Lista 5: Rotacional, Divergente, Campos Conservativos, Teorema de Green

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1 MAT ō Sem. 207 Prof. Rodrigo Lista 5: Rotacional, Divergente, Campos Conservativos, Teorema de Green. Considere o campo de forças F (x, y) = f( r ) r, onde f : R R é uma função derivável e r = x i + y j. Calcule rot( F ). 2. Sejam f : R R uma função contínua e F (x, y, z) = f( r ) r r, onde r = x i+y j +z k. Prove que F é conservativo. Dica: uma função potencial de F é h(x, y, z) = g( x 2 + y 2 + z 2 ), sendo g(u) uma primitiva de f(u). 3. Calcule (sen(xy) + xy cos(xy)) dx + x 2 cos(xy) dy, onde (t) = (t 2, t 2 + ), e t varia no intervalo [, ]. Resposta: 0 4. Determine uma função f tal que F = f e calcule F d. a) F (x, y) = x 2 i + y 2 j e é o arco da parábola y = 2x 2 de (, 2) a (2, 8). b) F (x, y, z) = yz i + xz j + (xy + 2z) k e é o segmento de reta que vai do ponto P = (, 0, 2) para o ponto Q = (4, 6, 3). Resposta: Mostre que a integral de linha tg(y) dx + x sec 2 (y) dy é independente do caminho, onde é qualquer caminho de (, 0) a (2, π/4). Em seguida, calcule seu valor. Resposta: 2 6. Verifique se existe um campo vetorial F em R 3 tal que rot( F ) = xy 2 i + yz 2 j + zx 2 k. 7. Mostre que qualquer campo vetorial da forma F (x, y, z) = f(x) i + g(y) j + h(z) k, onde f, g, h são diferenciáveis, é irrotacional.

2 8. a) Seja F ( r) = c r r 3, onde c é uma constante e r = x i + y j + z k. Determine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto P por um caminho para um ponto P 2 em termos da distância d e d 2 desses pontos à origem. b) Considere o campo elétrico E( r) = ɛqq r. Suponha que um elétron com carga r 3 de C esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à distância de 0 2 m do elétron e se move para uma posição que está à metade da distância original do elétron. Use o resultado do item a) para determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico. (Use ɛ = ). 9. A figura abaixo ilustra algumas curvas de nível de uma função f(x, y) contínua, com derivadas primeiras também contínuas e definidas em todo R 2. Note que o valor de f em algumas curvas é conhecido. Seja a poligonal indicada na figura, orientada de A para C. É possível calcular a integral de linha f d utilizando apenas os dados que aparecem na imagem? Justifique. Em caso afirmativo, forneça o valor da integral B 0.4 y A C Seja F (x, y, z) = (y 2 cos(x), 2y sen(x) + e 2z, 2ye 2z ). a) F é conservativo? Justifique. b) Calcule F d, onde é a interseção de z = 4 x 2 y 2 com x + y = 2. Oriente a curva de forma que a coordenada x seja crescente. 2

3 . Sejam F o campo vetorial em R 3 {(0, 0, 0)} dado por F (x, y, z) = (x, y, z), x 2 + y 2 + z2 e a curva parametrizada por : [0, ] R 3, de classe C tal que (0) S(a) e () S(b), onde S(a) e S(b) são, respectivamente, esferas de raios a e b centradas na origem, tais que 0 < a < b. Supondo que não intercepta a origem, calcule F d. Resposta: ln(b/a) 2. Seja F (x, y, z) = (y 2 + 2bxz, axy + byz, bx 2 + y 2 ). a) Determine as constantes a e b de modo que F seja conservativo. Resposta: a = 2, b = 2 b) Usando os valores encontrados no item anterior, calcule F d, onde a curva é parametrizada por (t) = (t + cos(πt), 2t + sen(πt), t), t [0, ]. Resposta: 4 3. Considere a integral de linha (y 2 xy) dx + k(x 2 4xy) dy. a) Determine a constante k para que a integral seja independente do caminho. Resposta: /2 b) Calcule o valor da integral de A = (0, 0) a B = (, ) para o valor de k encontrado em a). Resposta: /2 4. Calcule Resposta: 2π y x 2 + y 2 dx + x dy, onde é a curva ilustrada na figura abaixo. x 2 + y2 3

4 5. Seja F (x, y) um campo vetorial definido em D = R 2 {(0, 0), (, )}. Suponha ainda que rot( F ) = 0 em D. Calcule F d, sabendo que F d = e 2 F d2 = 2. As curvas e 2 são orientadas no sentido horário e no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo. Resposta: 3 6. Seja uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano xy, de área A. Mostre que, se a, a 2, a 3, b, b 2 e b 3 são constantes reais, então, (a x + a 2 y + a 3 ) dx + (b x + b 2 y + b 3 ) dy = (b a 2 )A. 7. Seja g : R 2 R uma função duas vezes derivável e o campo vetorial dado por F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), onde P (x, y) = x g(x, y) e Q(x, y) = y g(x, y). Se D é o disco de centro na origem e raio r > 0, calcule ( Q x P ) dxdy. y D 8. Calcule (e x 3y) dx + (e y 6x) dy, onde é a elipse x 2 + 4y 2 =. Resposta: 3π/2 4

5 9. Determine (x 2 + y + 2xy 3 ) dx + (5x + 3x 2 y 2 + y) dy, onde é a união de três curvas dadas por : x 2 + y 2 =, y 0; 2 : x + y + = 0, x 0; 3 : x y = 0, 0 x. Especifique a orientação escolhida. Resposta: 2π + 4, sentido anti-horário 20. Calcule o trabalho do campo vetorial F (x, y) = (4y +2xe x2 y, 6x e x2 y ) sobre a parte da curva x2 4 + y2 = que se encontra abaixo da reta 3x+2y = 6, percorrida no sentido 9 anti-horário. 2. Calcule a integral de linha do campo vetorial ( ) y F (x, y) = 4x 2 + y + y, x 2 4x 2 + y 2 ao longo do quadrado C definido pelo sistema de equações x + y = 4 π, orientado no sentido anti-horário. Resposta: 3π 22. Seja D a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências centradas na origem de raios e 2. Considere C o segmento do eixo coordenado y ligando os pontos (0, ) e (0, 2) e seja C 2 a curva orientada simples tal que a fronteira de D é dada por C C 2 orientada no sentido anti-horário. Calcule F d r, sendo C 2 F (x, y) = (arctan(x) + y 2, e y x 2 ). Resposta: e2 e 23. Encontre uma curva orientada, simples e fechada no plano xy tal que o valor da integral de linha (y 3 y) dx 2x 3 dy seja máximo. 24. Verdadeiro ou Falso? Forneça uma breve justificativa para as afirmações falsas. a) Se F é um campo vetorial, então div( F ) é um campo vetorial. b) Se F e G são campos vetoriais, então div( F + G) = div( F ) + div( G). c) Existe um campo vetorial F tal que rot( F ) = (x, y, z). d) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R 3, então div(rot( f)) é igual a zero. e) É possível efetuar o cálculo rot(div( f)), onde f : R3 R. f) Se rot( F ) = 0 e F está definido em todo R 3, então F é conservativo. 5