Exame de Matemática II - Curso de Arquitectura

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1 Exame de Matemática II - Curso de ruitectura o semestre de 8 7 de Junho de 8 esponsável Henriue Oliveira a Parte. Considere a seguinte função f! de nida por f(x ; x ; x ) (x cos (x ) ; x sin (x ) ; x ). (a) matriz jacobiana de f é Df (x ; x ; x ) 6 (b) J (x ; x ; x ) det Df (x ; x ; x ) x. (c) Seja @f g(x; y) x + y + xy. 7 cos (x ) x sin (x ) sin (x ) x cos (x ). Pode-se notar ue g (x; y) sendo uma forma uadrática é o próprio polinómio de Taylor de segunda ordem de si próprio! Mas os cálculos podem-se realizar e obtém-se auilo ue esperamos P (x; y) f (; ) + f x (; ) x + f y (; ) y + f xx (; ) x + f yy (; ) y + f xy (; ) xy!! x + y + x + y + xy. Como g está de nida em todo o, e é diferenciável, os extremos só podem ocorrer nos zeros das 8x + y 8y + x única solução é (x; y) (; ). Será um máximo, um mínimo ou um ponto sela? matriz hessiana em (; ), usada para calcular o polinómio de Taylor, é 8 H (; ) ; 8 calculam-se os valores próprios 8 8, (8 ), 6 _ ;. Curvas no espaço. ue são ambos positivos. Logo (; ) é um minimizante e é um mínimo. Como a função g é positiva para todo o valor diferente de (; ) este mínimo é absoluto. (a) Seja a curva parametrizada por c (t) (t; sin(t); cos(t)) com t. s (t) t c () d t + cos () + sin ()d t

2 . Como t s s, teremos c (s) ; sin( s ); cos( s ) e T(s) c (s) ; cos( s ); sin( s ). Primeiro há ue derivar T(s), T (s) (; sin( s ); kt (s)k. N(s) T (s) kt (s)k ; sin( p s ); cos( p s ).. kt (s)k.. Integrais duplos. cos( s )). Segundo, calcular a norma (a) (v.) Calcule o integral duplo x y dxdy, com [; ] [ ; ].. y x y dxdy y dy x x dx 9 (b) (.v.) Calcule o centro de massa da região (x; y; z) x + y ; x; z, com densidade de massa igual a (x; y) e x +y. Faz-se a mudança para coordenadas cilindricas (o jacobiano foi calculado no grupo embora as variáveis tivessem nomenclaturas diferentes do habitual). x r cos ; y r sin ; z z O jacobiano da transformação é r. região é um meio cilindro de raio e de altura. correspondente a r,, e z. densidade de massa, ue não depende de z, é igual a (x; y) e r pois r x + y. massa de S é (x; y) dxdydz re r drddz # "e r coordenadas do centro de massa são x (x; y) dxdydz x CM y CM y (x; y) dxdydz r e r dr (e ) ; (e ) (e ) r cos er r drddz [sin ] r e r dr ; (e ) (e ) r sin er r drddz [ cos ] r e r dr (e ) esta coordenada terá de ser apresentada assim pois a primitiva desta função não foi estudada e não pode ser resolvida em termos de funções conhecidas pelos alunos. título informativo o resultado aproximado vale 6. coordenada z CM vale z CM z (x; y) dxdydz z r drddz er (e ) h z i h i e r (e ) e (e )

3 a Parte. Integrais de linha, de superfície e triplos. (a) Cálculo do integral de linha do campo escalar h! ao longo do caminho c [a; b]! uando h(x; y; z) y + z, c(t) (t; sin t; cos t) com t [; ] É necessário calcular h (c (t)) 6 cos t+6 sin t 6. O vector velocidade é c (t) (; cos t; sua norma kc (t)k p sin t + 6 cos t p. O integral ca 6 dt 6 (b) Considere o campo vectorial F (x; y; z) yz ; xz ; xyz.. Existe um! tal ue O F, basta ue o rotacional @z xe z xe z O F (x; y; z) 7 ye z Calcular consiste em primitivar a primeira componente de F em ordem a x ye z dx xye z + c (y; Neste caso é muito simples veri car ue a função (x; y; z) xye z permite obter por derivação todas as componentes de F. Logo pode-se fazer c (y; z), a resposta é o potencial (x; y; z) xye z.. Calcular o integral de linha de F ao longo do caminho c(t) (; cos(t); log t + ), t [; ] é agora trivial, uma vez ue este integral apenas depende do potencial xye z nos pontos inicial e nal c () (; cos(); log ( + )) (; ; ) ; c () (; cos(); log ( + )) (; ; log ) ; e z e z sin t). logo F ds (c ()) (c ()) (; ; log ) (; ; ) c e log e (c) superfície semi-esférica, S (x; y; z) x + y + z 9 ^ z. Parametrização é dada por (; ) [; ] ;!, com (; ) ( cos sin ; sin sin ; cos ) O produto vectorial fundamental é obtido através das derivadas da parametrização sin sin cos ) cos ) e ainda sin Calcula-se o seu produto y) P sin sin cos sin cos cos sin cos sin 9 cos sin 9 sin sin 9 sin cos ;

4 a sua norma (não pedido no problema, nem exigido) vale kp (; z)k 9 cos sin + 9 sin sin + 9 sin cos 9 sin + sin cos 9 sin sin + cos 9 sin 9 sin massa é apenas o produto da densidade constante pela área da semiesfera ds r Kg (d) Volume de um sólido de nido geometricamente por B (x; y; z) (x; y) [; ] [; ] e y 6 z y solução é o integral triplo S y y 6 dz dy dx dx [z] y y6 dy y y 6 y dy y Teoremas de Gauss e de Stokes. Considere V (x; y; z) z, x + y um tubo fechado com a normal orientada para o exterior. Seja G x; y; z uma função vectorial. Qual o uxo de G através da a fronteira de V? F luxo G! n ds usando o teorema de Gauss, uma vez ue se cumprem todas as hipóteses F luxo F! n ds div divergência de F é div F (x; y; x F x y F y z F z + z z. Ficamos com um integral trivial em coordenadas cilindricas div F dv z r dz dr d z r 6. Euações diferenciais (a) y (t) + ty (t) V t, com y (), é uma euação do tipo y (t) + a (t) y (t) b (t), sabendo ue (t) e a(t)dt e tdt e t, a solução geral é y (t) + (t) + plicando a condição inicial vem. e t e t e t V b (t) (t) dt te t dt te t dt e t e t

5 " x (t) x (t) # x (t) (b) x (t) da matriz x (), com x (), a partir da euação característica ;. Calculam-se os valores próprios ou seja ( ),, cujas soluções são e. Calculam-se os vectores próprios Para x x x x resultando num primeiro valor próprio v (; ) Para x x x x resultando num segundo valor próprio u ( ; ) matriz diagonalizante S, cujas colunas são v e u, é então S Podemos nalmente resolver a euação diferencial x (t) ae t S x (t) be t x (t) ae t be t x (t) ae t + be t ae t be t plica-se a condição inicial a b a + b no ue resulta b e a e x (x;t) e t e x e ; com (; t) e t + e t + e t Pelo método de separação de variáveis (x; t) X (x) T (t), substituindo na euação ; X (x) X (x) T (t) T (t) ; em ue é uma constante de separação. esolvendo o sistema ( X (x) X (x) T (t) T (t) ; ue tem soluções X (x) a e x T (t) b e t ; camos com a sobreposição de soluções V (x; t) X e (x+t) Comparando com a condição inicial, a solução ca (x; t) e 9x+t + e x+t + e x+t