INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
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1 INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/53
2 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional 1.2) Lógica de Primeira Ordem 1.3) Métodos de Prova Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/53
3 LÓGICA FORMAL Lógica é a disciplina que lida com os métodos de raciocínio. A Lógica provê regras e técnicas para determinar se um dado argumento é válido. Aplicações diretas: projeto de circuitos computacionais construção e verificação de programas Sistemas lógicos formais da Lógica Clássica: Lógica Proposicional Lógica de Predicados Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/53
4 PROPOSIÇÕES LÓGICAS Asserção: uma declaração (afirmação, sentença declarativa). Proposição: uma asserção que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambos. Valor verdade: resultado da avaliação de uma proposição (V ou F). Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/53
5 PROPOSIÇÕES Exemplo: Quais das seguintes asserções são proposições? = não é um número par. 3. A Terra é arredondada. 4. x > 5 5. Esta declaração é falsa. 6. Você fala francês? 7. Leia o livro texto. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/53
6 PROPOSIÇÕES Exemplo: Quais das seguintes asserções são proposições? = 5 proposição, V 2. 3 não é um número par. proposição, V 3. A Terra é arredondada. proposição, V 4. x > 5 asserção, mas não proposição 5. Esta declaração é falsa. asserção, não proposição 6. Você fala francês? nem asserção, nem proposição 7. Leia o livro texto. nem asserção, nem proposição Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/53
7 PROPOSIÇÕES Observe que o valor verdade (V ou F) de uma proposição não é necessariamente conhecido. Exemplo: A temperatura na superfície do planeta Vênus é de 400 o C é uma proposição. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/53
8 VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS Em Lógica, as proposições podem ser denotadas por símbolos, tais como p, q, r,..., os quais são chamados de variáveis proposicionais. Assim, pode-se escrever: p: o Sol está brilhando hoje. q: = 5 Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/53
9 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Normalmente, uma argumentação não se limita ao uso de sentenças simples. Novas proposições podem ser construídas a partir de proposições existentes com o auxílio de operadores lógicos para obter proposições compostas Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/53
10 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS A sentença: Não é verdade que p é uma outra proposição chamada de a negação de p. Notação: p, p, not p Exemplos: p : > 1 p : não é maior do que 1, (ou ) q : Hoje é quarta-feira q : Não é verdade que hoje é quarta-feira, ou q : Hoje não é quarta-feira Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/53
11 TABELAS VERDADE Da definição de negação segue que: se p é Verdadeiro, então p é Falso se p é Falso, então p é Verdadeiro Logo, o valor verdade de p, relativo a p, é dado por: Tabela verdade da negação: p p V F F V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/53
12 TABELA VERDADE Fornece os valores verdade de uma proposição composta em termos dos valores verdade de suas partes componentes. Útil na determinação dos valores verdade de proposições construídas a partir de sentenças mais simples. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/53
13 CONECTIVOS LÓGICOS Operador negação: constrói uma nova proposição a partir de uma única proposição existente. Conectivos: operadores lógicos usados para formar novas proposições a partir de duas ou mais proposições já existentes. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/53
14 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Conjunção (operação e ): Notação: p q, p e q, p and q Definição: p q p q V V V V F F F V F F F F Observe que há 4 possibilidades. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/53
15 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Exemplos de conjunção (p q): p: hoje é terça-feira q: está chovendo hoje p q: hoje é terça-feira e está chovendo hoje p: 2 < 3 q: 5 > 8 p q: 2 < 3 e 5 > 8 p: está chovendo hoje q: 3 < 5 p q: está chovendo hoje e 3 < 5 Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/53
16 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Disjunção (operação ou inclusivo ): Notação: p q, p ou q, p or q Definição: p q p q V V V V F V F V V F F F Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/53
17 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Exemplos de disjunção (p q): p: 2 é um inteiro positivo q: 2 é um número racional p q: 2 é um inteiro positivo ou 2 é um número racional p: q: Curitiba é a capital de Santa Catarina p q: ou Curitiba é a capital de Santa Catarina Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.17/53
