Jair Silvério dos Santos * par ordenado tal que x A e y B}.

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1 MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 1, 1 16 (2010) Calculo Cálculo Diferencial e Integral I FUNÇÕES Jair Silvério dos Santos * Relação entre conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B = {(x,y) par ordenado tal que x A e y B}. Note que se A = B então (x,y) = (y,x) se e somente se x = y. Definition 0.1. Chama-se relação entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B. Note que se A = {1,2} e B = {a, 1}, temos A B = {(1,a) ; (1, 1) ; (2,a) ; (2, 1)}. Definition 0.2. Uma relação entre a e B é qualquer subconjunto de A B. Como exemplo tome φ (conjunto vazio) que é uma destas relações. Outro exemplo {(1,a);(2;a)}. Veja que esta relação entre A e B é constante. Finalmente, tome a relação {(1, 1) ; (1,a)}. Veja que nesta relação um elemento de A está associado dois elementos de B e o outro elemento de A não tem seu correspondente em B. Esta relação na merece que a chamemos de função. Mas o que é uma função? Definition 0.. Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B a qualquer relação entre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um único elemento em B. Indica-se esta função por f : A B. Dizemos que f está definida em A e toma valores em B. Ao conjunto A denomina-se Domínio de f e ao conjunto B denomina-se Contradomínio de f. Seja Im(f) = {y B tais que existe x A que satisfaz f(x) = y}. Este conjunto é denominado a imagem da função f. Nosso principal interesse são as funções definidas e subconjuntos dos números reais e tomando valores reais; isto é, os conjuntos A e B serão subconjutos do conjunto dos números reais. EXERCÍCIOS (i) a) - Considere os conjuntos A = {,a} e B = {α,γ}, calcule o produto cartesiano de A por B, todas as relações possíveis e indique aquelas relações que são funções. b) - Dados S = {1,,5} e P = {m,n}. Calcule o produto cartesiano de S por P, todas as relações possíveis e indique aquelas relações que são funções. * jair 1 MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

2 2 SANTOS, J. S. (ii) a- Se o domínio da função f(x) = 5 + x for {x R, tais que 1 x 4}, determine a imagem de f. b- Se o domínio da função f(x) = 5 x 2 for {x R, tais que 1 x 4}, determine a imagem de f. (iii) Considere o conjunto R R que aqui será denotado por R 2. Valha-se da definição de coordenadas cartesianas e desenhe os conjuntos abaixo: a- A 1 = {(x,y) R 2 tal que x + 2y = 4, 2 < x 2}. b- A 2 = {(x,y) R 2 tal que x + 2y < 4, 2 < x 2, y > 0}. c- A = {(x,y) R 2 tal que x + 2y 4, 2 < x 2, y 0}. d- B = {(x,y) R 2 tal que x y 0, 2 < x 2}. e- B = {(x,y) R 2 tal que x y 0, 2 < x 2}. Lembrete Sejam x,y e z números reais positivos e m, n números inteiros não negativos. Então (i) x m x n = x m+n. (ii) (x m ) n = x mn. (iii) (xyz) n = x n y n z n. ( x ) m x m (iv) = y y m. (v) x m = 1 x m. (vi) xm x n = xm n. (vii) x m n = n x m. OBSERVAÇÃO: Se x R for não nulo então x 0 = 1. Seja a R e a 0, então x 0 = x a a = xa Progressão Geométrica = 1. x a x 0 A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b (b R) é dada por i = b a a. Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 é igual a i = = 0,25. Exemplo 0.1. Suponha que uma população aumenta 2% ao ano. Então, a quantidade de indivíduos P n desta população no ano n (n-ésimo ano) será igual à quantidade de indivíduos P n 1 desta população do ano anterior mais o aumento de população, que é igual à 2% de P n 1, isto é P n = P n 1 + (0,02)P n 1 = (1 + 0,02)P n 1 = 1,02P n 1. Veja que a quantidade de indivíduos desta população em um determinado ano, digamos n-ésimo ano, é proporcional à quantidade de indivíduos desta população no ano subsequente ou (n 1)-ésimo ano e a constante de proporcionalidade é 1, 02. Observe que a taxa de crescimento da grandeza quantidade de indivíduos desta população é dada por i = P n P n 1 P n 1 = 1,02P n 1 P n 1 P n 1 = 0,02. MATEMÁTICA & NEGOCIOS

