o Brasil r: A neve é branca s: O Sol é uma estrela Traduzir para a linguagem natural as seguintes proposições: p q s q ~s ~p s q (q ~r) s Determine o valor verdade para cada uma das proposições 47 48

13 CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO CONDICIONAL CONECTIO CONDICIONAL A interpretação do conectivo condicional é a da implicação material de duas proposições. Neste sentido, ele é um operador/conectivo binário CONECTIO CONDICIONAL Considere a proposição: Se o metal é ouro então ele brilha O conectivo se... então é denominado condicional ou implicação e é representado pelo símbolo Hipótese antecedente Se o metal é ouro Tese conseqüente O metal brilha CONECTIO CONDICIONAL p: o metal é ouro ( o u F) q: o metal brilha ( ou F) p q Não sabemos os valores que p e q assumirão: ou F. Então temos que analisar todas as possibilidades/combinações Condição suficiente (Basta que) O antededente (Ser ouro) é uma condição suficiente para o conseqüente (um metal brilhar) 51 52

14 CONECTIO CONDICIONAL Se antecedente... então conseqüente O antecedente é condição suficiente para ocorrência do conseqüente Hipótese Antecedente Se o metal é ouro... Se é juiz... Se houver fumaça... Se sinto frio... Condição suficiente (Basta que) Então Tese Conseqüente O metal brilha é advogado há fogo visto o casaco O antededente (Ser ouro) é uma condição suficiente para o conseqüente (um metal brilhar) CONECTIO CONDICIONAL: EXEMPLO Hipótese antecedente Se o metal é ouro Condição suficiente (Basta que) Tese consequente O metal brilha Isto significa que sempre que o antecedente for verdadeiro, o conseqüente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira O condicional não afirma a veracidade do antecedente e do conseqüente, apenas a relação existente entre eles CONECTIO CONDICIONAL Considere as seguintes proposições: p: o metal é ouro q: o metal brilha Em Português há várias maneiras de expressar a implicação entre as proposiçõesp e q (p q): o Se o metal é ouro, então o metal brilha o Se o metal é ouro, o metal brilha o O metal brilha, se for ouro o Brilhar é condição suficiente para que o metal brilhe o O metal brilhar é condição necessária para o metal ser ouro CONECTIO CONDICIONAL: EXEMPLO Se eu pegar o livro na biblioteca, então vou lê-lo esta noite p: pegar o livro na biblioteca q: ler o livro esta noite p q Hipótese antecedente pegar livro na biblioteca Condição suficiente (Basta que) Tese conseqüente ler o livro esta noite Eu irei ler o livro esta noite, se eu pegá-lo na Biblioteca Não há a possibilidade de eu não ler, se eu pegá-lo na Biblioteca 55 56

15 CONECTIO CONDICIONAL: EXEMPLO Se há fumaça, então há fogo p: há fumaça q: há fogo p q: se há fumaça, então há fogo CONECTIOS LÓGICOS CONECTIO BICONDICIONAL CONECTIO BICONDICIONAL O conectivose e somente se é denominado bicondicional ou biimplicação e representado pelo símbolo Este é um operador/conectivo binário, representando uma condicional nas duas direções Considere a proposição: Carlos será aprovado se e somente se ele estudar Carlos será aprovado CONECTIO BICONDICIONAL estudar Quando se tem uma bicondicional p q, na verdade implicamos p q e q p Ou seja, p q é verdade somente se p q e q p forem verdadeiras Carlos será aprovado se e somente se estudar p: Carlos será aprovado q: Carlos vai estudar p q 59 60

16 CONECTIO BICONDICIONAL CONECTIO BICONDICIONAL p Carlos será aprovado q p q q p estudar p q Hipótese antecedente Carlos será aprovado Tese consequente estudar F F (*) F F (*) F (*) F F F CONECTIO BICONDICIONAL Carlos será aprovado estudar Os dois acontecimentos serão ambos verdadeiros ou ambos falsos, não existindo possibilidade de uma terceira opção O conectivo se e somente se indica que se Carlos estudar será aprovado, e que essa é a única possibilidade de Carlos ser aprovado ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIOS LÓGICOS 63 64

17 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIOS Com o auxílio dos conectivos podemos construir proposições compostas mais elaboradas. Por exemplo, considere a seguinte proposição: Se o deficit persistir e a arrecadação não aumentar, então ou aumentamos os impostos ou haverá inflação Com a representação: p: o deficit persistir q: a arrecadação aumentar r: aumentamos os impostos s: haverá inflação Como será a simbolização desta proposição composta??? p ~q r s ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIOS p ~q r s Mas qual conectivo deve ser executado em primeiro lugar?? É necessário estabelecer uma hierarquia de execução dos conectivos ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIOS EXERCÍCIOS Prioridade Conectivo/Operador 1 ~ 2, 3 4 Para se mudar a precedência de operadores, utiliza-se parênteses p ~q r s

18 EXERCÍCIOS Traduza os seguintes fatos reais para fórmulas bem formadas: 1. Se você tem mais de 1.2m ou mais de 16 anos, então pode andar de patins p: ocê tem mais de 1.2m q: ocê tem mais de 16 anos r: ocê pode andar de patins p q r 2. Não é verdade que Jorge é baixo ou que não é elegante p: Jorge é baixo q: Jorge é elegante ~(p ~q) 69