18 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS O conectivo ou pode ser interpretado de duas maneiras distintas: Ou inclusivo (e/ou): Eu passei em Cálculo ou eu rodei em Álgebra Linear pelo menos uma das possibilidades ocorre, mas ambas podem ocorrer Ou exclusivo: Eu vim de carro para a UFSC ou eu vim a pé para a UFSC somente uma das possibilidades pode ocorrer Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.18/53
19 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Disjunção exclusiva (operação xor ): Notação: p q, p xor q, p ou q (mas não ambos) Definição: p q p q V V F V F V F V V F F F V quando exatamente um dos dois é V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.19/53
20 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Condicional ou implicação (se p, então q): Notação: p q Definição: p q p q V V V V F F F V V F F V V quando: p e q são ambos V p é F (não importando q) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.20/53
21 O CONDICIONAL Maneiras de expressar p q: se p, então q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p somente se q q é conseqüência lógica de p Na expressão p q: p é chamado de hipótese ou antecedente q é chamado de conclusão ou conseqüente Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.21/53
22 O CONDICIONAL Exemplo: Fogo é uma condição necessária para fumaça : Esta sentença pode ser reformulada como: Se há fumaça, então há fogo Logo: o antecedente é: Há fumaça o conseqüente é: Há fogo Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.22/53
23 O CONDICIONAL Exemplo: Indique o antecedente e o conseqüente em: Se a chuva continuar, o rio vai transbordar. Uma condição suficiente para a falha de uma rede é que a chave geral páre de funcionar. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.23/53
24 OBSERVAÇÃO Na linguagem usual, a implicação p q supõe uma relação de causa e efeito entre p e q. Exemplo: Se fizer sol amanhã, eu vou à praia. Em lógica, p q diz apenas que não teremos p verdadeiro e q falso ao mesmo tempo. Exemplo: Se hoje é domingo, então 2+2=5. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.24/53
25 O CONDICIONAL Note que se p é F, então p q é V para qualquer q: Uma falsa hipótese implica em qualquer conclusão. Exemplo: Se 2+2=5, então no Brasil não há corrupção. Exemplo: Quando é que a implicação Se hoje é terça-feira, então 2+3=6 é Verdadeira? Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.25/53
26 O CONDICIONAL Se p q é uma condicional. então: o converso de p q é a implicação q p o inverso de p q é a implicação p q a contrapositiva de p q é a implicação q p Exemplo: Se Murilo é catarinense, então Murilo é brasileiro. p q: p: Murilo é catarinense q: Murilo é brasileiro q p: Se Murilo é brasileiro, então Murilo é catarinense p q: Se Murilo não é catarinense, Murilo não é brasileiro q p: Se Murilo não é brasileiro, Murilo não é catarinense Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.26/53
27 PRINCIPAIS CONECTIVOS LÓGICOS Bicondicional ou equivalência (p q q p): Notação: p q Definição: p q p q V V V V F F F V F F F V V somente quando: p e q têm o mesmo valor verdade Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.27/53
28 O BICONDICIONAL Maneiras de representar p q: p se, e somente se, q p é necessário e suficiente para q se p então q, e conversamente Exemplo: a equivalência 3 > 2 se e somente se 0 < 3 2 é Verdadeira? p : 3 > 2 (V) q : 0 < 3 2 (V) logo: p q é Verdadeira Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.28/53
29 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Podem ter muitas partes componentes, cada parte sendo uma sentença representada por alguma variável proposicional. Construídas com o auxílio dos conectivos lógicos. Exemplos: s : p [q (p r)] s : (p q) [(p q) (q p)] r : [ p (p q)] q Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.29/53
30 TRADUZINDO SENTENÇAS PARA LÓGICA Exemplo: Encontrar a proposição que traduz a seguinte sentença: Você não pode andar de patins se você tem menos do que 1,20m, a não ser que você tenha mais do que 16 anos. Definindo: q: você pode andar de patins r: você tem menos do que 1,20m s: você tem mais do que 16 anos a sentença pode ser traduzida por: p : (r s) q Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.30/53
31 TABELAS VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS A sentença: s : p [q (p r)] envolve 3 proposições independentes logo, há 2 3 = 8 situações possíveis: p q r p [q (p r)] V V V? V V F? V F V? V F F? F V V? F V F? F F V? F F F? Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.31/53
32 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE A tabela verdade de uma proposição composta de n variáveis proposicionais é obtida por: 1. as primeiras n colunas da tabela devem ser rotuladas com as variáveis proposicionais outras colunas servirão para combinações intermediárias 2. sob cada uma das primeiras colunas, lista-se os 2 n possíveis conjuntos de valores verdade das variáveis proposicionais 3. para cada linha, computa-se os valores verdade restantes Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.32/53
33 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) (r p): (1/3) p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.33/53