3 FUNÇÕES Exemplo 0.2. Suponha que uma bomba de sucção retira em cada sucção % do material existente em uma certa câmara. Então, a quantidade de material G n existente na câmara após n sucções (n-ésimo sucção ) será igual à quantidade de material G n 1 após a sucção anterior menos o decrécimo de maretial causado por uma sucção, que é igual à % de G n 1, isto é G n = G n 1 (0,0)G n 1 = (1 0,0)G n 1 = 0,97G n 1. Veja que un indivíduo contrai uma dívida hoje de G 0 unidades de moeda, ele resgata mensalmente esta dívida a uma taxa de % ao mês, então a dívida deste indivíduo no mês seguinte será G 1 VALOR PRESENTE Se P 0 unidades de moeda foi investido com 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao final do primeiro ano, teremos o valor dada por P(um ano) = P 0 + rp 0 = (1 + r)p 0. Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda ser dada por P(dois anos) = P 0 (1 + r) + rp 0 (1 + r) = (1 + r) 2 P 0. Ao final de t anos a quantidade atualizada de moeda ser dada por P(t) = (1 + r) t P 0. Note que o juro foi composto ao capital anualmente. Se a composição fosse semestral teríamos r 2 como taxa de juros e ao final de t anos o capital P 0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P(t anos ) = P(dois t semestres) = (1 + r 2 )2t P 0. Neste caso os juros so compostos duas vezes ao ano. Se os juros compuser o capital m vezes ao ano teríamos r m como taxa de juros e ao final de t anos o capital P 0 composto com a taxa r de juros seria m dado por P(t anos) = P(mt períodos) = (1 + r m )mt P 0. (0.1) Uma pergunta pertinente : Qual quantidade X de unidades moeda teremos que investir no instante atual, para que ao final de t anos tenhamos Y unidades moeda, se os juros compuserem o capital X continuamente taxa de juros 100r%? Como vimos acima se o capital X for investido taxa de juros 100r%, e os juros compuserem o capital continuamente, ao final de t anos a o capital atualizado ser dado por Y = X(1 + r m )mt. (0.2) Portanto, X = Y (1 + r m ) mt é denominado Valor Presente disponível em um tempo t anos, no futuro. Exemplo 0.. Um homem investe em uma carteira P 0 = 5000,00u.m. a 4% de juros ao ano. Qual será o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P 0 permanecer aplicada, sem retidadas, por 10 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros ao ano para que ao final de quatro anos ele tivesse disponível u.m.? Resolução Veja que em (0.1), r = 0.4 e mt = 10. Portanto, m P(10) = (1 + 0,04) = 7.401,22u.m. Para responder a segunda pergunta, veja que em (0.2) temos Y = 1.200, r = 0.4 e mt = 10. Então m MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

4 4 SANTOS, J. S. X = 1200( ) 10 = 810,677. Exemplo 0.4. Ao se tomar hoje, por empéstimo, 150,00u.m. a uma taxa de juros de 12% ao mês, qual será o valor corrigido com juros três meses depois? Quanto deveria ser investido à taxa de juros de 12% ao mês para que ao final de cinco meses o valor presente fosse 250,00 u.m.? Resolução Veja que P 0 = 150, a taxa anual de juros é m = 0,12m. Então r = 0,12 e mt =, Como m m = 12 teremos r = 1,44 e t = 1 = Assim, segue de (0.1) que 4 P(0.25) = (1 + 0,12) 150 = 210,74. Vamos responder a segunda pergunta: veja em (0.2) que Y = 250, r = 0,12 e mt = 5. Então m X = 250( ) 5 = 141,85 Gráfico de Função Definition 0.4. Dada f : A B função, chama-se Gráfico de f ao conjunto G(f) = {(x,y) A B tal que y = f(x)}. Como exemplo tome f : [0,2] R dada por f(x) = x 2. oy (x,x 2 ) G(f) O 2 ox Figura 2 MATEMÁTICA & NEGOCIOS

5 FUNÇÕES 5 Exercício 0.1. Lei de Pareto de Distribuição de Renda O Economista Vilfredo Pareto propõe a seguinte lei de distribuição de renda: Se N for o número de indivíduos de uma dada população A de tamanho m, cuja a renda é igual ou superior a x, então N(x) = m x b (0.) onde b é um parâmetro da população cujo valor poderia ser aproximado por 2. Neste caso N seria dado por N(x) = m x 2 (0.4) Um indivíduo é considerado milionário se sua renda excede x 0 = 10 6 Unidades de Moeda (u.m.). Responda as perguntas abaixo: Suponha que em uma população de indivíduos valha a lei de Pareto. Quantos indivíduos são coniderados milionários? Resp: Quantos indivíduos têm renda superior a.660 u.m.? Resp: Quantos indivíduos têm renda inferior a.600 u.m.? Qual é a menor renda das oitenta pessoas que têm as rendas mais altas? Resp u.m. Exercício 0.2. Suponha que valha a lei de Pareto, que em (0.), b = 5 e m = Responda as perguntas abaixo: Quantos indivíduos têm renda inferior a u.m.. Resp: Quantos indivíduos têm renda superior a u.m., mas inferior a 10 6 u.m.? Resp: Qual é a menor renda das cinquenta pessoas que possuem maiores rendas? Resp u.m. Exercício 0.. Suponha que valha a lei de Pareto, que em (0.), b = 2 e m = Responda as perguntas abaixo: Quantos indivíduos têm renda superior a u.m.. Quantos indivíduos têm renda superior a u.m., mas inferior a.600u.m.?. Qual é a renda mais baixa das oitocentas pessoas que possuem as rendas mais altas? Os exercícios acima sugerem a ideia de desigualdades. Inequações Definition 0.5. Dada f : A R B R uma função. Uma equação é expressão da forma f(x) = 0, onde x A. Uma inequação é uma expressão com uma das formas f(x) > 0, ou f(x) 0, ou f(x) < 0, ou f(x) 0. Note que as desigualdades nos informam qual é o sinal da função f Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número real positivo, esta desigualdade matém-se com o mesmo sentido. Veja que 2x x > x 2 2 é equivalente à (x 2 + 1)[2x x ] > (x 2 + 1)[x 2 2], porque x é positivo para todo número real x. Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo esta desigualdade troca o seu sentido. Veja que 2x x > x 2 2 é equivalente à (x 2 1)[2x x ] > (x 2 1)[x 2 2]; somente se x 2 1 for positivo ou zero. Se x 2 1 for negativo ou seja se x ( 2;2) (intrevalo), então (x 2 1)[2x x ] < (x 2 1)[x 2 2]. MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

6 6 SANTOS, J. S. O módulo de um número real x é dado por x = { x; se x 0, x; se x < 0. Temos x < m, se e somente se m < x < m. Ainda, x m, se e somente se m x m. Exemplo 0.5. Encontre o conjunto de números reais que satisfaz x 5 < 4. Resolução Note que há aqui um caso como acima, então 4 < x 5 < 4, o que nos dá 1 < x < 9. Assim, o conjunto solução é dado por {x R tais que 1 < x < 9}. Se a,b e c são números reais, considere a equação ax 2 + bx + c = 0, a 0. (0.5) Como em (0.5) a 0 podemos somar em ambos os membros b2 4a e escrevermos [ ( b ] a x )x + b2 2a 4a 2 = (x b2 4a c, ou seja a + b ) 2 b 2 4ac =, então 2 4a que é equivalente a ( x + b ) 2 b 2 4ac = 2 4a 2 = 0. Portanto, ( x + b 2 b2 4ac 2a )( x + b 2 + b2 4ac 2a ) = 0 x 0 = b + b 2 4ac 2a e x 1 = b b 2 4ac 2a são as raízes da equação (0.5). Além disso, em (0.6), x 0 e x 1 serão números reais se e somente se = b 2 4ac for um número real não negativo, ( 0). Exemplo 0.6. Encontre o conjunto de números reais que satisfaz (0.6) 2x 4. (0.7) 2 + x Resolução Pelo que vimos acima MATEMÁTICA & NEGOCIOS 4 2x 2 + x 4. (0.8)