34 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) (r p): (2/3) p q r p q r p V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V F F V F V V F F V F F F F F F V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.34/53
35 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) (r p): (3/3) p q r p q r p (p q) (r p) V V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F V F F F V V V F F F V F V V V F F V F F V F F F F V V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.35/53
36 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) ( q p): (1/3) p V V F F q V F V F Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.36/53
37 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) ( q p): (2/3) p q p q q p q p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.37/53
38 CONSTRUINDO TABELAS VERDADE Exemplo: Tabela verdade de (p q) ( q p) (3/3): p q p q q p q p (p q) ( q p) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V equivalentes Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.38/53
39 CLASSIFICAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Tautologia: proposição que é sempre V (para todas as possíveis situações). Exemplo: p p (verifique!) Contradição (ou absurdo): proposição que é sempre F (em todas as possíveis situações). Exemplo: p p (verifique!) Contingência: proposição que pode ser V ou F, dependendo dos valores verdade de suas variáveis proposicionais. Nem tautologia nem contradição. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.39/53
40 EQUIVALÊNCIA LÓGICA Se p q é uma tautologia, as proposições p e q são ditas logicamente equivalentes. Notação: p q Se p q, os dois lados são simplesmente diferentes modos de construir a mesma sentença. Um importante recurso usado na argumentação lógica é a substituição de uma proposição por outra que seja equivalente. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.40/53
41 EQUIVALÊNCIA LÓGICA Determinação da equivalência: Tabelas Verdade. Exemplo: Mostre que (p q) e p q são equivalentes. (1/3) p V V F F q V F V F Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.41/53
42 EQUIVALÊNCIA LÓGICA Determinação da equivalência: Tabelas Verdade. Exemplo: Mostre que (p q) e p q são equivalentes. (2/3) p q p q p q V V V F F V F V F V F V V V F F F F V V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.42/53
43 EQUIVALÊNCIA LÓGICA Determinação da equivalência: Tabelas Verdade. Exemplo: Mostre que (p q) e p q são equivalentes. (3/3) p q p q p q (p q) p q (p q) ( p q) V V V F F F F V V F V F V F F V F V V V F F F V F F F V V V V V Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.43/53
44 ALGUMAS EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES Equivalência Nome das leis p p p Idempotência p p p ( p) p Dupla negação p q q p Comutatividade p q q p (p q) r p (q r) Associatividade (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) Distributividade p (q r) (p q) (p r) (p q) p q Leis de De Morgan (p q) p q outras tautologias no livro-texto... Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.44/53
45 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: p q: O rio é raso ou poluído. (p q):?? pelas leis de De Morgan: (p q) p q logo: (p q): O rio não é raso E não é poluído. Note que (p q) não é equivalente a: O rio não é raso OU não é poluído. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.45/53
46 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.46/53
47 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (1/6) [(p ( p q)] p ( p q) 2 a lei de De Morgan Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.47/53
48 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (2/6) [(p ( p q)] p ( p q) p [ ( p) q)] 2 a lei de De Morgan 1 a lei de De Morgan Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.48/53
49 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (3/6) [(p ( p q)] p ( p q) p [ ( p) q)] p (p q) 2 a lei de De Morgan 1 a lei de De Morgan Dupla negação Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.49/53
50 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (4/6) [(p ( p q)] p ( p q) p [ ( p) q)] p (p q) ( p p) ( p q) 2 a lei de De Morgan 1 a lei de De Morgan Dupla negação Distributividade Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.50/53
51 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (5/6) [(p ( p q)] p ( p q) p [ ( p) q)] p (p q) ( p p) ( p q) F ( p q) 2 a lei de De Morgan 1 a lei de De Morgan Dupla negação Distributividade p p é contradição Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.51/53
52 USO DAS EQUIVALÊNCIAS Exemplo: Mostre que [(p ( p q)] e p q são logicamente equivalentes. (6/6) [(p ( p q)] p ( p q) 2 a lei de De Morgan p [ ( p) q)] 1 a lei de De Morgan p (p q) Dupla negação ( p p) ( p q) Distributividade F ( p q) p p é contradição p q p F p Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.52/53
53 LÓGICA PROPOSICIONAL Final deste item. Dica: fazer exercícios sobre Lógica Proposicional... Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.53/53
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