7 FUNÇÕES 7 Para resolver a inequaço (0.8) devemos multiplicar todos os seus membros por x + 2. Então devemos saber mais sobre o sinal deste fator. Note que se x 2 o fator x + 2 será positivo. Então 4(x + 2) 2x (x + 2) 4(x + 2). 2 + x Observe que as desigualdades não se alteram. O que nos dá 8 4x 2x 8 + 4x. Temos então duas desigualdades. É conveniente resolvê-las separadamente. O conjunto solução para estas desigualdades é igual ao conjunto sulução para o sistema de inequações { 8 4x 2x 2x 8 + 4x Após alguns cálculos simples, vemos que será x solução para a primeira inequação se x 11 2 ; e x será solução para a segunda inequação se x 5. Como trata-se de um sistema e inequações, devemos ter 2 as duas inequações satisfeitas, então x deverá ser maior que o maior entre três números reais 2; 11 2 e x = 5 6. Logo, x 5. Temos assim a primeira parte da resposta, o conjunto 6 S 0 = {x R, tal que x 5 6 }. Veja que se x 2 o fator x + 2 será negativo. Então 4(x + 2) 2x (x + 2) 4(x + 2). Note que as 2 + x desigualdades se ateraram. Então temos 4(2 + x) 2x (2 + x)4. (0.9) O conjunto solução para (0.9) é igual ao conjunto solução para o sistema { 8 4x 2x 2x 8 + 4x Repetindo o procedimento anterior vemos que x deve ser menor que o menor entre os três números 2, 5 6 e Temos assim a segunda e última parte parte da resposta, o conjunto O conjunto solução para a inequação (0.7) é S 1 = {x R, tal que x 11 2 }. S = S 0 S 1. Temos x > m, se e somente se x < m ou x > m. Analogamente ao caso anterior, x m, se e somente se m x ou x m. MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

8 8 SANTOS, J. S. Exemplo 0.7. Encontre o conjunto de números reais que satisfaz x + 2 > 5. Resolução Por (*) vemos que a desigualdade do exemplo (0.7) é equivalente à x + 2 > 5 ou x + 2 < 5. Neste caso, é conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depois construir o conjunto solução. Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequação, então x > 1. Analogamente, se x resolve a segunda inequação então x < 7. Portanto, conjunto solução que procuramos é dado por S = {x R, tal que < x < 7 ou 1 < x < }. Observação 0.1. Da definição de módulo de um número real segue que x 2 = x. Como encontrar o conjunto dos números reias tais que x 4 > x 2? Pela Observação 0.1 temos x 4 = (x 4) 2 e x 2 = (x 2) 2. Portanto, a desigualdade em ( ) é equivalente à (x 4)2 > (x 2) 2 ; ou seja (x 4) 2 > (x 2) 2. Alguns cálculos nos mostram que nosso problema é equivalente à 2x 2 x < 0. Para encontrar o conjunto solução para esta última desigualdade devemos encontrar o discriminante da equação 2x 2 x = 0 (ver (0.6)) que é dado por = = 25 e as suas raízes são dadas por; x 0 = b 2a = ( 1) 25 4 = 1 e x 1 = b + 2a = ( 1) Mas, 2x 2 x = (x x 0 )(x x 1 ) = (x + 2)(x ). Queremos que (x + 2)(x ) seja negativo. Portanto, o conjunto solução que procuramos é dado por = 2. S = {x R, tal que 2 < x < 2 }. Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades e descreva geometricamente o conjunto solução de cada uma delas: Exercício 1 : A Um fabricante produz canetas ao custo de 10 u.m. (unidades de moeda) por unidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida por x u.m., os consumidores comprarão aproximadamente 80 x canetas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante como função do preço devenda de cada caneta. Construa o gráfico desta função e calcule o preço p 0 para o qual o lucro mensal é o maior possível (Veja que o lucro é dado pelo produto do número de canetas vendidas pelo lucro por caneta). Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: MATEMÁTICA & NEGOCIOS

9 FUNÇÕES 9 A quantidade de produto ofertada aumenta se o preço deste aumentar. Isto nos diz que as variáveis ofertada e preço estão de alguma forma relacionadas. A quantidade de produto demandada diminui se o preço deste aumentar. Isto nos diz que as variáveis demandada e preço estão de alguma forma relacionadas B Dez relógios de pulso são vendidos quando o seu preço for 80 u.m.; 20 destes relógios serão vendidos quando o preço for 60 u.m. Suponha que a demanda por este tipo de relógio seja uma função linear do seu preço neste mercado. Qual é a equação de demanda para este produto? Faç o gràfico desta função. C Quando o preço for de 50 u.m., cinquenta máquinas fotográficas de um determinado tipo estarão disponíveis no mercado; quando o 75 u.m., cem máquinas fotográficas de um determinado tipo estarão disponíveis no mesmo mercado (produto em oferta). Suponha que a oferta deste tipo de máquina seja uma função linear do seu preço neste mercado. Qual é a equação de oferta para este produto? Faç o gràfico desta função. Exercício 2 : Resolva as equações e inequações e represente graficamente o conjunto solução de cada item. (a) x 2 < 18 x. S = {x R tal que < x < 5}; (b) 4 < 2 x 17. S = {x R tal que 5 x < 2}; (c) x 1 x S = {x R tal que 11 2 x < 2}; (d) x S = {x R tal que 9 x 9}; (e) x 2 x 0. S = {x R tal que 0 < x < 1}; (f) 2x 1 = 4x +. S = { 2, 1 }; (g) 5x + 2 =. S = φ; (h) x 5 = 1 2x. S = { 4}; (i) x + 8 = 4, S = { 4 2x 11,4}; (j) 2x 1 > x + 2. S = (, 1 ) (, ); (k) 1 < x + 2 < 4. S = {x R tal que 6 < x < ou 1 < x < 2}; (k) x + 7 > 2. S = {x R tal que < x < ou 5 < x < }; (l) x 2. S = {x R tal que 1 x 5}. Exercício : (a) 4x 6 < 11; (b) 7 2x > ; (c) x + 4 < 7; Resp. {x R; 11 < x < }; (d) x 4 2; 2 Resp. {x R; x 2}; (e) 2x 5 > ; Resp. {x R, < x < 1 ou 4 < x < }; (f) 2 x+4 2x 6 ; Resp R {x R, < x < 10}; (g) 2x+9 4x ; Resp {x R, 9 2 x 2 }. (i) 2 4x x 2 0; (ii) (vi) 2x + < 2; (vii) 5 4x 1 2x 2 x 1; (iii) x(x 1) 4; (iv) x x 2 x; (v) (x + 1)(2x ) > 2; 1 7 x 1; (viii) 25x 8 > 7; (ix) x 10 < 0,; (x) x 2 +5x 2 < 0; 2 MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

10 10 SANTOS, J. S. (xi) 2x 2 9x + 7 < 0; (xii) 1 x 2 < 100; (x 1) 2 (x 2)(x + 1) > 0 (xvi) (xiii) 1 < 7x 4 (x 1) 2 (x 2)(x + 1) x(x 2 + 1)(x 2 1) < 0. 6; (ixv) x 9 > 2 x + 2 (xv) Polinômios Definition 0.6. Sejam a r,a r 1,,a 0 números reais. Um polinômio é uma função q : R R dada por q(x) = a r x r + a r 1 x r a 0. Se a r for não nulo diremos que o grau de q é r e indicamos por q = r. Seja q(x) um polinômio. Suponhamos que o grau de q = r. Sabemos que o polinômio q pode ser decomposto em fatores da forma { x x, x R; αx 2 + βx + γ, β 2 4αγ < 0; α, β, γ R, (ver(0.6)). o valor x é denominado raiz real de q. Cada fator da forma αx 2 + βx + γ com a propriedade β 2 4αγ < 0 não tem raiz real. A Suponha que q tenha apenas raízes reais. Sejam n N e x 0,x 1,,x n as raízes de q (n r). Há que se lembrar que cada uma destas raízes tem sua multiplicidade. Então suponha que s 0,s 1,,s n N, indica respectivamente as multiplicidades das raízes do polinômio q. Então s 0 + s s n = q. Exemplo 0.8. Seja q(x) = x 2 x + 2 = (x 1)(x 2). x 0 = 1, s 0 = 1, x 1 = 2, s 1 = 1 s 0 + s 1 = q = 2. Exemplo 0.9. Seja q(x) = (x + 1) 2 (x 2). x 0 = 1, s 0 = 2, x 1 = 2, s 1 = s 0 + s 1 = q = 5. Suponhamos que seja dado pela expressão q(x) = a r x r + a r 1 x r a 0. Sabemos que q(x) = a r (x x 0 ) s0 (x x 1 ) s1 (x x n ) sn. (0.10) e s 0 + s s n = q = r. Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum s i será nulo, e o fator correspondente x x i não aparecerá na expressão (0.10). MATEMÁTICA & NEGOCIOS

11 FUNÇÕES 11 Método da Chave para Divisão de Números Vamos usar o método da chave para mostrar que pode-se dividir x 5 por x e obter-se resto zero. Considere o esquema abaixo com suas instruções: Note que multiplicação da primeira parcela do quociente pelo divisor nos dá x x 2 a 1. Subtraia x x 2 a 1 do dividendo. A multiplicação da segunda parcela do quociente pelo divisor nos dá x x Sutraia-a do dividendo. A multiplicação da última parcela do dividendo pelo divisor nos dá x Subtaria-a do dividendo e voce obtera resto ZERO. x 5 x x + x x 2 + x x x x x x Portanto, x 5 = (x )[x 2 + x ] ou seja, x 5 x x 5 = x 2 + x Exercício 4 : (a) Sejam p(x) e q(x) polinômios dados abaixo. Calcule o resto da divisão de p(x) por q(x) (use o método da chave). (i) p(x) = x 2x e q(x) = x 2 + 1; (ii) p(x) = x 4 x e q(x) = x 2 4x + 2. (b) Sejam f(x) e g(x) funções dados abaixo. Calcule o resto da divisão de f(x) por g(x) (use o método da chave). (i) f(x) = x 2 e g(x) = x 2; (ii) f(x) = x e g(x) = x, (iii) f(x) = x 5 e g(x) = 4 x 4 5; (iv) f(x) = x + e g(x) = x +. (v) f(x) = x a e g(x) = x a; (vi) f(x) = x a e g(x) = x a, (vii) f(x) = x b e g(x) = 4 x 4 b; (viii) f(x) = x + b e g(x) = 5 x + 5 b. Exercício 5: (a) - Dadas as funções abaixo, calcule g(x) = domínio da função f. f(x) f(a) x a para x a, onde a é um número real que está no (i) f(x) = x 2 +, (ii) f(x) = x 2 x + 1, (iii) f(x) = x 1 (iv) f(x) = x 1 4 (v) f(x) = x 1 5 anterior). (vi) f(x) = sin(x) (vii) f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros ítens com o exercício (b) - Seja a um número real fixo, calcule g(h) = f(a + h) f(a) h (i) f(x) = x 2 +, (ii) f(x) = x 2 x + 1, (iii) f(x) = x 1 (iv) f(x) = x 1 4 para cada uma das funções abaixo, (v) f(x) = x 1 5 (vi) f(x) = sin(x) (vi) f(x) = cos(x), (compare os com o exercício anterior). Lembrete sen(u + v) = sen u cos v + sen u cos v e cos(u + v) = cos u cos v sen usen v MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

12 12 SANTOS, J. S. Funções Pares e Ímpares Uma função y = f(x) é uma (i) função par de x se f(x) = f( x), f(x) = f( x). Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares. (ii) função ímpar de x se (i) (i) f(x) = x 2, (iii) f(x) = x + x, (iv) f(x) = x 2 + x, (v) f(x) = x + x + 1, (vi) f(x) = x (vii) f(x) = x (vii) f(x) = x 1. Esboce os gráfico de cada uma das funções dos ítens (i) e (vi); (vii) e (iii) e compare-os. Composição de Funções Dadas f : A B e g : C D duas funções. Se Im(f) Dom(g) então podemos definir uma outra função h : A D tal que h(x) = g(f(x). A função h é denominada composição de g por f,. Denotaremos esta composição por g f. Note que se h(x) = x 2 4x + 7, podemos dizer que h é uma composição de funções. As funções envolvidas são g(x) = x e f(x) = x 2 4x + 7. (ii) Determinar o domínio das seguintes funções e escreva a função h como composição de duas outras funções: (i) h(x) = 1 x 4, (ii) h(x) = x x 2 + 2x, (iii) h(x) = x 2 + 1, (iv) h(x) = log 2(x 2 1), (v) x x h(x) = x 2 + 1, (vi) h(x) = 2) 2 x + 5, (vii) h(x) = 4. e(x2 x 4 (iii) Calcule, quando for possível, a composição de f por g e de g por f nos casos abaixo e dê o domínio de f, g, f g e g f (i) f(s) = s 2 +2s+1 e g(x) = 2x 2 5; (ii) f(s) = x e g(x) = x 2 +1, (iii) f(s) = s 2 + e g(x) = x2 + 1 x 1. (ii) f(s) = sin(x 2 + 1) e g(x) = x (iv) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f g g f, dê o domínio de f, g e h, onde estas funções estão dadas abaixo e : (i) f(x) = x2 + 1 x 1, h(x) = x, g(x) = x 2 x + 2.g(x) = 1 x 2, h(x) = x 2 + 6x 16. (v) Verifique que se f e g forem funções pares, então f g e f g também serão pares. No caso em que f : A B e satisfaz uma condição especial, isto é que exista uma função g : B A tal que f(g(y) = y e g(f(x) = x, dizemos que a funç ão g é a Função Inversa da função f. Denotamos g por f 1. O exemplo mais simples que ilustra tal situação é o seguinte: Exemplo Tome A um conjunto qualquer e f : A A dada por f(x) = x. Note que f(f(x)) = f(x) = x. A inversa de f é ela mesma (uma função Nacisista). Esta é uma razão muito forte para que f seja nomeada FUNÇÃO IDENTIDADE. MATEMÁTICA & NEGOCIOS

13 FUNÇÕES 1 Exemplo Tome R o conjunto dos números reais e f : R R dada por f(x) = ax + b, com a 0. Note que g : R R dada por g(y) = 1 a (y b) satisfaz f(g(y)) = a ( 1 a (y b) ) + b = [y b] + b = y e g(f(x) = 1 [(ax + b) b] = x a Exercício Em cada um dos ítens abaixo determine a função f 1 inversa. Faça os gráficos da função e de sua inversa, primeiro no pesmo plano e depois em planos separados. (i) f(x) = x + 4, (ii) f(x) = 1 x + a, a R (iii) f(x) = x a x a, a R. Função Injetora Uma função f : A B é injetora se para todo x,y A tal que f(x) = f(y), implicar que x = y. Como exemplo tome f : R R dada por f(x) = ax + b, com a e b números reais, sendo a 0.Vamos mostrar que f é injetora. Se x,y R são tais que f(x) = f(y), então ax + b = ay + b. Ou seja, ax = ay. Como a 0, temos que x = y. Portanto, f é injetora. Função Sobrejetora Uma função f : A B é sobrejetora se Im(f) = B. Função Bijetora Uma função f : A B é Bijetora se ela for injetora e sobrejetora. Teorema 0.1. Uma função f : A B é Invertível se e somente se ela for bijetora. Exemplo Seja f : Z N dada por n, se n for par, f(n) = 2 n 1 1, se n for ímpar. 2 É fácil ver que f é uma bijeção. A quantidade demandada por um produto no mercado onde p é o nível de preço deste produto, é uma função do preço, isto é, D : [0, ) [0, ) é dada por D(p). A quantidade ofertada ao mercado de produto com preço p é uma função do preço, isto é, S : [0, ) [0, ) é dada por S(p). Diz-se que um mercado atua em O EQUILÍBRIO ECONÔMICO se existir um nível de preço p 0 que faz a função a oferta calculada em p 0 assumir o mesmo valor que a função demanda neste ponto, isto é D(p 0 ) = S(p 0 ). Neste caso diz-se que p 0 é nível de preço de equilíbrio para este mercado. Em um mercado se dá quando a quantidade ofertada for igual à quantidade demandada. Se D,S : [0, ) [0, ) forem a função demanda (D) ao preço p e a função oferta ao preço p, estas funções serão lineares se existirem números reais α 0,α 1,β 0,β 1 tais que (a) D(p) = α 0 + β 0 p, (b) S(p) = α 1 + β 1 p (0.11) MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

14 14 SANTOS, J. S. Em linguagem costumeiramente usada em economia, em (0.11a), p é denominada Variável Exógena e D Variável Endógena. Analogamente, em (0.11b), p é denominada Variável Exógena e S Variável Endógena Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto ofertada aumenta se o preço deste aumentar. A quantidade de produto demandada diminui se o preço deste aumentar. Exercício Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nível de preço p. Com este nível de preço a oferta é dada por S(p) = ap + e a demanda é D(p) = bp + 17,onde a e b são constantes positivas. (i) Encontre nível de preçop 0 para que o mercado atue em equilíbrio. (ii) Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. (ii) Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda. (vi) Calcule D(p 0 + ) D(p 0 ) (v) Calcule D(p 0 + q) D(p 0 ) e S(p 0 + ) S(p 0 ). Interprete os números que voce calculou. e S(p 0 + q) S(p 0 ). Interprete os números que voce calculou. q q (vi) Defina a função E : [0, ) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome que voce dariapara esta função? (vii) Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é positiva. (viii) Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é negativa. (ix) Calcule E(p 0 + ) E(p 0 ) Exercício Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nível de preço p. Com este nível de preço a oferta é dada por S(p) = ap 2 + e a demanda é D(p) = bp ,onde a e b são constantes positivas. Encontre o intervalo de definição para D e S para que estas funções representem a Demanda e Oferta de um produto em algum mercado. (i) Encontre nível de preço p 0 para que o mercado atue em equilíbrio. (ii) Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. (ii) Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda. (vi) Calcule D(p 0 + ) D(p 0 ) (v) Calcule D(p 0 + q) D(p 0 ) e S(p 0 + ) S(p 0 ). Interprete os números que voce calculou. e S(p 0 + q) S(p 0 ). Interprete os números que voce calculou. q q (vi) Defina a função E : [0, ) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome que voce dariapara esta função? (vii) Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é positiva. (viii) Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a função E é negativa. (ix) Calcule E(p 0 + ) E(p 0 ) Função exponencial e função logarítmica Dados um número real a positivo, chama-se função exponencial de a a relação f : R R dada por f(x) = a x. Note que f toma qualquer número real mas produz apenas números reais positivos. Note que f(x + y) = f(x)f(y) para todo x R. Note que f(x y) = f(x) para todo x R. f(y) MATEMÁTICA & NEGOCIOS

15 FUNÇÕES 15 Ainda, f(0) = f(1 + ( 1)) = f(1)f( 1) = a 1 a 1 = a a = 1. Função Logarítmica Definition 0.7. Dados a,b R positivos. Se a 1, chama-se logarítmo de b na base a um número real y tal que a y = b. Se g : (0, ) R for uma função dada g(x) = log a x, diremos que g é a Função Logarítmica. Ainda Como já vimos, se f : R (0, ), for dada por f(x) = a x, teremos (i) f(g(y) = a log a y = y. (ii) g(f(x)) = log a a x = x. Pela definição de função inversa, vemos que a função exponencial é a inversa da função logarítmica. NOTAÇÃO : log a b = y a y = b. Propriedades 1 : log a (xy) = log a x + log a y. 2 : log a a = 1 e log a 1 = 0. : log a (x 1 ) = log a x. 4 : log a (x y ) = y log a x. Exemplo 0.1. Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P 0, é investida em uma carteira de poupança à uma taxa de r juros que compõe o capital inicial ao fim de um determinado período fixo de tempo, digamos trinta dias. Se não houver retiradas, Qual quantidade de capital presente após n > 1 períodos? Resolução Note que ao fim do primeiro período o capital P 1 é P 0 composto com a parcela de juros rp 0,o que nos dá P 1 = P 0 + rp 0 = P 0 (1 + r). Como não há retiradas, ao fim do segundo período o capital P 2 é composto da seguinte forma P 2 = P 2 + rp 2 = P 0 (1 + r) + rp 0 (1 + r) = P 0 [1 + 2r + r 2 ] = P 0 (1 + r) 2. Analogamente, P = P 2 + rp 2 = P 0 (1 + r) 2 + rp 0 (1 + r) 2 = P 0 (1 + r) Portanto, P n = P 0 (1 + r) n. MATEMÁTICA & NEGÓCIOS

16 16 SANTOS, J. S. Veja que temos a seguinte função exponencial: f : N N tal que f(n) = P 0 (1 + r) n. Se tomarmos a = 1 + r, teremos f(n) = P 0 a n que é a quantidade de capital presente após n períodos sin(x) BOA SORTE. MATEMÁTICA & NEGOCIOS